2026年中考数学第一轮复习：因式分解【附解析】

/2026年中考数学一轮复习因式分解一．选择题（共8小题）1．下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（）A．3a+3b＝3（a+b） B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）2．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（）A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝（x2﹣1）3．对于任何整数n（n≠0），多项式（5n+7）2﹣9都能（）A．被9整除 B．被n整除 C．被n+1整除 D．被n+2整除4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（）A．528024 B．522824 C．248052 D．5224805．下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（）A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+16．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）7．已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣2，则另一个一次多项式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+38．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除二．填空题（共11小题）9．已知a，b，c，d均为正整数，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝65，则b﹣d＝．10．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式．11．已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a212．观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53＝（）2＝．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n3＝（）2＝[]2．（2）猜想：113+123+133+143+153＝．13．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称正整数m为“言行合一数”，交换“言行合一数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记P(m)=m+n11−m−n111+15，那么最小的四位“言行合一数”为；若四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y14．已知：a=−1999×1999−19991998×1998+1998，b15．已知a=12019+2018，b=12019+2019，c=12019+2020，则代数式2（a2+b2+c216．设正数a，b，c满足24a+b＝abc，则a+b+c的最小值为．17．已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是．18．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称正整数m为“群凤和鸣数”，交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记P（m）=m+n11−m−n111+15那么最小的四位“群凤和鸣数”为；若四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、19．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a5+三．解答题（共11小题）20．教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．21．已知多项式A＝2t+5，B＝2t﹣5，t为任意有理数．（1）问A•B+30的值能否等于4，说明理由；（2）当t是整数时，判断A2﹣B2的值能否被8整除．22．先阅读下列材料，再解决问题．材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3．即x2+x﹣6能被x﹣2整除．所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0．（1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被整除，所以是x2+5x+6的一个因式，且当x＝时，x2+5x+6＝0；（2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值．23．给出三个单项式：a2，b2，2ab．（1）任选两个单项式相减，并进行因式分解；（2）利用因式分解进行计算：a2+b2﹣2ab，其中a＝2026，b＝2024．24．【阅读材料】某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．方法如下a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．请在这种方法的启发下，解决下列问题：【问题解决】（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；【方法延伸】（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．25．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）；解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将a2﹣2ab+b2﹣16因式分解；【应用】（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，请通过计算说明△ABC是什么三角形？26．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．27．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解法后，解决下列问题：（1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn；（2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．28．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．验证：如，112﹣92＝（+）×（11﹣9）＝×8，所以112﹣92是8的倍数；探究：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确；延伸：两个连续偶数的平方差是的倍数（填最大整数值）．29．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：因式分解：（1）x2﹣xy+5x﹣5y；（2）36﹣x2﹣16﹣8x．下面是晶晶和小舒的解法：晶晶：x2﹣xy+5x﹣5y＝（x2﹣xy）+（5x﹣5y）（分成两组）＝x（x﹣y）+5（x﹣y）（直接提公因式）＝（x+5）（x﹣y）小舒：36﹣x2﹣16﹣8x＝62﹣（x2+8x+42）（分成两组）＝62﹣（x+4）2（直接运用公式）＝（6+x+4）（6﹣x﹣4）＝（10+x）（2﹣x）请在她们的解法启发下解答下面各题：（1）因式分解：a2﹣25+4b2﹣4ab；（2）若b﹣a＝4，b﹣2c＝﹣3，求b2﹣2bc+2ac﹣ab的值．30．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．由图1，利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m＝b+n＝c+l＝k，试利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．

