等腰三角形同步练习（含解析）（2024版）

12.6等腰三角形

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在VA8C中，A3=AC,ZA=40°,A3的垂直平分线交43于点。，交AC于点E,连接

C.40°D.300

2.如图在第一个△A/C中./区=40。,AiI3=BC,在边人山卜仔取一点。,延长C4/到4.使AN?

=A,D,得到第二个△4/47再在边4。上任取一点反延长44到小，使4M3=4日得到第3

个△/1乂3E..........如此类推，兀得到第"个等腰三角形.则第〃个等腰三角形中，以4为顶点的内角

的度数为（）

3.如图，点O是半圆圆心，8E是半圆的直径，点4。在半圆上，且AO〃80,ZAB0=O）°,AB=4,

过点。作。C_LBE于点C,则阴影部分的面积是（）

A.殍—26B,y-2V3C.等—46D.当一动

4.如图，ZA=50°,P是等腰△ABC内一点，AB=AC,BP"分/ABC,CP平分NACB,则NBPC

的度数为（）

A

5.如图，在正方体的两个面上画了两条对角线AB、AC,则N84。等于（）

6.如图，ZACB=/DCE=9（T,DC=EC,AC=8C=4,点A在OE上，若AO:AE=1:3,则两

个三角形重叠部分的面积为（）

A.6B.9C.12D.14

7.如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从

顶点B同时出发，且它们的速度都为lcm/s,下面四个结论：①BQ=AM；②△ABQ^^CAP；③NCMQ

的度数不变，始终等于60。；©当第2秒或第4秒时，4PBQ为直角三角形，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.若等腰三角形两边长分别为3和6,则其周长为（）

A.15或12B.15C.12D.16

9.在等腰448C中，AB=AC,AD_LBC于D,若/BAD=25’,则NC的度数为（）

A.25°B.55°C.65°D.50°

10.下列命题是真命题的是（）

A.如果必=0,那么

B.同旁内角互补

C.已知等腰三角形的两条边分别为2和5,则它的周长为9或12

D.将多项式X--因式分解的结果是1（1+力。一力

11.如图，在VABC中AB.AC的垂直平分线//相交于点O,若N8AC=78。，则NO8C的度数为（）

12.等边△ABC的两条角平分线BO和CE交于点/,则/8/C等于（）

A.60°B.90°C.120°D,150°

二、填空题

13.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P,O,A为顶点的三角

形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有

14.如图，在等腰VA8C中，AB=AC,A8的垂直平分线OE交A8千点。，交另一腰AC于点E,

若N&3C'=15。，则NA=度.

A

D

/

BC

15.如图，在平行四边形A8CD中，A8=12,AD=St44=60。，点E是边AO上且AE=3DE.r是

边A3上的一个动点，将线段)绕点七逆时针旋转60。，得到EG,连接4G、CG,则8G+CG的最

小值—.

16.四边形ABCD是正方形，点E是直线AB上的一动点，且回AEC是以AC为腰的等腰三角形，则

3BCE的度数为一.

17.如图，已知。点为BC中点，/BED=/CAD,过点C作6_LAO,垂足为点?，若AE=2,

贝1」。尸=.

三、解答题

18.(1)计算：(—g)-(72022)°+

(2)如图，在V4BC中，48=47,点七是BC的中点，在AE的延长线上取点。，使。C=AC.求证:

AB//CD.

A

E

D

19.数学课上，老师出示了如下的题目：如图（I）,在等边△人BC中，点E在人8上，点。在CB的

延长线上，且EAEC,试判断AE和B。的大小关系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为A3的中点时，如图（2）,确定线段AE与。8的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB

（填“v”或“="）.

（2）特例启发，解答题目

如图（1）,试判断AE和的大小关系，并说明理由；

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形八8c中，点上在直线相上，点。在直线上，且E/XEC；若“8。的边长为1,

AE=2,请画出图形，求CD的长.

图⑴图（2）

20.已知等腰三角形三边。、b、c长分别为。=6,b=n+2,c=4〃-l,求这个三角形的周长.

