6.3对数函数学案-高一上学期数学苏教版

6．3对数函数6.3.1对数函数(1)1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念.2.能借助计算器或计算机画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数.4.能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小．活动一对数函数的概念在某种细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数y＝2x.因此，知道x的值(输入值是分裂次数)，就能求出y的值(输出值是细胞个数).现在，如果我们知道了细胞个数y，如何确定分裂次数x？这就是本节我们要研究的对数函数．思考1►►►在背景引入中，y与x的关系式为y＝2x，那么，如何用y来表示出x?思考2►►►在思考1得出的关系式中，x是y的函数吗？为什么？思考3►►►前面提到的放射性物质，经过的时间x(单位：年)与物质剩余量y的关系式为y＝0.84x，那么，如何用y来表示出x?x是y的函数吗？思考4►►►习惯上，用x表示自变量，用y表示它的函数．这样，上面两个函数可写出怎样的形式？思考5►►►一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域为(0，＋∞).例1求下列函数的定义域：(1)y＝log0.2(4－x)；(2)y＝logaeq\r(x－1)(a>0，a≠1).求下列函数的定义域：(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝eq\f(1,log2x)；(3)y＝log7eq\f(1,1－3x)；(4)y＝log(2x－1)(－4x＋8).活动二对数函数的图象及性质思考6►►►思考7►►►我们可以对照指数函数的图象和性质得到对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质：a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)图象过点(1，0)(4)增函数；当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0减函数；当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0例2(1)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________；(3)函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是()A.2B.1C.0D.－1(1)已知对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．思考8►►►函数y＝logax与y＝ax(a>0，a≠1)的定义域、值域之间有怎样的关系？思考9►►►函数y＝logax与y＝ax(a>0，a≠1)的图象有怎样的关系？当a>0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数．反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f1(x).互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．例3比较下列各组数中两个数的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.51.8，log0.52.1；(3)log75，log67.比较两个同底数的对数的大小，首先要根据对数底数判断对数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判断两个对数值的大小．若底数不同，则需要找一个中间值来进行比较．对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论．比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.1.已知集合A＝{x|y＝lnx}，B＝{y|y＝lnx}，则A∩B等于()A.∅B.[0，＋∞)C.(0，＋∞)D.R2.已知a＝ln2，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a3.(多选)(2024承德期末)已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，则函数y＝ax与y＝logbx的图象的交点坐标不可能为()A.(2，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(1，2)4.(2025河北期末)函数f(x)＝log5x＋eq\r(x－5)的最小值为________．5.若函数f(x)＝log3(2x2－8x＋m)的定义域为R，求实数m的取值范围．

6．3.2对数函数(2)1.了解对数函数底数的大小与函数图象的关系.2.理解对数函数图象的画法及对数函数图象的平移，并能应用对数函数的性质解决相关问题.3.通过研究对数函数的有关性质，培养归纳和应用的思维能力．活动一对数函数底数的大小与函数图象的关系思考1►►►观察如图所示函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？思考2►►►函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？例1(1)比较下列各组数的大小：①log3eq\f(2,3)与log5eq\f(6,5)；②log1.10.7与log1.20.7.比较对数数值大小的方法有很多：①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底数(利用换底公式)或利用对数函数的图象，数形结合来比较；③若不同底数，不同真数，则可利用中间值进行比较．(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是________；(2)已知logm7<logn7<0，则m，n，0，1之间的大小关系是____________．函数y＝logmx与y＝lognx中m，n的大小与图象的位置关系．当0<n<m<1时，如图1；当1<n<m时，如图2；当0<m<1<n时，如图3.图1图2图3例2(1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范围；(2)已知log0.72x<log0.7(x－1)，求x的取值范围．logaf(x)＝logag(x)(a＞0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)＞logag(x)等价于当0＜a＜1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)>0，,g(x)>0，,f(x)<g(x)；))当a>1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)>0，,g(x)>0，,f(x)>g(x).))

