2023北京高一（上）期末数学汇编：数列章节综合

第1页/共1页2023北京高一（上）期末数学汇编数列章节综合一、单选题1．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件2．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则使其前项和取得最大值的正整数的值为（

）A．11或12 B．6或7 C．10或11 D．5或63．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（

）粒米.A． B． C． D．4．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）等差数列的前项和，，则（

）A．9 B．12 C．30 D．455．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知是等差数列，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．76．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知数列满足，，且对于，均有，则______.8．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知数列满足，且对于，，则______.9．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知数列是首项为4，公差为3的等差数列，数列的前项和记为，则使得能被5整除的最小正整数的值为______.10．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）在等比数列中，，，则______.11．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知数列的前项和为，则的通项公式为______.三、解答题12．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．(1)已知数列，，求和；(2)当且时，求的所有可能取值；(3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；(4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0；(5)当，时，直接写出一对数列，，使得．

参考答案1．B【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，且可以无限接近于0，所以，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，故选：B2．D【分析】分和两种情况进行讨论，当时利用等差数列的求和公式结合二次函数的基本性质可求得取得最大值时的的值【详解】当时，由可得，且等差数列单调递增，不存在；当时，则数列为单调递减数列，由可得，则，所以，则，，所以，当或时，取得最大值.故选：D3．D【分析】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，分析可知数列满足：，，，求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得结果.【详解】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，则数列满足：，，，所以，当时，，故数列是从第项开始成以为公比的等比数列，且，所以，，则，所以，数列的前项和为.故选：D.4．D【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算．【详解】是等差数列，∴，，，，，．故选：D．5．B【分析】结合等差数列通项公式即可解决.【详解】设等差数列的公差为，由得，，则故选：B.6．D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.【详解】由等比中项的性质得，又，解得或，当时，或（舍），当时，（舍），所以，，此时，所以，故选：D.7．【分析】利用递推公式可得到数列的周期为8，即可求解【详解】由，，可得，，，，，，，，所以数列的周期为8，因为，所以，故答案为：8．【分析】构造等比数列求得数列的通项公式，进而求得的值.【详解】由，可得整理得，又，则数列是首项为公比为的等比数列，则，则故答案为：9．4【分析】利用等差数列的定义得到，用错位相减法可得到，即可求出答案【详解】因为数列是首项为4，公差为3的等差数列，所以，所以，所以，则有两式相减得：，因此，所以，要使能被5整除，只需能被5整除，因为，故，所以最小正整数的值为4故答案为：410．【分析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案【详解】因为数列是等比数列，设其公比为，所以又，所以，所以，，所以故答案为：11．【分析】利用计算即可，注意求时，的值.【详解】由已知当时，，又时，，故的通项公式为，故答案为：.12．(1)，(2)4，3，2，1(3)的最大值19，例如：，；的最小值1，例如：，（的列举不唯一）(4)证明见解析(5)数列，（答案不唯一）【分析】（1）利用新定义直接代入计算即可；（2）当且时，中1的个数为1，其余3个为0，结合的表达式即可得出结果；（3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0．结合分析可得出结果；（4）设，中1的个数为，其余的为0．在中，取相邻4项作为一组，共取组（取的项不重复），即可求解；（5）当，时，中1的个数为7，其余3个为0，结合条件写出结果即可．【详解】（1）因为数列，所以．（2）因为，故或1，，，当且时，中1的个数为1，其余3个为0当时，，则当时，则当时，则当时，则故的所有可能取值为：4，3，2，1．（3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0则当或时，取到最大值19，例如：，在中，取相邻2项，令第1项的值为1，第2项的值为－1；或令第1项的值为－1，第2项的值为1，此时取到最小值1，例如：，．（4）当且是4的倍数时设，中1的个数为，其余的为0在中，取相邻4项作为一组，共取组（取的项不重复）令每组的第1项与第4项的值为1，第2项与第3项的值为－1；或令每组的