专题11立体几何解答题

专题11立体几何解答题一、解答题【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）（2）【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）证明：连接、、.（2）解：取的中点，连接、.【分析】【详解】【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；【分析】(2)以点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.（1）（2）以点为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，【答案】（1）证明见解析【分析】（1）（2）【答案】（1）证明见解析【分析】（2）以Q为原点，，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，（1）（2）以Q为原点，，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，【答案】（1）证明见解析【分析】（1）（2）【答案】（1）证明见详解【分析】（1）由面面垂直判定定理出发，进行逆向分析，通过线面垂直、线线垂直之间的关系，结合已知条件进行不断转化可证；（2）借助第一问寻找两两垂直的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.（1）连接BD，记AD中点为O，连接OF，O、F分别为AD、AB的中点平面PAD平面ABCD（2）由（1）可知AD、OB、PO两两垂直，于是如图建立空间直角坐标系，【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据向量的共面证明线面平行；（1）（2）则有：【答案】（1）证明见解析（2）60°【分析】（1）证明：取中点D，连结CD，（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1）用分别表示线段BC和PD长度；【答案】（2）【分析】（1）（2）（2）求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取AD中点O，连接OM．因为在梯形ABCD中，（2）因为由图可知面PAD与面PBC所成的二面角为锐角，所以面PAD与面PBC所成的二面角的余弦值为．（1）求证：，，，四点共面；【答案】（1）证明见解析（2）存在，【分析】（1）证明：如图所示：又因为F为的中点，所以B，E，，F四点共面；（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，【答案】（1）见解析；【分析】(1)用线线平行证明线面平行，∴在平面PCD内作BE的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进行求解，根据已知条件，以AD中点O为原点，OB，AD，OP分别为x、y、z轴建立坐标系﹒（1）如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒∵E是AP中点，∴EFAD，由题知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；（2）取AD中点为O，连接OP，OB，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD两两垂直，故以O为原点，OB、OD、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图：【分析】【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，，因为是的中点，是的中点.因为是的中点，是的中点则，，两两垂直，以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，【答案】（1）证明见解析（2）【分析】【详解】设中点为，连接，（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）连接，（2）19．（2022·湖北武昌·高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．【答案】（1）证明见解析（2）存在；CK的长度为2【分析】（1）（2）方法一：此时，点K为点F，CK的长度为2．（2）求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）（2）解：以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，【答案】（1）证明见解析【分析】（1）（2）【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（2）建立空间直角坐标系，然后再求出相关平面的法向量，最后用夹角公式计算即可.（1）（2）【答案】（1）证明见解析【分析】（1）证明：连接，建立空间直角坐标系，【分析】【详解】（1）证明：连接.25．（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．（1）求证：OA⊥PB；【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即得；（2）利用坐标法即求.（1）∵OP是圆柱的一条母线，∴OP⊥OA，∵AB是圆柱的底面圆的直径，∴OA⊥PB.（2）∵AB是圆柱的底面圆的直径，∴四边形OACB为正方形,设直线PC与平面PAB所成角为θ，【答案】（1）证明见解析（2）成立，理由见解析【分析】（1）由已知及正方体性质先证线面垂直，再证面面垂直.（2）建立适当的空间直角坐标系，求二面角对应两平面的法向量，进而可以判断是否成立.（1）（2）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，【答案】（1）证明见解析【分析】（1）（2）【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）（2）方法一：几何法如图，过点作的垂线，垂足为，连接.方法二：向量法（1）证明:PC//平面BEF；（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角CBEF的余弦值．【答案】（1）证明过程见解答；【分析】（1）证明：连接，交于，连接，（2）（2）取的中点，连，，以，，所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，【答案】（1）证明见解析【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.（1）如图，连接SO和OE，又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥，（2）易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，【答案】（1）证明见解析.（2）【分析】（1）（2）（1）求证：平面ADE平面ABCD；（2）若EF=ED=AD，CD=2EF=2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.（1）（2）【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）（2）【答案】（1）点M为线段的中点，理由详见解析；（2）【分析】（1）如图所示：分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，所以四边形DEMF是平行四边形，（2）设AD=2，【答案】（1）1；（2）.【分析】【详解】【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.（1）求证：AO⊥平面BOC；（2）若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析【分析】（1）证明CO⊥AO，AO⊥BC，再利用线面垂直的判定定理，即可得到答案；（2）由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示得空间直角坐标系，求出此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，再代入线面角的向量公式，即可得到答案；（1）证明：底面BOC为等腰直角三角形，且BC为斜边，所以CO⊥OB，因为平面AOB⊥底面BOC，平面AOB∩平面BOC＝OB，CO平面BOC，所以CO⊥平面AOB，因为AO⊂平面AOB，所以CO⊥AO，又AO⊥BC，BC，CO平面BOC，BC∩CO＝C，所以AO⊥平面BOC．（2）由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，所以OC＝OB＝2，因为E是OC的中点，所以B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，而平面BEO的法向量为＝(0，0，1)，因为二面角A－BE－O的余弦值为，因为t＞0，所以t＝1，此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，设直线AC与平面ABE所成的角为θ，（1）求证：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）（2）以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，38．（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1中点．（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；（2）记二面角A－BC－B1的大小为θ，当θ∈[，]时，求直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；（1）∵△ABC是等腰三角形，O为BC的中点，∴BC⊥AO，∵侧面BCC1B1为等腰梯形，M为的中点，∴BC⊥MO．∵MO∩AO＝O，MO，AO平面AOM，∴BC⊥平面AOM，∵BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOM．（2）在平面AOM内，作ON⊥OA，∵平面ABC⊥平面AOM，平面ABC∩平面AOM＝OA，ON平面AOM，∴ON⊥平面ABC，以OB，OA，ON分别为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵MO⊥BC，AO⊥BC，∴A（0，3，0），B（4，0，0），C（－4，0，0），M（0，2cosθ，2sinθ），C1（－2，2cosθ，2sinθ），B1（2，2cosθ，2sinθ），∴＝(－2，2cosθ，2sinθ)，设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)，其中＝(4，3，0)，＝(2，2cosθ，2sinθ)，设直线BB1与平面AA1C1C所成的角为α，∴f（θ）在[，]上单调递增，∴直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值为.39．（2022·江苏海安·高三期末）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝2EB＝2，AB＝4．（1）求证：平面ACD⊥平面EBCD；（2）若∠ABC＝30°，求平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；（2）利用坐标法即求.（1）∵AB是圆O的直径，∴平面ACD⊥平面EBCD；（2）如图建立空间直角坐标系，∴平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析.【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；（1）（2）41．（2022·江苏如东·高三期末）在四棱锥A－BCDE中，直线AB⊥平面BCDE，底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点.（1）证明：AE⊥CE；（2）若平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）证明：因为直线AB⊥平面BCDE，所以AB⊥BC，AB⊥BE，因为底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点，（2）因为平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，所以直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.（2022·江苏如皋·高三期末）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，