2026年中考数学一轮复习因式分解参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（）A．3a+3b＝3（a+b） B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）【答案】B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．【解答】解：3a+3b＝3（a+b）符合因式分解的定义，则A不符合题意，a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1中等号右边不是积的形式，则B符合题意，a2+4a+4＝（a+2）2符合因式分解的定义，则C不符合题意，a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）符合因式分解的定义，则D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．2．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（）A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝（x2﹣1）【答案】D【分析】分别利用公式法、提取公因式法分解因式得出答案．【解答】解：A、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，正确，不合题意；B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），正确，不合题意；C、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此选项错误，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了公式法、提取公因式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．3．对于任何整数n（n≠0），多项式（5n+7）2﹣9都能（）A．被9整除 B．被n整除 C．被n+1整除 D．被n+2整除【答案】D【分析】将多项式（5n+7）2﹣9进行因式分解，利用平方差公式展开并整理，分析其因式结构，结合选项逐一验证即可．【解答】解：（5n+7）2﹣9＝（5n+7﹣3）（5n+7+3）＝（5n+4）（5n+10）＝5（n+2）（5n+4），∴多项式（5n+7）2﹣9都能n+2整除，故选：D．【点评】本题考查因式分解，解题关键是利用平方差公式展开并整理．4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（）A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【答案】B【分析】先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．【解答】解：∵x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），∵x＝52，y＝28，则各个因式的值为x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，∴产生的密码不可能是522824，故选：B．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．5．下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（）A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1【答案】A【分析】根据平方差公式的表现形式进行判断即可．【解答】解：x2﹣9能运用平方差公式因式分解，则A符合题意，x2+16不能运用平方差公式因式分解，则B不符合题意，x2+2x+1不能运用平方差公式因式分解，则C不符合题意，4x2﹣4x+1不能运用平方差公式因式分解，则D不符合题意，故选：A．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式的表现形式是解题的关键．6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【答案】D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法运算，则B不符合题意，x（x+2y）＝x2+2xy是乘法运算，则C不符合题意，x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）符合因式分解的定义，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．7．已知关于x的二次三项式x2+x+a能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是x﹣2，则另一个一次多项式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x﹣3 D．x+3【答案】D【分析】设另一个一次多项式是（x+m），然后计算（x+m）（x﹣2）后得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：设另一个一次多项式是（x+m），则（x+m）（x﹣2）＝x2﹣2x+mx﹣2m，＝x2+（m﹣2）x﹣2m，＝x2+x+a，则m﹣2＝1，解得：m＝3，则另一个一次多项式是x+3，故选：D．【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解及整式乘法的互逆性是解题的关键．8．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除【答案】B【分析】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案．【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除，故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．二．填空题（共11小题）9．已知a，b，c，d均为正整数，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝65，则b﹣d＝179．【答案】见试题解答内容【分析】设a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x为正整数），根据已知a﹣c＝65，运用因式分解的方法得到关于m，x的方程组，从而求解．