高考数学一轮 第20讲 三角函数公式（解析版） 教案

第20讲三角函数公式【知识点总结】1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.（2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.（4）终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合2.弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.3.三角函数的概念（1）三角函数的定义已知角终边上的任一点（非原点O），则P到原点O的距离..（2）几个特殊角的三角函数值，，，的三角函数值如下表所示：函数不存在不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.，，，其中.4.同角三角函数间的基本关系（1）平方关系.（2）商数关系.作用：（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式.5.诱导公式（1）公式二，，.（2）公式三，，.（3）公式四，，.（4）公式五，.（5）公式六，.6.常用三角恒等变形公式和角公式差角公式倍角公式降次（幂）公式半角公式辅助角公式角的终边过点，特殊地，若或，则【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cosθ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（）A．－12 B．－10 C．－8 D．－6【答案】D【详解】角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且，

若点M（x，8）是角θ终边上一点，

则：x＜0，利用三角函数的定义：，

解得：x=-6．

故选：D．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为()A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝．故选：A．（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】解：因为，，其中，为锐角，所以：，故A正确；因为，所以，故B错误；可得，故C正确；可得，所以，故D错误．故选：AC．（多选题）例5．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【详解】对于A，，故A正确；对于B，由两角和的正弦公式，，故B正确.对于C，，故C错误.对于D，，故D错误.故选：AB例6．（2022·全国·高三专题练习）已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，则α+2β的值为______【答案】【详解】因为α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，所以，，所以，所以，所以因为α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），所以，所以，故答案为：例7．（2022·全国·高三专题练习）若，，则___________【答案】【详解】，，，故答案为：．例8．（2022·全国·高三专题练习）若tanα=2，则的值为___________.【答案】【详解】解析：法一：（切化弦的思想）：因为tanα=2，所以sinα=2cosα，cosα=sinα.又因为sin2α+cos2α=1，所以解得sin2α=.所以.法二：（弦化切的思想）.故答案为：例9．（2022·全国·高三专题练习）已知＝，则sin2x＝________．【答案】【详解】∵sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，∴sin2x＝2×－1＝－1＝．故答案为：【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据任意角的定义可得结果.【详解】将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）与角终边相同的角是（）A．221° B． C． D．【答案】A【分析】根据终边相同的角相差的整数倍，逐个判断即可.【详解】余，故A正确，B、C、D中的角均不与角终边相同.故选：A.【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题.3．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；又与的终边相同的角可以写成，所以正确．故选：．4．（2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.【详解】∵角的终边在第一象限，∴，，则，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【分析】写出的表达式，计算后可确定其终边所在象限．【详解】由题意，所以，，当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．故选：A．6．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比得出，即得出所求.【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由题意得，变形可得，因为，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为．故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【分析】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，依题意可得且，解得、，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.故选：D．8．（2022·全国·高三专题练习）刘徽（约公元225年年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割圆术的思想，将单位圆分成360个扇形，则扇形的圆心角均为，由题设扇形面积为，即有，可得的近似值.【详解】将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，∵这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，∴，∴.故选：B.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角以x轴的非负半轴为始边，且点在角的终边上，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点P的坐标求出，结合任意角的余弦值的定义即可得出结果.【详解】因为，所以由角的余弦值的定义可得，故选：A.10．（2022·全国·高三专题练习）已知点是角终边上一点，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的定义可得，，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】由题意可得，，=+=××，故选：A．11．（2022·浙江·高三专题练习）已知角终边经过点，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函数定义列方程求解，进而可得的值.【详解】因为角终边经过点，且，所以，所以，所以点的坐标为，所以.故选:A12．（2022·上海·高三专题练习）已知点在第三象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】结合第三象限点的特征得到，进而根据三角函数值的符号判断角所在的象限即可.【详解】解：∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.故选：D.13．（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则的值为().A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方关系和商数关系求解.【详解】由，，解得，又，所以，所以.故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解出的值，然后根据二倍角的余弦公式求解出结果.【详解】将移项得，代入，得，即，解得，所以.故选：A.15．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合平方关系，化为齐次式，然后弦化切转化为的代数式，代入求值．【详解】由题意．故选：C．16．（2020·西藏·山南市第三高级中学高三阶段练习（理））已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将两边同时平方，再结合同角三角函数的关系及二倍角公式求解即可.【详解】因为，两边同时平方得，所以，所以，故选：C.17．（2020·山东·高三专题练习）若，，则（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，可再利用平方关系求得，从而可得，代入即得结论．【详解】∵，①∴，即，∴．∵，且，∴，，∴．变形得，∴．故选：A．【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解的情况．18．（2020·湖南·衡阳市八中高三阶段练习（理））若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数关系化简即可.【详解】∵，则平方可得，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于简单题.19．（2021·山西·吕梁学院附属高级中学高三期中（文））若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合已知条件，利用sinα+cosα与2sinαcosα的关系即可求值.【详解】.故选：B.20．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将已知等式平方可得，通过切化弦的思想将所求式子化简即可得结果.