成对数据的统计相关性（原卷版）

8.1成对数据的统计相关性

【知识点梳理】

1.相关关系

两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系

两个变量有关系，但乂没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.

2.止相关、负相关

从整体上看，当一个变量的值坞加时，另一个变量的相应值乜呈现增加的趋势，我们就称这两个变量止

相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关.

3.线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线

性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

4.相关系数「的计算

注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量

假设两个随机变量的数据分别为（乃，V），（K2,），2），…，（&，%），对数据作进一步的“标准化处理”处理,

用“=y三工（为一x）2,»=、（y—y）2分别除x和％—J（i=1，2,…，〃，工和1y分别为M，

X2,…，心和V，儿，…，%的均值），得£二，匕£|,k二C由二£|,…，L=，包二21，为简单起

见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为（即‘，巾），（X2%过），…，W，四），则变量X和变量），的样

本相关系数，•的计算公式如下：

一］®'V'+x2'”'+...+xJ/J）

g(x/—x)(y-y)

（1）当/>0时，称成对样本数据正相关；当代0时，成对样本数据负相关：当r=0时，成对样本数据间

没有线性相关关系.

（2）样本相关系数r的取值范围为[-1,1].

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当IH越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

6.样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系

r=%y=，1WcosJ=cos。（其中7=（媒，W....xJ），V=（W，城），M|=W=/，。为向量

V和向量V的夹角）.

【典型例题】

题型一相关关系的理解

例I.（2021.全国•高二课时练习）下列两个变量间的关系，是相关关系的是（）

A.任意实数和它的平方B.圆半径和圆的周长

C.正多边形的边数和内角度数之和D.天空中的云量和下雨

规律方法函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种

因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.

例2.（2021・全国•高二课时练习）有几组变最：①汽车的重最和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②

平均口学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是（）

A.①@B.②③

C.②D.③

例3.（2021•江西南昌•高一期末）对两变量间的关系，下列论述正确的是（）

A.任何两个变量都具有相关关系

B.正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系

C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系

D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

题型二散点图与相关性

例4.（2021•全国•窗课时练习）如下四个散点图中，正相关的是（）

规律方法判断两个变量X和间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点

的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影

响.

例5.（2020・全国•高二单元测试（理））有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关

于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下.通过计算，可以得到对应的叵归方程），=

-2.352x4-147.767,根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）

7

80

60

40

20

00

80

60

40

20

A.气温与热饮的销售杯数之间成正相关

B.当天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮

C.当天气温为这天恰卖出124杯热饮

D.由于x=0时，），的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性

例6.（2020・云南・罗平县第二中学高二期末（文））已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个

容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：

学生编号17345678

数学成绩6065707580859095

物理成绩7277808488909395

物理成绩/分

100

90

80.・

70•

60

501~•一一■一^-----------------------------

5060708090100数学成绩/分

根据以上信息，则下列结论：

①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；

②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有•次函数关系；

③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则

可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；

④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则

不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

题型三散点图及其应用

例7.（2021•全国•高二课时练习）两对变量A和丛C和。的取值分别对应如表1和表2,画出散点图，分

别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的M别.

表1

A261813104-1

B202434385064

表2

C05101520253035

D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75

规律方法1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画

不在，使图形失真，导致得出错误结论.

2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观

想象的具体体现.

题型四线性相关性的检验

例8.（2021・全国•高二课时练习）两对变量A和8,。和。的取值分别对应如表1和表2,画出散点图，分

别判断它们是否具有相关关系：若具有相关关系，说出它们相关关系的区别.

表1

A261813104-1

B202434385064

表2

C05101520253035

D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75

例9.（2021・全国•高二课时练习）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.

年龄女（岁）123456

身高y(cm)788798108115120

（1）画出散点图:

（2）判断），与x是否具有线性相关关系.

例10.（2021•江苏•高二课时练习）有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与A商

品销售额的10年数据，如表.

表

第〃年12345678910

居民年收入/亿元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

A商品销售额/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与A商品销售额的相

关程度和变化趋势的异同.