解不等式：(2)logx3>1；(3)loga(2x－5)>loga(x－1).活动二对数函数图象的平移变换例3说明函数y＝log3(x＋2)与函数y＝log3x的图象的关系．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象，y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？1.当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度就得到函数y＝f(x＋a)的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向右平移|a|个单位长度就得到函数y＝f(x＋a)的图象．2.当a>0时，将函数y＝f(x)的图象向上平移a个单位长度就得到函数y＝f(x)＋a的图象；当a<0时，将函数y＝f(x)的图象向下平移|a|个单位长度就得到函数y＝f(x)＋a的图象．

1.(2025郑州期末)已知logaeq\f(1,3)<1，则实数a的取值范围为()A.(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))2.已知a＝lg2，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b3.(多选)(2025达州期末)函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))的图象可以为()HD25BX1SX20.tif"HD25BX1SX20.tif"HD25BX1SX21.tif"HD25BX1SX21.tif"HD25BX1SX22.tif"HD25BX1SX22.tif"ABCD4.(2025景德镇期末)已知函数y＝loga(x＋1)，它的反函数y＝f(x)经过点(2，3)，则a＝________．5.(2025常州北郊高级中学期末)已知函数f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x).(1)求函数y＝f(x)的定义域，并判断f(x)是否具有奇偶性；(2)若f(m)－f(－m)<2，求实数m的取值范围．

6．3.3对数函数(3)1.熟练掌握对数函数的图象和性质，并能应用对数函数的图象和性质解决问题.2.理解含有绝对值对数函数图象的画法，体会数形结合、分类讨论等思想方法的应用.3.通过研究与对数函数有关的复合函数的性质，培养分析问题、解决问题的能力.活动一利用数形结合解决含绝对值对数函数的问题例1画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象写出函数的单调区间．函数y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．说明下列函数的图象与对数函数y＝log2x的图象的关系，并画出它们的示意图，根据图象写出它们的单调区间：(1)y＝|log2x|；(2)y＝log2(－x)；(3)y＝－log2x.例2已知函数f(x)＝|logax|(0<a<1)，则下列各式中正确的是()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>f(2)C.f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))>f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则下列选项中正确的是()A.x1x2＜0B.x1x2＝0C.x1x2＞1D.0＜x1x2＜1从以上两个例题可知，一般地含绝对值的对数函数的解析式有两种情形：(1)真数加上绝对值，改变原有的定义域．(2)解析式整体加上绝对值，改变原有的值域．基于这两种情形，题型是可以变化的，如研究f(x)＝log2(|x|＋1)的图象性质，可先画x>0的部分图象，再从奇偶性判断图象关于y轴对称．再如，函数f(x)＝|loga|x||尽管两处都含有绝对值符号，只需借助数形结合的思想，画出图象，就能准确地得到问题的答案．活动二利用对数函数的图象和性质解决函数单调性与奇偶性的问题例3已知f(x)＝log4(4x－1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域．

已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1).(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)判断函数f(x)的单调性，并证明．(1)求实数a的值；(2025郴州期末)已知f(x)＝log2(4x＋1)＋kx为偶函数．(1)求实数k的值；(2)设h(x)＝－x2＋2tx－1，若∀x1∈[1，3]，∀x2∈[0，2]，都有h(x1)≤f(x2)＋x2成立，求实数t的取值范围．

1.判断形如y＝logaf(x)的单调性时，常先分析f(x)的单调性，然后分a>1和0<a<1两类分别指出函数y＝logaf(x)的单调性．2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1.(2024石家庄外国语学校期末)函数f(x)＝log2(x2－4)的单调增区间为()A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(2，＋∞)D.(－∞，－2)2.(2025广州期末)函数f(x)＝|log2(x＋1)|的图象大致为()ABCD3.(多选)(2025邯郸期末)已知函数f(x)＝lneq\f(a＋x,1－x)的图象关于原点对称，则下列结论中正确的是()A.a＝1B.函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减C.函数f(x)的值域为RD.若f(x)>ln2，则x>eq\f(1,3)4.(2025天河期末)已知函数f(x)＝|log5x|，若0<n<m，且f(m)＝f(n)，则n＋3m的取值范围是__________．5.(2025新乡期末)已知函数f(2x－1)＝eq\f(5－2x,3＋2x).(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)在区间(－4，＋∞)上的单调性并根据定义加以证明；(3)若函数g(x)＝logaf(x)在区间[－1，2]上的最小值是－1，求实数a的值．