21.专注基本图形：

某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1,在VMC中，NH4C=90°,

AB=CA,直线/经过点A,作80S直线/,CEJ■直线/,更足分别为点。，E.并进一步证明

DE=BD+CE方法如下:

AEAEAE

图1图2图3

工N8AO+NC4E=90。，

;8。工直线/,CE_L直线/,

/.NBDA=ZAEC=90°,NBAD+ZABD=90。

/.ZABD=NCAE

在和△C4E中，

ZABD=ZCAE

«Z.BDA=ZAEC

AB=CA

婷。E(AAS)

ABD=AE,AD=CE,

/.DE=AE+AD=BD+CE

探究问题解决:

⑴组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为；

在V4BC中，AB=CA,D,A,七三点都在直线/上，且NBD4=NAEC=NBAC.请判断OE=

是否成立，并说明理由.

⑵数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题.如图3,。，E是直线

/上的两动点（。，A,E三点均在直线/上且互不重合），点尸为N3AC的角平分线上的一点，且△川冰

和△AC/7均为等边三角形，连凄BO,CE,DF,E/L若NEM=NA反?=NZMC,请说明。尸=£尸.

22.为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点

B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如下表:

课

测量河流宽度

题

工

测量角度的仪器，标杆，皮尺等

具

小

第•小组第二小组第三小组

组

观测者从4点向东走到。点，在

测观测者从4点出发，沿

观察者从8点向东走到C。点插上一面标杆，继续向东

量着南偏西80。的方向走

点，此时恰好测得走相同的路程到达。点后，一

方到点C,此时恰好测得

ZACB=45°直向南走到点。，使得树，标

案ZACB=4O°

开，人在同一直线上

⑵第二小组测得6c=35米，请你帮他们求出河宽AB.

⑶第三小组认为只要测得CQ就能得到河宽AB,你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证

明；如果不可行，请说明理由.

23.如图1,已知NAC4=90。，AC=BC,BD±DE,AEA,DE,垂足分别为。、E.（这几何模型具

备“一线三直角"）如图I:

（1）①请你证明：AACE-CB。；②若4E=3,BD=5,求。E的长；

（2）迁移：如图2：在等腰阳AAEC中，且NC=90。，CD=2,BD=3,。、E分别是边5C,4c上

的点，将。E绕点。顺时针旋转90。，点E刚好落在边AB上的点尸处，则CE=.（不要求写

过程）

图1图2

24.如图，在用△A8C中，48=90。，CDA.AB,垂足为。.

(1)求证：Z4CD=ZB；

(2)若"平分NC43分别交CO,BC于点E,F,求证：CE=CF.

参考答案:

题号12345678910

答案1)CBBDACBCI)

题号1112

答案cC

1.D

【分析】由△A8C中，AB=AC,ZA=40°,即可求得NA8C的度数，又由线段A8的垂直平分线交A8

于Q,交AC于£可得AE=BE,继而求得的度数，则可求得答案.

【详解】解：•・•等腰△A4C中，AI3=AC,ZA=40°,

・•・ZABC=ZC=1S()C~ZA=70°,

2

•・•线段"的垂直平分线交相于。，交AC于£,

；・AE=BE,

，NA密NA=40。,

，ZCBE=ZABC-ZABE=30°.

故选：D.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结

合思想的应用.

2.C

【分析】先根据等腰三角形的性质求出N84C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性

质分别求出NDAM/,NEA泊2及/月U4,的度数，找出规律即可得出第〃个三角形中以A〃为顶点的

内角度数.

【详解】解：在△C84/中，N8=40°,AiB=CBt

180°-Zfi

=70°,

2

•・・A/A2=A/。，NBA<是△A/A2O的外角,

/.ZDAAI=-ZBAiC=-X70°,

222

同理可得N£AM2=(1)2x70。，/胡加=(?)3X70°,

22

，第〃个二角形中以为顶点的内角度数是（3）"'-70".

故选：C.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出ND4M/,NE4M2及

/次认3的度数，找出规律是解答此题的关键.

3.B

【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，根据已知条件可得4。。=60。,△048,△ODE是等边三

角形，根据S用影=—S&A9O+—SQDE求解即可•

【详解】解：•・•480=60。，OA=OB,

・•・VAOB是等边三角形，

：.OA=OB=AI3=4f

°：AD//BO,

：.ZOAD=/AOB=m.