【解答】解：∵a5＝b4，c3＝d2，∴可设a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x为正整数），∵a﹣c＝65，∴m4﹣x2＝65，即（m2+x）（m2﹣x）＝65，∴m2+x解得m2=33x则m=33x=32（∴b﹣d＝m5﹣x3＝243﹣64＝179．【点评】此题要注意借助巧妙的设法，运用因式分解的知识达到降次的目的求解．10．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3﹣b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据正方体体积公式即可求解；（2）根据正方体和三块长方体的体积公式即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得a3﹣b3．故答案为a3﹣b3．（2）根据题意，得a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝a3﹣a2b+a2b﹣ab2+b2a﹣b3＝a3﹣b3∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）故答案为（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3【点评】本题考查了立方体和长方体的体积、因式分解的应用，解决本题的关键是表示三块长方体的体积的和．11．已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a2+b【答案】见试题解答内容【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．【解答】解：将每个等式的左右两边相乘，得(abcdef∴abcdef＝1，bcdef⋅∴a2＝2．同理可得：b2＝4，c2＝8，d2=12，e2=14，∴a2+b2+c2+d2+e2+f2=119故答案为1198【点评】本题考查了等式的基本性质和分式的基本性质，解题关键是整体思想的运用．12．观察下列各式：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2＝[12n（n+1）]2（2）猜想：113+123+133+143+153＝11375．【答案】见试题解答内容【分析】平方的底数为立方和底数的和；（1）平方的底数为从1到n的和；（2）所求代数式应等于从1到15的立方和减去从1到10的立方和．【解答】解：1+2+3+4+5，152（1）1+2+3+…+n，12n（n（2）原式＝（13+23+…+153）﹣（13+23+33+…+103）[12×15×（15+1）]2﹣[1＝1202﹣552＝（120+55）（120﹣55）＝11375．【点评】此题是一道找规律题，作答过程中注意运用已得到的结论使计算简便．13．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称正整数m为“言行合一数”，交换“言行合一数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记P(m)=m+n11−m−n111+15，那么最小的四位“言行合一数”为2001；若四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y【答案】2001，12212．【分析】根据“言行合一数”的定义和最小数的性质即可确定最小的四位“言行合一数”；然后根据“言行合一数”和交换“言行合一数”求得k、k′，进而求得P（k），然后再根据“言行合一数”的定义即可解答．【解答】解：由题意可得，在“言行合一数”中，百位数字和十位数字相等且不为1，则最小的四位“言行合一数”的千位上只能是2、十位和百位数为0，个为位为1，即2001；∵四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x，y均为整数）与P（k）均为“言行合一数”，∴交换k的首位数字和个位数字得到一个新数k′，则k′＝1×1000+100y+10y+x，∴k+k′＝1001x+220y+1001，k﹣k′＝999x﹣999，∴P（k）=1001x+220y+1001∵k与P（k）均为“言行合一数”且20y的个位数数字为0，115的末尾数字为5，则82x的末尾数字必为6，即x＝3或x＝8，当x＝3时，P（k）＝82x+20y+115＝361+20y，∵P（k）均为“言行合一数”，即百位和十位上数字相同，∴y＝4，∴k＝1000x+100y+10y+1＝3441；当x＝8时，P（k）＝82x+20y+115＝771+20y，∵k与P（k）均为“言行合一数”，即百位和十位上数字相同，∴y＝0，∴k＝1000x+100y+10y+1＝8771；∴所有满足条件的k的和为3441+8771＝12212．故答案为：2001，12212．【点评】本题主要考查了“言行合一数”的定义、数字的运用、整式的运算等知识点，理解“言行合一数”的定义是解答本题的关键．14．已知：a=−1999×1999−19991998×1998+1998，b【答案】见试题解答内容【分析】将a、b、c的分子分母先分别用提供因式法分解因式，再约分即可将a、b、c化简，再代入abc求值即可．【解答】解：∵a=−1999×(1999−1)b=−2000×(2000−1)c=−2001×(2001−1)∴abc＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查的是因式分解的应用，要熟悉提公因式法等因式分解的基本方法，解答此题的关键是找到公因式．15．已知a=12019+2018，b=12019+2019，c=12019+2020，则代数式2（a2+b2+c2【答案】见试题解答内容【分析】根据完全平方公式分解因式后整体代入即可求解．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．【点评】本题考查了分解因式的应用，解题关键是整体思想的运用．16．设正数a，b，c满足24a+b＝abc，则a+b+c的最小值为46+2【答案】46+【分析】根据一直等式分别表示出a，b，c，求bc，ac的取值范围，然后将c值代入a+b+c，因为a，b，c均为正数，采用配方法求解最小值即可，最后验证是否满足题意．【解答】解：∵24a+b＝abc，∴a=bbc−24＞0，b=∴bc＞24，ac＞1，∴a+b+c＝a+b+24b+1a=（a−1a）2当a=1a∴a＝1，b＝26，此时，c＝26+∴bc＝24+26＞24，ac＝26∴a+b+c的最小值为46+故答案为：46+【点评】本题主要考查了配方法的应用，合理构造完全平方式是本题解题的关键．17．已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则三角形的形状是等边三角形．【答案】见试题解答内容【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，再利用非负数的性质求解即可．【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题18．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称正整数m为“群凤和鸣数”，交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记P（m）=m+n11−m−n111+15那么最小的四位“群凤和鸣数”为2001；若四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x、【答案】2001，11442．【分析】群凤和鸣数根据“群凤和鸣数”的定义和最小数的性质即可确定最小的四位“群凤和鸣数”；然后根据“群凤和鸣数”和交换“群凤和鸣数”求得k、k′，进而求得P（k），然后再根据“群凤和鸣数”的定义即可解答．