专题01全等三角形性质及其判定重难点题型专训（4个知识点12大题型5大拓展训练自我检测）

专题01全等三角形性质及其判定重难点题型专训（4个知识点+12大题型+5大拓展训练+自我检测）题型一图形的全等题型二全等三角形的概念与性质题型三用SSS证明三角形全等（SSS）题型四用SAS证明三角形全等（SAS）题型五用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）题型六用HL证全等（HL）题型七尺规作图——作三角形题型八过直线外一点作已知直线的平行线题型九添加条件使三角形全等题型十灵活选用判定方法证全等题型十一旋转模型题型十二利用全等图形求正方形网格中角度之和拓展训练一利用全等三角形的判定与性质求角度拓展训练二利用全等三角形的判定与性质求长度拓展训练三利用全等三角形的判定与性质求面积拓展训练四全等三角形中的动点问题拓展训练五全等三角形的综合问题知识点一：全等图形定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形.例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。图1图2图1图2【即时训练】1．（2425八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．2．（2425八年级上·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是．（填序号）【答案】⑤和⑦【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形，故答案为：⑤和⑦．【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．知识点二：全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。要点诠释：1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。2.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.【即时训练】1．（2425八年级上·陕西西安·期末）如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】本题考查了全等的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等的性质，三角形内角和定理是解题的关键．故选：B．【答案】7【分析】本题考查的是全等三角形的性质，直接根据全等三角形性质得出结论即可．故答案为：7．知识点三：全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。【即时训练】A．3 B．3.5 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到边长相等．即的长为4．故选：C．【答案】10H6【分析】本题考查了全等形的性质，根据全等形的对应边相等，对应角相等求解即可．故答案为：10，H，6．知识点四：全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“边边边”定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.二、全等三角形判定2——“边角边”定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.注意：1.这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角边角”定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.四、全等三角形判定4——“角角边”定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.三角形证全等思路五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【即时训练】【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可．【经典例题一图形的全等】【例1】（2425八年级上·重庆沙坪坝·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意；B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意；C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意；D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意．故选：C．1．（2425八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（）A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c【答案】D【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断．因此，与是全等图形，故选：D．

【答案】105故答案为：105．【答案】【分析】根据全等图形的性质即可求解．故答案为：．【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键．

(1)你选择的是：____________________；(2)证明：(2)证明见解析．【分析】（1）根据图形和已知条件进行选择即可；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【经典例题二全等三角形的概念与性质】【例2】（2425八年级上·山东菏泽·期中）关于全等三角形，下列说法正确的是（

）A．大小相等的三角形是全等三角形B．面积相等的三角形是全等三角形C．三个角对应相等的三角形是全等三角形D．两个三角形全等，它们的形状一定相同【答案】D【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键．A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质，根据三角形的内角和求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可．故选：A．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可．【详解】解：由图可知，与是对顶角，∴与是对应角，又与是对应边，∴与是对应边，故答案为：，．【答案】/度【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键．【详解】故答案为：【答案】(1)见解析(2)【经典例题三用SSS证明三角形全等（SSS）】【答案】D∴不需要添加条件，故选：D．1．（2425八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：则回答正确的是（

）A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA【答案】B故选：B．【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得．【答案】对应角相等故答案为：对应角相等，．【答案】见详解【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等．【经典例题四用SAS证明三角形全等（SAS）】【例4】（2526八年级上·全国·随堂练习）根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③【答案】C【详解】解：根据题意得，故选：C．【答案】D故选：【答案】/96度【分析】根据SAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中．【答案】见解析本题主要考查了全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件．【经典例题五用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】【例5】（2425八年级上·江苏南通·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可．【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形；②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形；③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形；④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形；故选C．【答案】B【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．故选：B．2．（2425八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第块去商店．【答案】③故答案为：③．【答案】故答案为：．【答案】见解析【经典例题六用HL证全等（HL）】【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可．故选：D．【答案】D故选：D．