6．3对数函数6．3.1对数函数(1)【活动方案】思考1：x＝log2y.思考2：在关系式x＝log2y中，x是y的函数．因为对于每一个给定的y值，都有唯一的x值和它对应，其中y是自变量，x就是y的函数．思考3：x＝log0.84y，同样地，y是自变量，x是y的函数．思考4：y＝log2x和y＝log0.84x.思考5：这些函数的解析式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量．例1(1)当4－x>0，即x<4时，log0.2(4－x)有意义；当x≥4时，log0.2(4－x)没有意义，所以函数y＝log0.2(4－x)的定义域是(－∞，4).(2)当eq\r(x－1)>0，即x>1时，logaeq\r(x－1)有意义；当x≤1时，logaeq\r(x－1)没有意义，所以函数y＝logaeq\r(x－1)的定义域是(1，＋∞).跟踪训练(1)由1－x>0，得x<1，所以所求函数的定义域为{x|x<1}．(2)由log2x≠0，得x≠1，又x>0，所以所求函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－3x)>0，,1－3x≠0，))得x<eq\f(1,3)，所以所求函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,3))).(4)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1，))所以y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|eq\f(1,2)<x<2，且x≠1}．思考6：作图步骤：①列表；②描点；③用平滑的曲线连接各点．x…eq\f(1,4)eq\f(1,2)124…y＝log2x…－2－1012……210－1－2…相同性质：两图象都位于y轴的右方，都经过点(1，0)，这说明两函数的定义域都是(0，＋∞)，且当x＝1时，y＝0.思考7：两个函数的图象关于x轴对称．(3)B因为函数y＝log2x在区间(0，2]上单调递增，所以当x＝2时，y取得最大值，最大值是1.跟踪训练(1)D设该函数为y＝logax(a>0，a≠1).因为对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2，所以对数函数的解析式为y＝log2x.(2)(0，－2)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).思考8：函数y＝logax与y＝ax的定义域和值域之间是互换的．思考9：两个函数的图象关于直线y＝x对称．例3(1)考察对数函数y＝log2x.因为2>1，所以y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为0＜3.4＜8.5，所以log23.4<log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.5x.因为0<0.5<1，所以y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上是减函数．又因为0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1.(3)考察对数函数y＝log7x.因为7>1，所以y＝log7x在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为0＜5＜7，所以log75<log77＝1.同理log67＞log66＝1，所以log75＜log67.跟踪训练(1)因为函数y＝lnx在区间(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)当a>1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上是增函数．又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，函数y＝logax在区间(0，＋∞)上是减函数．又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.(3)方法一：因为0>log0.23>log0.24，所以eq\f(1,log0.23)<eq\f(1,log0.24)，即log30.2<log40.2.方法二：如图，由图可知log40.2>log30.2.(4)因为函数y＝log3x在区间(0，＋∞)上是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.【检测反馈】1.C由题意，得A＝(0，＋∞)，B＝R，所以A∩B＝(0，＋∞).2.C因为f(x)＝lnx在区间(0，＋∞)上单调递增，且0<2<3，所以ln2<ln3，即a<b.又因为c＝log32＝eq\f(ln2,ln3)<ln2＝a，所以b>a>c.3.BCD由指数、对数运算可知，a2≠1，a≠1，logb1＝0≠2，所以函数y＝ax的图象不可能经过点(2，1)，(1，1)，函数y＝logbx的图象不可能经过点(1，2)，(1，1)，函数y＝(eq\r(2))x与y＝logeq\r(2)x的图象交于点(2，2).故选BCD.4.1由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－5≥0，))解得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞).因为y＝log5x，y＝eq\r(x－5)在区间[5，＋∞)上都单调递增，所以f(x)在区间[5，＋∞)上是增函数，所以f(x)的最小值为f(5)＝1.5.由题意知，2x2－8x＋m>0在R上恒成立，所以Δ＝(－8)2－4×2m<0，解得m>8，所以实数m的取值范围为(8，＋∞).