【解答】解：由题意可得，在“群凤和鸣数”中，百位数字和十位数字相等且不为1，则最小的四位“群凤和鸣数”的千位上只能是2、十位和百位数为0，个为位为1，即2001；∵四位正整数k＝1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9，且y≠1，x，y均为整数）与P（k）均为“群凤和鸣数”，∴交换k的首位数字和个位数字得到一个新数k′，则k′＝1×1000+100y+10y+x，∴k+k′＝1001x+220y+1001，k﹣k′＝999x﹣999，∴P（k）=1001x+220y+1001∵k与P（k）均为“群凤和鸣数”且20y的个位数字为0，115的末尾数字为5，则82x的末尾数字必为6，即x＝3或x＝8，当x＝3时，P（k）＝82x+20y+115＝361+20y，∵P（k）均为“群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同，∴y＝4，∴k＝1000x+100y+10y+1＝3441；当x＝8时，P（k）＝82x+20y+115＝771+20y，∵k与P（k）均为“群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同，∴y＝0，∴k＝1000x+100y+10y+1＝8001；∴所有满足条件的k的和为3441+8001＝11442．故答案为：2001，11442．【点评】本题主要考查因式分解的应用、整式的运算等知识点，理解“群凤和鸣数”的定义是解答本题的关键．19．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a5+b5【答案】5【分析】利用完全平方公式得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，结合已知条件得出ab+bc+ca=−12，再由a3+b3+c3＝（a+b+c）（a2+b2+c2+ab+bc+ca）+3abc及a5+b5+c5＝（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）﹣[a2（b3+c3）+b2（a3+b3）+c2（a3+b【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴0＝1+2（ab+bc+ca），∴ab+bc+ca=−1∵a3+b3+c3＝（a+b+c）（a2+b2+c2+ab+bc+ca）+3abc＝3abc，∴a5+b5+c5＝（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）﹣[a2（b3+c3）+b2（a3+b3）+c2（a3+b3）]，＝3abc﹣[a2b2（a+b）+a2c2（a+c）+b2c2（b+c）]＝3abc+（a2b2c+a2c2b+b2c2a）＝3abc+abc（ab+bc+ca）＝3abc−=5∴a5故答案为：52【点评】本题考查立方和公式，关键到了高中也不一定会做．三．解答题（共11小题）20．教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．【答案】（1）（m+1）（m﹣5）；（2）3；（3）△ABC是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；（2）先配出完全平方，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；（3）将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，据此即可解答．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5，＝m2﹣4m+4﹣4﹣5，＝（m﹣2）2﹣9，＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3），＝（m+1）（m﹣5）．故答案为：（m+1）（m﹣5）．（2）∵x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3；∴x2﹣6x+12的最小值是3．（3）∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣6c+9＝0，（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，得，a＝3，b＝5，c＝3．∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题主要考查了配方法、用公式法进行因式分解、非负性的应用，熟练的掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．21．已知多项式A＝2t+5，B＝2t﹣5，t为任意有理数．（1）问A•B+30的值能否等于4，说明理由；（2）当t是整数时，判断A2﹣B2的值能否被8整除．【答案】（1）不可能等于4，理由见解析；（2）能被8整除．【分析】（1）因为A＝2t+5，B＝2t﹣5，所以A•B+30＝4t2+5，据此求出A•B+30＝4t2+5的值不可能等于4；（2）因为A＝2t+5，B＝2t﹣5，所以A2﹣B2＝40t，当t是整数时，40t能被8整除，据此证明．【解答】解：（1）A•B+30的值不可能等于4；理由如下：A•B+30＝（2t+5）（2t﹣5）+30＝4t2+5，因为t为任意有理数，所以t2≥0，所以4t2+5≥5，即A•B+30≥5，所以A•B+30的值不可能等于4；（2）A2﹣B2＝（2t+5）2﹣（2t﹣5）2＝40t，当t是整数时，40t能被8整除，即A2﹣B2一定能被8整除．【点评】本题考查了乘法公式，解决本题的关键是将A、B代入要求的式子中计算．22．先阅读下列材料，再解决问题．材料：因为，（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．所以，（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3．即x2+x﹣6能被x﹣2整除．所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0．（1）【类比思考】因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除，所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一个因式，且当x＝﹣2或﹣3时，x2+5x+6＝0；（2）【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值．【答案】（1）（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3．（2）﹣5．【分析】（1）根据示例（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被两个因式中的任何一个因式整除，这两个因式都是x2+5x+6的因式，且x+2＝0或x+3＝0时，x2+5x+6＝0；（2）因为多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0，将x＝﹣2代入式子计算求出m即可．【解答】解：（1）因为（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以x2+5x+6能被（x+2）或（x+3）整除，所以（x+2）或（x+3）是x2+5x+6的一个因式，且当x＝﹣2或﹣3时，x2+5x+6＝0．故答案为：（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3．