【答案】【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．

∵尺的宽度相等，画法的依据是：．故答案为：．【答案】(1)全等，理由见解析【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键．【经典例题七尺规作图——作三角形】【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．故选：D．【答案】D【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项D正确．故选：D．【答案】③①②【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．故答案为：③①②．【答案】ac【分析】本题考查的是尺规作图按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可．故答案为：；a；c．4．（2526八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．已知：如图，线段a和．【答案】见解析【分析】此题考查了三角形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．【经典例题八过直线外一点作已知直线的平行线】【例8】（2425八年级上·辽宁阜新·期末）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等 B．对顶角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，内错角互补【答案】B【分析】本题主要考查命题真假的判断、对顶角、平行线性质、平行公理等知识点，掌握平行线的性质以及平行公理成为解题的关键．根据对顶角、平行线性质、平行公理逐项分析判断即可．【详解】解：A．若两直线不平行，同旁内角大小不确定，故此命题为假命题，不符合题意；B．根据对顶角定理，对顶角一定相等，故此命题为真命题，符合题意；C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若该点在已知直线上，则无法作平行线．题干未限定为“直线外一点”，表述不严谨，故此命题为假命题，不符合题意；D．根据平行线性质定理，两直线平行时，内错角相等，而非互补，故此命题为假命题，不符合题意．故选：B．A．以为圆心，长为半径的弧 B．以为圆心，长为半径的弧C．以为圆心，长为半径的弧 D．以为圆心，长为半径的弧【答案】C【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识，【详解】由作图可知作图步骤为：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，，②以点为圆心，以为半径画弧，交于，③以点为圆心，以为半径画弧，交弧于，④过点作射线，故选：C．2．（2425八年级上·北京·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是．【答案】甲、乙【详解】解：如图，甲所用方法正确．如图，乙所用方法正确．综上，所用方法正确的是甲、乙，故答案为：甲、乙．3．（2025·北京东城·模拟预测）阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：已知：直线l和l外一点P．求作：过点P的直线m，使得m∥l．小东的作法如下：作法：如图2，（1）在直线l上任取点A，连接PA；（2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．老师说：“小东的作法是正确的．”请回答：小东的作图依据是．【答案】内错角相等，两直线平行【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．【详解】∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4．（2425八年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，每个小方格都是边长为1的正方形，网格中有三个格点A、B、P．按要求进行下列用直尺作图，并标出相应的字母．②在上找一点N，使线段的长度最短．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查网格作图，尺规作图，作平行线掌握知识点是解题的关键。（1）根据网格作图的特点，即可作图解答；【详解】解：（1）如图所示，（2）作图如图【经典例题九添加条件使三角形全等】【答案】D故选：D．【答案】A【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．故选：A你选择的条件是_____（填写序号）【答案】①或③故答案为：①或③．【经典例题十灵活选用判定方法证全等】【例10】（2425八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（

）【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．故选：A．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B故选：B．【答案】故答案为：．

【答案】②③①故答案为：②③；①．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，此题的关键是明确题设和结论的含义，然后问题可解．【答案】(1)见解析(2)15【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．（2）连接，如图所示：【经典例题十一旋转模型】【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AB＝，△AB'C'可以由△ABC绕点A逆时针旋转得到（B与B'对应，C与C'对应），连接CB'，且C、B'、C'恰好在同一条直线上，则CC'的长为（）

A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】连接BB′，根据旋转的性质得到AB＝AB′，AC＝AC′，∠C′＝∠ACB＝45°，B′C＝BC＝1，根据等腰三角形的性质得到∠ACC′＝∠C＝45°，求出∠CAC′＝∠BAB′＝90°，根据勾股定理得到BB′＝AB＝，根据勾股定理得到CB′＝3，于是得到结论．【详解】解：如图，连接BB′，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠C′＝∠ACB＝45°，B′C＝BC＝1，∴∠ACC′＝∠C′＝45°，∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，∴BB′＝AB＝，∵∠ACB＝∠ACC′＝45°，∴∠BCB′＝90°，∴CC′＝CB′+B′C′＝4．故选：A．