【详解】由，两边平方得，则，则.故选：B.21．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可知，得到，再利用正余弦和差积三者的关系可求得的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可．【详解】由，平方得到，，，，，而，；令，则，，，故选：．22．（2021·新疆昌吉·模拟预测（理））已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数的商数关系可求得结果.【详解】由题设得，，即，解得或（舍），故．故选：D.23．（2022·江苏·高三专题练习）已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设得，代入目标式化简求值即可.【详解】∵，即，∴，故选：A．24．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】把化为关于的二次齐次式，再转化成用表示出即可得解.【详解】因，则.故选：C25．（2021·云南师大附中高三阶段练习（文））已知，则（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得，再用诱导公式和同角三角函数关系将目标式转化为关于的式子，代值计算即可.【详解】因为，故可得：.原式.故选：B.26．（2022·全国·高三专题练习）若，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，则，代入所求，可得，利用二倍角的余弦公式求解即可．【详解】设，则，且，而，又，故．故选：．27．（2022·全国·高三专题练习）化简：的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案.【详解】解：原式＝＝＝＝－1．故选：B.28．（2022·全国·高三专题练习）已知为锐角，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用配角法及两角和余弦公式，即可得到结果.【详解】∵为锐角，，∴，，∴，又，∴，故选：B29．（2022·浙江·高三专题练习）若，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角的基本关系以及角的范围求出和，然后利用两角和的余弦公式即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以,故选：A.30．（2022·全国·高三专题练习）已知tan＝2，则tanα＝（）A． B．－ C． D．－【答案】A【分析】利用和角正切公式得＝2，即可求tanα.【详解】tan＝＝2，解得tanα＝.故选：A31．（2022·全国·高三专题练习）已知角满足，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，分两种情况推出，进而可得结果.【详解】由，且可知①或②由解得，由有知不可能，得.故选：D32．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则()A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.利用二倍角公式逐步化简即可.【详解】因为，所以，又，解得.故选：A.33．（2022·全国·高三专题练习）若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角恒等变换可得，再由平方关系即可得解.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.34．（2022·全国·高三专题练习）的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.【详解】.故选：A35．（2021·广东·模拟预测）若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将角看成整体，即，由此即可求解.【详解】，.故选：.36．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看作一个整理，利用换元法，诱导公式和正弦的万能公式进行求解.【详解】依题意，，设，则，因为，故故选：B.37．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据利用二倍角公式计算可得；【详解】解：故选：B38．（2021·江苏省镇江中学高三阶段练习）若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题利用二倍角公式化简，再由齐次式即得.【详解】由题意可得：.故选：B.39．（2021·江苏如皋·高三阶段练习）已知，，，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，然后利用两角和与差的正弦公式展开化简可得，由可得，代入化简得，由题意可知，所以，再结合的范围可求得结果【详解】由题意可知，，可化为，展开得，则，因为，，且，所以，则，且，所以，当时不满足题意，所，因为，，所以，则，故选：A.二、多选题40．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度B．C．若，，则为第二象限角D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角【答案】CD【分析】对于A，利用正负角的定义判断；对于B，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C，由求出的范围，由求出的范围，然后求交集即可；对于D，由是第二象限角，可得，，然后求的范围可得答案【详解】对于，经过30分钟，钟表的分针转过弧度，不是弧度，所以错；对于，化成弧度是，所以错误；对于，由，可得为第一、第二及轴正半轴上的角；由，可得为第二、第三及轴负半轴上的角.取交集可得是第二象限角，故正确；对于：若是第二象限角，所以，则，当时，则，所以为第一象限的角，当时，，所以为第三象限的角，综上，为第一或第三象限角，故选项正确.故选：CD.41．（2022·江苏·高三专题练习）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是（）A． B． C．2 D．或【答案】AB【分析】根据弧长公式和面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，∴解得或，则或1.故选：AB．42．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长是，面积是，下列选项正确的有（）A．圆的半径为2 B．圆的半径为1C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2【答案】ABC【分析】由题意及弧长的面积公式可得，进而得解.【详解】设扇形半径为，圆心角弧度数为，则由题意得，解得：，或，可得扇形半径为1或2,圆心角的弧度数是4或1.故选：.【点睛】本题考查扇形面积公式的应用，根据题意设出未知数代入扇形面积公式列方程求解即可，属于简单题.43．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】将题设中等式两边平方后相加可得，结合角的范围可求，从而可得正确的选项.【详解】解：由题意知，，，将两式分别平方相加，得，，即选项A正确，B错误；，，，而，，，即选项D正确，C错误．故选：AD．44．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.【详解】因为①，所以，则，因为，所以，所以，故A错误，所以，所以②，故D正确，①②联立可得，，故B正确所以，故C错误，故选：BD45．（2022·全国·高三专题练习）下列式子正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出的值代入化简即可，对于D，利用两角和的正切公式求解【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：ACD三、填空题46．（2022·全国·高三专题练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.【答案】2【分析】设扇形的圆心角弧度数为，半径为，根据题意，，根据扇形的面积公式即可得解.【详解】解：设扇形的圆心角弧度数为，半径为，则，，当且仅当，解得时，扇形面积最大.此时.故答案为：2.47．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm，当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.【答案】121【详解】，则，则时，面积最大为，此时圆心角，所以答案为1；2；1.48．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则__．【答案】【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】解：因为，整理可得，解得，或2（舍去），由于，可得，，所以，．故答案为：．49．（2021·河南·模拟预测（文））已知，则______.【答案】【分析】利用弦化切可求得结果.【详解】因为，所以.故答案为：.50．（2020·山西·应县一中高三开学考试（文））已知，则_________．【答案】2【分析】利用平方法，结合平方关系的同角三角函数关系式构造齐次式来求解.【详解】因为，所以，即，所以，即，所以.故答案为：.51．（2022·全国·高三专题练习）已知，若是第二象限角，则的值为__________.【答案】【分析】利用完全平方和平方关系求解.【详解】，所以，所以，所以.又因为是第二象限角，所以，，所以.故答案为：.52．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）已知，则_________【答案】##【分析】利用三角恒等变换化简求值.【详解】由，得，即，，所以，故答案为：.53．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为____【答案】【分析】利用二倍角正弦公式、同角三角函数的商数关系，结