♦：OA=OD,

・••ZVI。。是等边三角形，

・•・ZAOD=60°,

*/AD//BO,

：.ZDOE=ZADO=60°

...是等边三角形，

VDCA.BE

：,OC=CE=^OE=2,CD=6CE=26

又・・・OB=OE=A8=4

••,旷即=S.D

•一•%］影—*网形OAS-$StfO+5stpDE

=S国形人。8-3sQDE

=60£x£_lx2x2^=8；r_275

36023

故选：B.

4.B

【分析】根据等腰三角形两底角相等求出NACB,然后求出NPCB+NPBC=NACB,再根据三角形的

内角和定理列式计算即可得解.

【详解】•・・NA=50。，AABC是等腰三角形，

AZACB=-(1800-ZA)=-(18O°-5O)=65°,

22

VZPBC=ZPCA,

,ZPCB+ZPBC=ZPCB+ZPCA=ZACB=65°,

：.ZBPC=180°-(ZPCB+ZPBC)=I8O°-65°=115°.

故选B.

【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，准确识图并求出

ZPCB+ZPBC是解题的关键.

5.D

【分析】根据正方体的概念和特性可知AB,AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可

求解

【详解】连接BC,

〈AC、AB、BC是正方形的对角线，

AAC=AB=BC,

/.△ABC为等边三角形.

AZBAC=60°.

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形

是解题的关键.

6.A

【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一:角形的面积公式等，

正确地添加辅助线构造全等三角形，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键.连接战,

设A4与CE交于点。，过点。作于M,ONA.f^N,先证△OC4和全等得

AD=BE,4=NCEB,进而得比:花=1:3,再证OM=ON,根据三角形的面积公式可得出

S-=〈BEON,SAAOE=：AEOM,则SO：S/=M:AE=1:3,然后根据△8OE和AAOE等高得

S的E：SJ3=O8：。八=1：3,由此可得04:49=3:4,最后根据AOAC和VABC等高得

的：工吠=QA:=3:4,据此可求出S.AOC的面积.

【详解】解：连接跖，设A8与CE交于点。，过点。作OMJ_AE于例，QV_L4E于N,如图:

QZACB=ZDCE=90°,

ZACO+ZECB=ZACO+Z.DCA,

即ZDC4;NEC8,

在△OC4和△£C8中，

AC=BC

ZDCA-NECB,

DC=EC

.-.△DCA^AEC«(SAS),

：.AD=BE,ND=NC£8,

•/AD:AE=1:3,

BE:AE=1:3,

NDCE=90。,DC=EC,

.NOCE为等腰直角三角形，

ZD=ZC£D=45°,

；.NCEB=NCED=45°,

即OE为NAE8的平分线，

:.OM=ON,

吩=押6,SAAOE=^AEOM,

6TXI:S^AOE~BE:AE=1:3,

乂△8OE和ZMOE等高，

・••S®E：S"=OB:(M=】：3，

：.OA:/\B=3:4,

•.•△O4C和V48C等高，

/.SAOC:S=OA:AB=3:4，

33I

••Loe=4X2X4X4=6,

故选：A.

7.C

【分析】先利用边角边求出△ACPg^BAQ,可得（2）正确.进而可得NAQC=NCPB,得到NAMP

的度数，推出（3）正确.NAPW不一定等于60。,得APHAM得（1）错误.设时间为t,分类列方程可求

（4）正确.因此答案选C.

AP=BQ

【详解】:点尸、。速度相同，・・.”=4Q.在和AABQ中，（/CAP=NA8Q=60。，

AC=BA

•••△ACPgABAQ,故②正确.

则4QC=NCP4.gpAB+ZBAQ=ABAQ+^AMP.AZAWP=ZB=6（）°.

则NCMQ=NAMP=60。，故③正确.

•••NAAM不一定等于60。.：,AP^AM.A.故①错误.

设时间为3则AP=5Q=1,PB=6”,

①当NPQ8=90。时，・.・N8=6（）>,；.PB=2BQ,得6-t=2f,/=2；

②当/BP2=90。时，VZB=603,:・BQ=2BP,得/=2（6-r）,片4,

・•・当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形.・••④正确.故选C.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，掌握

相关知识是解题关键.

8.B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形周长计算，分腰长为3和6

两种情况，求出等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据周

长计算公式求解即可.