【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，判断出ABB′是等腰直角三角形是解题关键．A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1＋∠2＋∠A=180°，∠1＋∠3＋∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP≌△CDO，则AP=CO=6．线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，故选：【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．【答案】70【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案．【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，∴△ABC≌△AED，∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，故答案为：70．【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单．【答案】6故答案为：．①判断与的关系；【答案】(1)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．【经典例题十二利用全等图形求正方形网格中角度之和】【例12】（2025八年级上·江苏南通·模拟预测）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠2＝∠3，在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故选：B．【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．1．（2425八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=度．【答案】135【详解】如图所示，在△ACB和△DCE中，【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．2．（2025·宁夏银川·模拟预测）在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，以线段AB为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8；如果将图中格点三角形面积记为S，频数记为x，根据上述信息计算:当S=3时，x=．【答案】4【分析】由题意直接依据三角形的面积公式进行填表即可得出答案.【详解】解：由题意可知格点三角形面积（S）

1

2

3

4频数（x）

8

6

4

2故答案为：4.【点睛】本题考查网格问题中的三角形，熟练掌握三角形的概念以及三角形的面积公式是解题的关键.3．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．只用直尺（不带刻度）(1)如图1，如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上，请在这个网格中作线段AB的垂直平分线；(2)如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）取格点C，D，M，N，连接BD、AM，BN交于点F，AC交于点E，根据格点特点及正方形的性质，可得BE=AE，BF=AF，可知点E、F在AB的垂直平分线上，作直线EF即可；（2）根据格点特点，取格点R，J，连接BR，CJ交于点I，连接AJ，延长AI交BC于点H，可得CJ、BR分别是AB、AC的高线，线段AH即为所求．【详解】（1）解：如图1中，直线EF即为所求；取格点C，D，M，N，连接BD、AM，BN交于点F，AC交于点E，∴四边形ABCD、ABMN是正方形，∴BE=AE，BF=AF，∴点E、F在AB的垂直平分线上，EF即为所求．（2）解：如图2中，取格点R，J，连接BR，CJ交于点I，连接AJ，根据网格特点可知CJ、BR分别是AB、AC边的高线，∵三角形三条高线交于一点，∴AH是BC边上的高线，AH即为所求．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的高线性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．(2)在图2中作图：【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②见解析．【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；【详解】（1）如图1，线段为所求；证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图，结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，∵∠PAM+∠MPA=90°，∴∠PBN+∠MPA=90°，∴在△PBH中，∠PHB=90°，即AH⊥BC，AH符合要求；（2）①如图2，点为所求；②如图2，点为所求．即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，根据网格作图可知，线段的中点为，【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【拓展训练一利用全等三角形的判定与性质求角度】【答案】【分析】本题主要考査了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；(1)如图1，点在线段上运动．(2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角的和差计算．（2）同上证明即可．【拓展训练二利用全等三角形的判定与性质求长度】【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质：3．（2425八年级上·山东济南·期末）（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型．（2）【内化迁移】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键．【详解】（1）证明：选择图1：当点M在线段上时，如图，当点M在线段反向延长线上时，如图，当点D在线段上的情况不存在．【拓展训练三利用全等三角形的判定与性质求面积】【答案】24【答案】(1)见解析(2)18【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键．（2）全等，理由如下：（3）解：如图，连接，【拓展训练四全等三角形中的动点问题】A． B． C． D．【答案】A故选：A．【答案】2或或8【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【详解】解：分以下三种情况讨论：②如图2，当点P与点Q重合时，③如图3，当点Q与A重合时，故答案为：2或或8．【答案】(1)见解析【分析】本题考查全