题型五判断线性相关的强弱

例11.（2021.全国•高二课时练习）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进

行整理得到了第x年与年销量）’（单位：万件）之间的关系如表：

X1234

y12284256

在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度.

，M万件）

60•

50■

40

30■

20

10

31234x

附注：参考数据：胶（』-方、32.6,6=2.24,1>戊=418.

V>=1注1

参考公式：相关系数，=n----------------

规律方法当相关系数H越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数”越接近。时.，两个变量的

相关关系越弱.

例12.（2021•吉林吉林•三模（文））2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫

情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，

取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与

相应的管理时间）'的关系如下表所示：

土地使用面积

12345

X（单位：亩）

管理时间）（单811142423

位：月）

并调杳了某村30（）名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;

愿意参与管理不愿意参与管理

男性村民14060

女性村民40

（1）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间了是否线性相关;并根据相关系数，•说明相关关系的强

弱.（若|r|20.75,认为两个变量有很强的线性相关性，〃值精确到0.001）.

（2）若以该村的村民的性别与参与管理黄风的情况估计贫困具的情况，口.每位村民参与管理的竟互不影响,

则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.

参考数据：?=16,X(-V)2=206,7515«22.7

例13.（2019・全国•高三专题练习（文））春节期间，由于高速免贽，车流量逐步增加，某高速口统计了5天

中的车流量与空气质量指数的关系，所得数据如卜表所示：

车流量X（万辆）1212.51313.514

空气质量指数y7476787780

（I）在下列网格纸中绘制出散点图;

1212J131I514

（2）由（1）判断是否能用线性回归模型拟合），与x的关系，并用相关系数加以说明;

（3）记这5天的空气质量指数的平均数为5,若从5天中任选2天的数据作调研，求这2天中恰有1天的

空气质量指数高于5的概率.

工（斗-君（州一刃

参考公式：相关系数r=.参考数据：71=1.414,岳=2236,V10«3.162.

【同步练习】

一、单选题

1.（2021•全国•高二课时练习）某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取8位同学，他们的数学、物理

成绩（单位：分，满分100分）的散点图如图所示：

物理成绩/分

100・

90

80•,

■

70・

60

5°5060708090100数学成绩/分

根据以上信息，有下列结论：

①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系：

②从全班同学中随机抽取2名同学(记为甲、乙)，若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60

分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；

③从全班同学中随机抽取2名同学(记为甲、乙)，若甲同学的数学成绩为8()分，乙同学的数学成绩为60

分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

2.12022•四川省内江市第六中学高二开学考试(文))如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位：

分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是()

B.该同学8次测试成绩的众数是48分

C.该同学8次测试成绩的中位数是49分

D.该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

3.(2021.全国•高二课时练习)已知变量X与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.83),(12.5,4),

(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(1数5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).4表示变量X与丫

之间的线性相关系数，4表示变量U与丫之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是()