6．3.2对数函数(2)【活动方案】思考1：对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)上，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)上，底数越小越靠近x轴．思考2：由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1.因为y＝logbx的图象在区间(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b<c，所以a，b，c的大小关系为0<b<c<1<a.例1(1)①因为log3eq\f(2,3)＜log31＝0，log5eq\f(6,5)＞log51＝0，所以log3eq\f(2,3)＜log5eq\f(6,5).②因为0＜0.7＜1，1.1＜1.2，所以0＞log0.71.1＞log0.71.2，所以eq\f(1,log0.71.1)＜eq\f(1,log0.71.2).由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.因为y＝2x是增函数，所以2b＞2a＞2c.跟踪训练(1)b<c<a因为函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，且3.6>2，所以log23.6>log22＝1.因为函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，且3.2<3.6<4，所以log43.2<log43.6<log44＝1，所以log43.2<log43.6<log23.6，即b<c<a.(2)0<n<m<1根据题意，作出函数y＝logmx，y＝lognx的图象如图所示，由图象可知0<n<m<1.例2(1)由logaeq\f(1,2)>1，得logaeq\f(1,2)>logaa.①当a>1时，有a<eq\f(1,2)，此时无解；②当0<a<1时，有eq\f(1,2)<a，从而eq\f(1,2)<a<1，所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)因为函数y＝log0.7x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以由log0.72x<log0.7(x－1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1，故x的取值范围是(1，＋∞).跟踪训练(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4－x>0，,x<4－x，))解得0<x<2，所以原不等式的解集为(0，2).(2)当x>1时，logx3>1＝logxx，解得x<3，所以1<x<3；当0<x<1时，logx3>1＝logxx，解得x>3，此时不等式无解．综上所述，原不等式的解集为(1，3).(3)当a>1时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5>x－1，))解得x>4；当0<a<1时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5<x－1，))解得eq\f(5,2)<x<4.综上，当a>1时，原不等式的解集为(4，＋∞)；当0<a<1时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).例3比较函数y＝log3(x＋2)与函数y＝log3x的取值关系，列表如下：xy＝log3xy＝log3(x＋2)………－1/0－0.5/log31.50/log321011.5log31.5log33.52log32log3431log35………一般地，函数y＝log3(x＋2)中x＝a－2对应的y值与函数y＝log3x中x＝a对应的y值相等，则将对数函数y＝log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝log3(x＋2)的图象．这两个函数的图象如下图所示．跟踪训练y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋1)的图象，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0，0).【检测反馈】1.C当0<a<1时，logaeq\f(1,3)<logaa，可得a<eq\f(1,3)，所以0<a<eq\f(1,3)；当a>1时，logaeq\f(1,3)<logaa，可得a>eq\f(1,3)，所以a>1.综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪(1，＋∞).2.C因为对数函数y＝lgx，y＝log2x，y＝log3x都是区间(0，＋∞)上的增函数，所以lg2<1，log23>1，log34>1.又log32·log34<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log32＋log34,2)))eq\s\up12(2)＝(log32eq\r(2))2<1，且log32>0，所以log34<eq\f(1,log32)＝log23，故a<c<b.3.ACD由题意，得函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞)).当a>1时，函数f(x)单调递增，且0<eq\f(1,a)<1.又f(0)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,a)))＝logaeq\f(1,a)＝－1，故A正确，B错误；当0<a<1时，函数f(x)单调递减，且eq\f(1,a)>1.又f(－1)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,a)))，当1<eq\f(1,a)<2时，f(－1)＝loga(－1＋eq\f(1,a))>loga1＝0，故C正确；当eq\f(1,a)＝2时，f(－1)＝loga(－1＋2)＝loga1＝0，故D正确．故选ACD.4.2因为函数y＝loga(x＋1)的反函数y＝f(x)经过点(2，3)，则函数y＝loga(x＋1)经过点(3，2)，所以loga(3＋1)＝2，所以a2＝4.又a>0且a≠1，所以a＝2.5.(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋x>0，,2－x>0，))解得－2<x<2，所以f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．f(x)为奇函数．理由如下：∀x∈(－2，2)，都有－x∈(－2，2)，则f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为f(x)为奇函数，所以f(m)－f(－m)＝2f(m).又f(m)－f(－m)<2，所以2f(m)<2，所以f(m)<1，即log3eq\f(2＋m,2－m)<1，所以0<eq\f(2＋m,2－m)<3.由eq\f(2＋m,2－m)<3，得m<1或m>2；由eq\f(2＋m,2－m)>0，得－2<m<2，综上，实数m的取值范围是(－2，1).