【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3,3,6,

•••3+3=6,

，此时不能构成三角形，不符合题意；

当腰长为6时，则该等腰三角形的三边长为3,6,6,

V3+6>6,

・••此时能构成三角形，符合题意，

・••该三角形的周长为3+6+6=15,

故选:B.

9.C

【详解】等腰三角形“三线合一”，AD也是角平分线.可以得出NC=65"选C

10.D

【分析】此题考查了真命题：正确的命题是真命题，根据等腰三角形的性质，平行线的性质，因式分

解及乘法性质依次判断即可得到结果

【详解】解：A.如果曲=0,那么〃=0或〃=(),故此命题是假命题，不符合题意；

B.两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题，不符合题意；

C.当腰长为2时，三边长分别为2,2,5,此时2+2<5不能构成三角形，舍去；

当腰长为5时，三边长分别为5,5,2,此时三角形周长为5+5+2=12,

故此命题是假命题，不符合题意；

D.将多项式x-V因式分解的结果是M1+X)(IT)，是真命题，符合题意；

故选：D.

11.C

【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.

由垂直平分线的性质可得=AO=CO,根据“等边对等角”可得Nb%=NO48,

N0C4=NO4C,从而NO8A+NOC4=N048+NOAC=78。，根据三角形的内角和定理求得

ZABC+ZACB=102°,从而得到NO8C+NOC8=24。，根据BO=CO可求得NO8C=NOCB=12。.

【许解】连接40,

•・“垂直平分A8,4垂直平分AC,

AAO=BO,AO=CO,

AZOBA=ZOAB,ZOCA=ZOAC,

,/40AB+ZOAC=ABAC=78°,

・•・AOBA+ZOCA=ZOAB+ZOAC=78°,

*/ZABC+ZACB=180°-NBAC=180°-78°=102°,

・•・ZOBC+ZOCB=ZABC-ZOI3A+ZACI3-ZOCA=102°-78°=24°,

VAO=BO,AO=CO,

・••BO=CO,

・•・/OBC=/OCB=12。.

故选：C

12.C

【分析】由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解..

【详解】解：如图，

•••等边三角形48c中，BD,分别是/ABC,NAC8的角的平分线，交于点/,

，/1=N2=1NACB=30。，

2

AZB/C=180°-(Z1+Z2)=120°.

故选：C.

【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.

13.8

【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置.

【详解】解：如图，以点0、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂克平分线与坐标轴的交

点有2个

综上所述，满足条件的点P有8个.

【点睛】本题考俊了等腰二角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便.

14.50

【分析】根据等腰三角形的定义，得出=再根据垂直平分线的性质，得出A£=8£,

再根据等边对等角，得出N/3E=NA,再根据三角形的外角的性质，得出/£8C+4C8=NA£B,

再根据等量关系，列出方程，解出即可得出答案.

【详解】解：TVABC是等腰三角形，

/.ZABC=ZACB,

又：OE垂直且平分A8,

・••AE=BE,

/.ZABE=ZA,

V1800-2ZA=ZA£B,/CBE+/C=ZAEB,

:.150+g(180°-N4)=l800-2/A,

解得：ZA=50°.

故答案为：50.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，解本题的关键在根据角之间的等量关系，

列出方程.

15.2疾

【分析】取A3得中点N,连接EN,CE,GN,作E”_LCD交CO的延长线于点〃，先求出CD,AE,

OE,再说明/MEN是等边三角形，根据“SAS”证明△AE/gzJVEG,可求NGNB,即可得出点G

的运动轨迹是射线NG,然后证明0△"GN,可确定GA+GC的最小值，根据勾股定理求出

答案即可.

【详解】解：如图，取AB得中点N,连接屈V,CE,GN,作E”_LC。交CO的延长线于点

3

由题意，得8=12,AE=-AD=6,DE=2.

4

•・•点N是A8的中点，

；•AN=BN=6,

・•・AE=AN=6.

■:44=60。，

・•・八4硒是等边三角形，

:.EA=EN，ZAEN=乙FEC=GP,ZA2VE=6O°,

，ZLAEF=4NEG.

VEA=EN,EF=EG,

，AAEF三处/EG,

:.乙ENG=ZJ=60°,

:.NGT方=180°-60°-60°=60°,

・••点G的运动轨迹是射线NG.