A,4<4<0B,0<与<耳C.4<0<4D.弓=4

4.（2021・广西・玉林市育才中学高二阶段练习）己知。表示变量X与丫之间的线性相关系数，72表示变量U

与力之间的线性相关系数，且,=。837,•0957,则（）

A.变量x与丫之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与V之间的相关性

B.变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性

c.变量u与v之间呈负相关关系,日x与y之间的相关性弱干u与v之间的相关件

D,变量u与V之间呈正相关关系，且x与丫之间的相关性弱二u与v之间的相关性

5.（2021・全国•高二课时练习）下列说法错误的是（）

A.正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系

B.人的身高与视力之间的关系是相关关系

C.汽车的重量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关

D.体重与学习成绩之间不具有相关关系

6.（2021・全国•高一课时练习）最新《交通安全法》实施后，某市管理部门以周为单位，记录的每周查处的

酒驾人数与该周内出现的交通事故数量如下：

酒驾人数X801471211009610387

交通事故）’19313023252420

通过如表数据可知，酒驾人数上与交通事故数）'之间是（）

A.正相关B.负相关C.不相关D.函数关系

7.（2021•全国•高一课时练习）如图，5个（尤、）数据，去掉。（3,10）后，下列说法错误的是（）

惮.E（10s12）

•ZX3,10）

OX

A.4与y的相关性变强B.残差平方和变大

C.相关指数&变大D.解释变量X与预报变量y的相关性变强

8.（2019•四川•高考模拟（理））下列说法中错误的是

A.先把高二年级的1000名学生编号为1到1000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编

号为〃"然后抽取编号为"7+5（）,〃?+l（X）,m+150……的学生，这样的抽样方法是系统抽样法.

B.正态分布N（l,9）在区间（-1,0）和（2,3）上取值的概率相等

C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数，•的值越接近于1

D.若一组数据1、。、2、3的平均数是2,则这组数据的众数和中位数都是2

二、多选题

9.（2021・全国•高二单元测试）根据下曲四个散点图中点的分布状态，可以直观地判断两个变量之间具有线

性相关关系的是（）

10.（2021.仝国•高二课时练习）下列关于相关系数「的说法中，正确的是（）

A.相关系数，・越大，两个变量间线性相关性越强

B.相关系数，•的取值范围是［7』

C.相关系数厂＞0时两个变量正相关，厂＜0时两个变量负相关

D.相关系数r=1时，样本点在同一直线上

11.（2021•广东广雅中学高三阶段练习）如图是国家统计周公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据

图中信息选出正确的选项（）

832527.2

A.2020年下半年，每个月的异地快递量部是同城快递量的6倍以上

B.202（）年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率（注.增长率指相对前一个月而言）

C.2020年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系

D.2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月

12.（2021・全国•高二课时练习）为了检验变量％与>的线性相关程度，由样本点（/%），（％外），…，

（XKPXO）求得两个变量的样本相关系数为小则下列说法错误的是（）

A.若所有样本点都在直线），=-2x+l上，则r=1

B.若所有样本点都在直线），=-2万+1上，则厂二一1

C.若卜|越大，则变量x与），的线性相关程度越强

D.若卜|越小，则变量上与>的线性相关程度越强

三、填空题

13.（2021.全国•高二课时练习）在一组样本数据（为,y）,伍，了2），…，（天，匕）（〃？2小,/、…，/不全相

等）的散点图中，若所有样本点（4,）。=1,2,3「、〃）都在直线21+），-1=0上，则这组样本数据的相关系

数，为.

14.（2021・全国•高二课时练习）若变量x和），满足关系R-0.6X+1,变量），与z正相关，则工与z

相关.

15.（2021・全国•高二课时练习）如图，有5组（北），）数据，去掉点对应的数据后，剩下的4组数据

的线性相关程度最大.

12•£(10,12)

11

10•0(3,10)

9

8

7

6

5.C(4,5)

4.・8(2,4)

3)(1.3)

2

O123456789101112

16.（2021・全国•高二单元测试）对两个变量的相关系数，，有下列说法：（1）卜|越大，相关程度越大；（2）

卜|越小，相关程度越大；（3）年|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）卜|越接近于1时，线性相关程度

越强，其中正确的是.

四、解答题

17.（2022・全国•高二课时练习）互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不

可或缺的一部分，某市一调查机构制对该市市场占有率较高的甲，乙两家网络外卖企业（以下称外卖印、

外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：

1日2日3日4R5R

外卖甲日接单工（百单）529811

外卖乙日接单）’（百单）2310515

（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

（2）据统计表明，y与X之间具有线性相关关系，请用相关系数，-对y与X之间的相关性强弱进行判断；（若

1-1>0.75,则可认为y与X有较强的线性相关关系，「值精确到0.001）

参考数据：£（七一可5-方=66,Jta-对£（y-寸=77.

Vr-|,-1

18.（2021・全国•高二课时练习）某生物小组为了研究温度对某和酶的活性的影响进行了一组实验，实验数

据经整理得到如下的折线图：