（2）因为x2+mx﹣14能被x+2整除，所以当x＝﹣2时，x2+mx﹣14＝0，所以（﹣2）2+m×（﹣2）﹣14＝0，解得m＝﹣5．【点评】本题考查了因式分解的应用、整式的除法、因式分解的意义，解决本题的关键是运用题中示例的方法解决问题．23．给出三个单项式：a2，b2，2ab．（1）任选两个单项式相减，并进行因式分解；（2）利用因式分解进行计算：a2+b2﹣2ab，其中a＝2026，b＝2024．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（答案不唯一）；（2）4．【分析】（1）任选两个单项式相减，然后运用提公因式法或平方差公式分解因式即可；（2）运用完全平方公式分解因式，然后代入数据计算即可．【解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，当a＝2026，b＝2024时，原式＝（2026﹣2024）2＝4．【点评】本题考查了因式分解的应用、单项式，解决本题的关键是运用提公因式法和公式法分解因式．24．【阅读材料】某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．方法如下a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．请在这种方法的启发下，解决下列问题：【问题解决】（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；【方法延伸】（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．【答案】（1）x3﹣2x2+2x﹣4＝（x2+2）（x﹣2）；（2）x2﹣6xy+9y2﹣1＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；（3）4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1＝（2a﹣3b﹣1）2．【分析】（1）根据分组分解法求解即可；（2）根据分组分解法求解即可；（3）根据分组分解法求解即可．【解答】解：（1）原式＝x2（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x2+2）（x﹣2）；（2）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣1＝（x﹣3y）2﹣1；＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；（3）原式＝（4a2﹣12ab+9b2）﹣（4a﹣6b）+1＝（2a﹣3b）2﹣2（2a﹣3b）+1＝（2a﹣3b﹣1）2．【点评】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键．25．七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）；解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将mn2﹣2mn+2n﹣4因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将a2﹣2ab+b2﹣16因式分解；【应用】（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，请通过计算说明△ABC是什么三角形？【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；（2）（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；（3）等腰三角形．【分析】（1）运用分组分解法将式子进行因式分解；（2）运用分组分解法将式子进行因式分解；（3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得a＝b，据此可得三角形为等腰三角形．【解答】解（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）a2﹣2ab+b2﹣16＝（a2﹣2ab+b2）﹣16＝（a﹣b）2﹣16＝（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；（3）a2﹣b2﹣ac+bc＝（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵△ABC的三边a，b，c，∴a+b＞c，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴三角形为等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式．26．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜测（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各个矩形的面积之和求解即可；（2）根据（1）中等式，猜想得出；（3）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的关系式，然后进行计算；（4）根据（2）得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到三边的关系．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴122＝2×48+（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴该三角形是等边三角形．【点评】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方式的应用和因式分解，尤其是（3）中对等式进行因式分解需要对其进行转化，这是盲点和易错点，应加以注意．27．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．请仔细阅读上述解法后，解决下列问题：（1）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn；（2）已知m+n＝7，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．【答案】（1）（1+m﹣n）（1﹣m+n）；（2）9．【分析】（1）将式子分成两组，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可；（2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）1﹣m2﹣n2+2mn＝1﹣（m2+n2﹣2mn）＝1﹣（m﹣n）2＝（1+m﹣n）（1﹣m+n）；（2）m2﹣n2+2m﹣2n＝（m2﹣n2）+（2m﹣2n）＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n+2），因为m+n＝7，m﹣n＝1，所以原式＝1×（7+2）＝9．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式．28．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．验证：如，112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝5×8，所以112﹣92是8的倍数；探究：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其