•:BN=EN,N£WG=NRVG=60。，NG=NG,

・•・&EGN■GN,

:・GB=GE,

：.GB+GC=GE+GC>EC,

在Rl△。由中，ZE/7D=9O°.DE=2,NEDH=60°,

；•DH=^DE=1,EH=422-f=5

/.CH=13.

根据勾股定理，得四=y）E//2+CH2=7（\/3）2+132=2而，

:.GB+CG>2如，

:•GB+CG的最小值是2>/43.

故答案为：2曲.

【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系,

勾股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键.

16.67.5°或45°或22.5。

【详解】分析：由于没有说明AAEC的顶点，所以分情况进行讨论.

详解：如图,

当AC=AE时，

以A为圆心，AC为半径作圆交直线AB于点E,

当E在BA的延长线时，

/.ZEAC=135°,

/.ZBEC=22.5°,

，ZBCE=ZBCA+ZBEC=67.5°

当E在AB的延长线时，

AZEAC=45°,

・•・ZACE=67.5°

/.ZBCE=ZACE-ZACB=22.5°

当AC=CE时，

当以C为圆心AC为半径作圆交直线AB于点E

/.ZEAC=ZCEA=45°,

AZBCE=45°,

故答案为67.5。或45。或22.5°

点睛：以AC为腰的等腰三角形△AEC中有两种情况：（1）AC=AE,当E在BA的延长线时和当E

在AB的延长线时求得NBCE；（2）AC=CE,利用等腰三角形的性质求解.

17.1

【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形判定以及性质，过。点作CG=C。

交AO与点G,由线段中点的定义可得出4O=CG,由等腰三角形三线合一的性质可得出

NCDG=NCGD,GF=DF,由等角的补角相等可得出=NCGA,再证明△4£>ESACGA（AAS）,

由全等三角形的性质可得出OE=4G,由线段的和差关系可得出。G=AE=2,进一步即可得出答案.

【详解】解；过。点作CG=C£＞交AD与点G,

A

BDC

•；D点、为BC中点,

，BD=CD,

：,BD=CG,

VCG=CD,CFA.AD,

；•NCDG=NCGD,GF=DF,

*/NBDE+ZCDG=180°,ZCGA+NCGD=180。，

・•・NBDE=NCGA,

在VBDE和/XCGA中，

/BED=NCAG

<NBDE=/CGA,

BD=CG

/.△8。石四△CGA(AAS),

・・・OE=AG,

即DG+GK=A£+GE,

・•・DG=AE=2,

：.DF=GF=-DG=\,

2

故答案为：I.

18.(1)0

(2)见详解

〉0)

【分析】(I)根据〃°=1(。。0),，〃==7(。工0),|〃|=(o(a=oj,进行计算，即可求解.

-a(a<0)

(2)可证N84E=NC4E,/CAE=/CDE,从而可得N84E=/CDE,即可求证.

【详解】(I)解：原式=(—2)—1+3

=—2—1+3

=0；

(2)证明：•••4B=AC,点E是BC的中点，

:.ZBAE=ZCAE,

-DC=AC,

/CAE=/CDE,

:.NBAE=/CDE,

:.AB//CD.

【点睛】本题考查/实数的混合运算，等腰三角形的性质，平行线的判定方法，掌握运算法则及性质

是解题的关键.

19.(1)=；(2)详见解析；(3)1或3.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到N8CE=NACE=30。，ZABC=60°,根据等腰三角形的判定

定理BD=BE,根据点£为A8的中点解答；

(2作EF〃8c交AC于凡证明0△EFC,推出推出4。二人£即可得到结论;

(3)分两种情形讨论，当E在BA的延长线上时，作Er〃AC交8。的延长线于F,易证△EBDqAEFC,

可得BO=C尸=4E=2,CD=BD-BC=2-1=1：当E在AB的延长线上时，作E尸〃BC交4c的延长线于

F,易证△EBDmACFE,BD=EF=AE=2,CD=BD+BC=2+\=3.由此即可解决问题.

【详解】•・•△ABC是等边三角形，AE=EB,AZBCE=ZACF=30°,ZABC=60°.

•:ED=EC,AZD=ZECD=30°.

•:/EBC二/D+/BED,，ND=N8ED=30。,：.BD=BE=AE.