6．3.3对数函数(3)【活动方案】例1当x≠0时，因为函数y＝f(x)＝log2|x|满足f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，所以函数y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称．当x>0时，log2|x|＝log2x.因此，先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1和C2构成函数y＝log2|x|的图象，如图所示．由图象可知函数y＝log2|x|的增区间是(0，＋∞)，减区间是(－∞，0).跟踪训练(1)保留y＝log2x的x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折上去，得到y＝|log2x|的图象，图象如图所示．由图象知，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1].(2)y＝log2(－x)的图象与y＝log2x的图象关于y轴对称，图象如图所示．由图象知，减区间为(－∞，0)，没有增区间．(3)y＝－log2x的图象与y＝log2x的图象关于x轴对称，图象如图所示．由图象知，减区间为(0，＋∞)，没有增区间．例2B由题意，得eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，2不属于同一个单调区间．因为f(x)＝|logax|＝|－logax|＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝f(4)>f(3)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>f(2).跟踪训练D作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，则lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1.例3(1)由4x－1>0，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，所以log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(3)由(2)，得函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝log415，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，log415].跟踪训练(1)为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a.因为a＞1，所以x＜1，故定义域为(－∞，1).又因为loga(a－ax)＜logaa＝1，所以f(x)＜1，即函数的值域为(－∞，1).(2)函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减．证明如下：在区间(－∞，1)上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝logaeq\f(a－ax1,a－ax2).因为a＞1，x1＜x2＜1，所以ax1＜ax2＜a，所以0＜a－ax2＜a－ax1，所以eq\f(a－ax1,a－ax2)＞1，所以logaeq\f(a－ax1,a－ax2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减．例4(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，解得a＝－1或a＝1.综上所述，实数a的值为－1.故实数m的取值范围是[－1，＋∞).跟踪训练(1)因为f(x)＝log2(4x＋1)＋kx为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(4－x＋1)－kx＝log2(4x＋1)＋kx，即log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝2kx.又log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－x＋1,4x＋1)))＝log24－x＝－2x，所以2kx＝－2x，解得k＝－1.(2)∀x1∈[1，3]，∀x2∈[0，2]，都有h(x1)≤f(x2)＋x2成立，只需h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，3]上的最大值小于等于f(x)＋x在x∈[0，2]上的最小值，其中f(x)＋x＝log2(4x＋1)－x＋x＝log2(4x＋1).由复合函数的性质，得f(x)＋x＝log2(4x＋1)在x∈[0，2]上单调递增，则最小值为log2(40＋1)＝1.易得h(x)＝－x2＋2tx－1的图象开口向下，对称轴为直线x＝t，当t≤1时，h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，3]上单调递减，最大值为h(1)＝2t－2，所以2t－2≤1，解得t≤eq\f(3,2)，所以t≤1；当1<t<3时，h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，t]上单调递增，在x∈(t，3]上单调递减，则最大值为h(t)＝t2－1，所以t2－1≤1，解得－eq\r(2)≤t≤eq\r(2)，所以1<t≤eq\r(2)；当t≥3时，h(x)＝－x2＋2tx－1在x∈[1，3]上单调递增，则最大值为h(3)＝6t－10，所以6t－10≤1，解得t≤eq\f(11,6)，此时无解．综上，实数t的取值范围为(－∞，eq\r(2)].【检测反馈】1.C由题意，得函数f(x)＝log2(x2－4)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，函数y＝log2x在定义域上是增函数，函数y＝x2－4的图象开口向上，对称轴是y轴．当x>2时，y＝x2－4单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log2(x2－4)的单调增区间为(2，＋∞).2.C易得函数f(x)＝|log2(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，排除B，D；f(0)＝|log2(0＋1)|＝|log21