2023北京重点校高一（上）期末数学汇编：函数的概念与性质

第1页/共1页2023北京重点校高一（上）期末汇编函数的概念与性质一、单选题1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数定义域为，那么“函数图象关于y轴对称”是“，都存在，使得成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知函数，则下列函数为奇函数的是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·北京东城·高一统考期末）函数的图象关于（

）A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称6．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知是偶函数，函数对任意，且，都有成立，且，则的解集是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）函数在区间[0，3]上的值域是___________．8．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数的定义域为，且，都有，给出给出下列四个结论：①或；②一定不是偶函数；③若，且在上单调递增，则在上单调递增；④若有最大值，则一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．9．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数（且）.给出下列四个结论：①存在实数a，使得有最小值；②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；③存在实数a，使得的值域为R；④若，则存在，使得.其中所有正确结论的序号是___________.10．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）函数的定义域是_____________．三、解答题11．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）如图，四边形是高为2的等腰梯形．(1)求两条腰OC，AB所在直线方程；(2)记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为．①当时，求图形面积的值；②试求函数的解析式，并画出函数的图象．12．（2023秋·北京通州·高一统考期末）已知函数的零点是．(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并说明理由；(3)设，若不等式在区间上有解，求的取值范围．13．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知函数．(1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；(2)设，若，，使得，求实数a的取值范围．14．（2023秋·北京西城·高一统考期末）已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明函数在上是减函数；(3)写出函数在上的单调性（结论不要求证明）．15．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知函数，，若(1)求值；(2)判断函数的奇偶性，并用定义给出证明；(3)用定义证明在区间上单调递增．16．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知函数(1)若不等式的解集为，求的最小值；(2)若且，求方程两实根之差的绝对值．17．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数，（）．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．18．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）已知函数（为常数）是奇函数.（1）求的值与函数的定义域.（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.

参考答案1．A【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】解：函数定义域为D，若函数图象关于y轴对称，则，则，且，所以，都存在，使得满足，即成立，故充分性成立；若函数，其定义域为，满足，都存在，使得成立，但是函数的图象不关于y轴对称，故必要性不成立；故“函数图象关于y轴对称”是“，都存在，使得成立”的充分不必要条件.故选：A.2．C【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.【详解】解：由题意在中，对称轴函数在上单调减，在上单调增，∵对于，均有成立即对于，均有恒成立在中，对称轴，函数在上单调减，在上单调增当即时，函数在上单调减函数在上单调减∴解得当，即时，函数在上单调减，在上单调增函数在上单调减∴∴解得当，即时，函数在上单调增函数在上单调减∴∴故不符题意，舍去.当即时函数在上单调增，函数在上单调减，在上单调增，∴解得当即时函数在上单调增，函数在上单调减，在上单调增，此时，∴符合题意当时，函数在上单调增函数在上单调增∴此时∴符合题意综上，实数的取值范围是故选：C.【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.3．B【分析】利用题意先得到，，然后利用奇函数的定义进行判断即可【详解】由可得，，对于A，令，定义域为，因为，所以不是奇函数，故A错误；对于B，令，定义域为，因为，所以是奇函数，故B正确；对于C，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故C错误；对于D，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误；故选：B4．D【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据，可得，进而得出结论.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又，所以，故选：.5．C【分析】求出，可知，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数的定义域为R，，所以有，所以为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.6．D【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.【详解】因为是偶函数，即的图象关于对称.所以的图象关于对称.因为函数对任意，且，都有成立，所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，，所以在为减函数，且.用折线图表示函数的单调性，如图所示：由图知：.故选：D.7．【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.【详解】，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，所以值域为.故答案为：.8．①③【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.【详解】因为，都有，所以，即或，故①正确；不妨取，则，即恒成立，所以是偶函数，故②错误；设，且，则，所以，即，所以，即在上单调递增，故③正确；不妨取，则满足，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.故答案为：①③9．①②④【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④.【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.故答案为：①②④10．【详解】试题分析：函数有意义得：，解得即函数定义域为．考点：求函数定义域．11．(1)腰OC所在直线方程为，腰AB所在直线方程为；(2)①，②，图象见解析.【分析】(1)由已知，解三角形求点的坐标，利用待定系数法求其方程；(2)①解三角形结合三角形面积公式求时的解析式，由此求时，的值；②分别在条件，，下求，由此可得函数的解析式，作出函数的图象．【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，又，，所以四边形为矩形，且，因为四边形为等腰梯形，，所以，，所以，设直线的方程为，则，所以，所以腰OC所在直线方程为，设直线的方程为，则，所以，所以腰AB所在直线方程为，（2）①当时，设直线与直线的交点分别为，则，所以，所以，又，所以，所以故当时，，②由①知，当时，，当时，设直线与直线的交点分别为，则，由已知四边形为矩形，所以，当时，设直线与直线的交点分别为，则，所以，所以，又，所以，所以，所以，作函数的图象可得12．(1)(2)在上是单调递减函数，理由见解析(3)【分析】（1）根据可求出结果；（2）根据对数函数的单调性和单调性的定义可得结果；（3）转化为在区间上有解，换元后化为在区间上有解，令，，化为，根据二次函数知识求出的最大值可得答案.【详解】（1）因为函数的零点是，所以，即，所以，解得.（2）由（1）知，，在上是单调递减函数，理由如下：设，则，因为，所以，因为为增函数，所以，所以，所以在上是单调递减函数.（3）因为不等式在区间上有解，所以在区间上有解，所以在区间上有解，因为为增函数，所以在区间上有解，所以在区间上有解，令，因为，所以，所以在区间上有解，令，，则，因为在上单调递减，所以当时，.所以.13．(1)单调递增，证明见解析；(2).【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）由函数单调性求出函数值域，若，，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可.【详解】（1）在区间上的单调递增，证明如下：设且，则，因为，所以，，，所以，即，所以在区间上的单调递增.（2）由（1）知时，，即时，f(x)的值域，因为当时为减函数，所以，若，，使得，则,即，解得，故实数a的取值范围为14．(1)为奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3)函数在上的单调递减【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可；（3）结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可.【详解】（1）解：为奇函数，理由如下：函数，定义域为，所以，则，所以为奇函数.（2）证明：任取，且，则，因为，所以所以，即，故函数在上是减函数.（3）解：由（1）知函数为上的奇函数，由（2）知函数在上是单调递减所以函数在上的单调递减.15．(1)；(2)奇函数，理由见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）将给定自变量及对应函数值代入计算即可.（2）利用奇偶函数的定义直接判断作答.（3）利用函数单调性定义，按步骤推理作答.【详解】（1）函数中，因为，则有，解得，所以.（2）由（1）知，函数是奇函数，函数定义域为，，所以函数是奇函数.（3），且，，因为，则，即有，因此，所以在区间上单调递增.16．(1)；(2).【分析】（1）根据给定一元二次不等式解集，求出函数的解析式，再求出二次函数最小值作答.（2）根据给定条件，求出函数的解析式，再求出方程的二根即可作答.【详解】（1）不等式，即的解集为，于是得是方程的二根，即有，且，解得，因此，当且仅当时，，所以函数的最小值是.（2）因为且，则有，解得，因此，方程，即的二根为，所以程两实根之差的绝对值为.17．(1)或(2)(3)【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.【详解】（1）当时，由得，即，解得或．所以不等式的解集为或．（2）由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范围是．（3）当时，．又．①当，即时，对任意，．所以，此时不等式组无解，②当，即时，对任意，．所以2<m≤3,4-m2③当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解，④当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决