故答案为二；

(2)结论：AE=BD.

理由如下：如图(2),作交AC于E

,:EF〃BC,AZAEF=ZB=60°,/ECD=/CEF,工/D=/CEF.

VZAEF=ZB=60°,ZA=60°,•・•△AE尸是等边三角形，：.AE=EF=AF,ZAFE=60°,

：.ZEFC=ZDBE=\200.

*：AB=AC,AE=AFf：,BE=CF.

•:ED=EC,:,ND=NECD.

NDBE=/EFC

在AO8石和△“EC中，VND=/CEF,(AAS),:・BD=EF,ABD=AE.

RE=CF

(3)如图(4)中，当石在/M的延长线上时，作七〃〃AC交8。的延长线于P,则△£73。且△EFC

(AAS),/.BD=CF=AE=2,CD=BD-RC=2-1=1.

如图(5)中，当石在AB的延长线上时，作E尸〃8c交AC的延长线于F,MAAAS),

；,BD=EF=AE=2,CD=BD+BC=2+\=3.

综上所述：CO的长为1或3.

故答案为1或3.

【点睛】本题考查的是全等三用形的判定和性质、等边三角形的性质.等腰三角形的判定和性质，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

20.包

4

【分析】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论.分情况讨论：若

a=b,若〃若〃=c,分别根据题意求出三角形的边长，再根据三角形的三边关系判断即可.

【详解】解：若。=6,则〃+2=6,

解得：〃二4,

c=4/?-1=4x4—1=15,

v6+6<15,

二•不满足三角形三边关系，舍去;

若a=c,则4〃-1=6,

解得：，一，

4

,c7c15

b=n+2=—F2=一,

44

公15,

6+——>6,

4

三角形周长为：6+6+；=”：

44

若b=c,则〃+2=4〃-1,

解得：〃=1,

/?=c=1+2=3

3+3=6,不满足三角形三边关系，舍去;

综上，这个二角形的周长为亍.

4

21.⑴DE=BD+CE成立,理由见解析

(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判

定和性质，等边三角形的性质，即可.

(1)根据N8AO+NC4E=180。一N8AC,ZBAD+ZABD=180°-ZADB,ZADB=/BAC,则

ZABD=ZCAE,根据全等三角形的判定和性质，则AAB£>^AC4E(AAS),得至ijBD=AE,AD=CE,

即可；

(2)根据等边三角形的性质，则=ZFBA=ZE4C=60°,根据三角形角的数最关

系，则NA3£>=NC4£,根据全等三角形的判定和性质，推出八4团注△CAE(AAS),BD=AE;根

据全等三角形的判定和性质，△反回△RIE(SAS),即可.

【详解】(1)解：DE=BD+CE成立,理由如下：

VZZMD+ZC4E=180°-ZBAC,ZBAD+AABD=1800-ZADB,ZADB="AC,

，ZAI3D=ZCAEt

在△人和△(“£：中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZAEC,

AB=CA

：.AA也汪△CAK(AAS),

：・BD=AE,AD=CE,

:.DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：•••△49厂和△ACF均为等边三角形，

AAB=AC=FA=FB,"BA=NFAC=60。,

*/ABAD+ZABD=180O-ABDA,ZBAD+ZC4E=180°-Z.BAC,ZBDA=ZBAC,

・•・ZABD=/CAE,

在△A8£>和中，

NABD=NCAE

,4BDA=ZAEC,

AB=CA

AABD^ACAE(AAS),

・•・BD;AE,

ZABD=ACAE,

，ZABD+/FAB=ZC4E+ZMC,

：・4FBD=/FAE,

在△召BD和△石4E中，

FB=FA

</FRD=/FAR,

AB=CA

.•・△阳Z泾△EAE(SAS),

,DF=EF.

22.(l)fiC

(2)35米

⑶可行，证明见解析

【分析】(1)利用直角三角形的两个锐角互余可得/C48=45。，进而可得=再由等角

对等边可得A8=3C,于是得解；

(2)利用三角形外角的性质可得NC48=NC3Q-ZAC8=40。，进而可得NG4B=N4C8,再由等角对

等边可得A8=8C=35米，于是得解；

(3)由题意可知/48O=N£)CO=90。，利用ASA可证得△ABO丝△