初中数学函数知识点总结与试题

初中数学函数知识点总结与试题函数，作为初中数学的核心内容之一，不仅是代数知识的延伸与深化，更是培养同学们逻辑思维和解决实际问题能力的重要载体。它如同一个桥梁，连接着数与形，也连接着数学与现实世界。理解函数的概念，掌握基本函数的性质与图像，是学好初中数学乃至高中数学的关键。本文将对初中阶段所学的函数知识进行系统梳理，并辅以典型试题，希望能帮助同学们巩固基础，提升能力。一、函数的基本概念1.1变量与常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。例如，汽车行驶的路程随时间的变化而变化，这里的路程和时间是变量，而汽车行驶的速度如果保持不变，则速度是常量。1.2函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这个定义中，有两个关键点需要深刻理解：*“每一个确定的值”：指的是自变量x的取值要在其允许的范围内，这个范围我们通常称为自变量的取值范围（或定义域）。*“唯一确定的值与其对应”：这是函数概念的核心，即给定一个x，只能有一个y与之对应。例如，y=±x就不是一个函数关系，因为当x=1时，y有两个值1和-1与之对应。1.3函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：*解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如，y=2x+1，C=2πr等。这是最精确、最便于进行理论分析的表示方法。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。例如，我们学过的平方表、平方根表等，以及生活中常见的工资表、成绩单等，都可以看作是列表法的应用。这种方法的优点是直观明了，能直接看出部分对应值。*图像法：用图像来表示函数关系的方法。即将自变量x和函数y的每一组对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，这些点组成的图形就是函数的图像。图像法的优点是形象直观，能清晰地反映函数的变化趋势。1.4函数的图像函数图像是理解函数性质的重要工具，“数形结合”是学习函数的基本思想方法。*画函数图像的一般步骤：列表、描点、连线。*列表：选取自变量的一些有代表性的值，计算出对应的函数值，列出表格。*描点：根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点。*连线：用平滑的曲线（或直线）按照自变量由小到大的顺序将所描的点连接起来。*图像的意义：函数图像上的每一个点的坐标(x,y)都满足函数的关系式；反过来，满足函数关系式的每一对(x,y)所对应的点都在函数的图像上。1.5自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，通常要考虑以下几个方面：*整式型：自变量可取全体实数。*分式型：分母不能为零。*根式型：二次根式的被开方数必须是非负数。*实际问题：要使实际问题有意义，例如，人数不能为负数，时间不能为负数等。二、几种常见的函数2.1正比例函数*定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。*图像：正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的一条直线，我们称它为直线y=kx。*性质：*当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，y的值随x值的增大而增大（即函数单调递增）。*当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，y的值随x值的增大而减小（即函数单调递减）。*|k|的大小决定了直线的倾斜程度，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴。2.2一次函数*定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是特殊的一次函数。*图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b。它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度得到的（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。*性质：*k的作用：k决定了直线的倾斜方向和倾斜程度。*当k>0时，y的值随x值的增大而增大；*当k<0时，y的值随x值的增大而减小。*|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。*b的作用：b是直线与y轴交点的纵坐标，称为直线在y轴上的截距。直线与y轴交于点(0,b)。*直线与坐标轴的交点：*与y轴交点：(0,b)*与x轴交点：令y=0，解得x=-b/k，即交点坐标为(-b/k,0)*正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊形式（b=0）。2.3反比例函数*定义：一般地，形如y=k/x(k是常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数。也可以写成y=kx⁻¹的形式。*图像：反比例函数的图像是双曲线。*性质：*当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；*当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大；*双曲线的两支都无限接近于x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交；*反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和y=-x。2.4二次函数（初步认识）初中阶段对二次函数的要求相对基础，主要涉及以下内容：*定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。*图像：二次函数的图像是一条抛物线。最简单的二次函数y=ax²的图像是以原点为顶点，以y轴为对称轴的抛物线。*性质（以y=ax²为例）：*当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；*当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；*|a|的大小决定抛物线开口的宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。三、函数的应用函数的应用主要体现在利用函数知识解决实际问题，包括：1.根据实际问题列函数关系式：分析问题中的变量关系，找出等量关系，列出函数表达式。2.利用函数图像解决问题：从图像中获取信息，如交点坐标的意义、函数值的增减情况等。3.利用函数性质进行决策：如利用一次函数的增减性求最值，利用二次函数的顶点求最值等（初中阶段主要涉及一次函数和二次函数的简单最值问题）。四、试题精选与解析（一）基础巩固选择题1.下列关系式中，y不是x的函数的是（）A.y=x-1B.y=√x(x≥0)C.y=±√x(x≥0)D.y=x²答案与解析：C。函数要求对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。选项C中，当x取一个正数时，y有两个值（正负）与之对应，不符合函数的定义。2.函数y=1/(x-2)中，自变量x的取值范围是（）A.x≠2B.x>2C.x<2D.x≠-2答案与解析：A。因为分式的分母不能为零，所以x-2≠0，即x≠2。3.正比例函数y=-3x的图像经过的象限是（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限答案与解析：C。正比例函数y=kx，当k<0时，图像经过第二、四象限。这里k=-3<0。填空题4.已知一次函数y=2x+b的图像经过点(1,3)，则b=______。答案与解析：1。将点(1,3)代入函数表达式，得3=2×1+b，解得b=1。5.反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则k的值为______。答案与解析：-6。将点(2,-3)代入y=k/x，得-3=k/2，解得k=-6。解答题6.画出函数y=2x-1的图像，并根据图像回答：（1）当x=2时，y的值是多少？（2）当y=3时，x的值是多少？（3）函数图像与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？答案与解析：列表：x...01...:--:--------:---:-----y...-11...描点、连线（图像略，是一条经过点(0,-1)和(1,1)的直线）。（1）当x=2时，y=2×2-1=3。（2）当y=3时，3=2x-1，解得x=2。（3）与y轴交点：令x=0，y=-1，即(0,-1)；与x轴交点：令y=0，2x-1=0，x=0.5，即(0.5,0)。（二）能力提升解答题7.已知一次函数的图像经过点A(0,2)和点B(1,3)。（1）求此一次函数的表达式；（2）若点C(m,-1)在该函数的图像上，求m的值；（3）判断点D(2,5)是否在该函数的图像上。答案与解析：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)。因为函数图像经过点A(0,2)，所以将x=0,y=2代入得b=2。又因为图像经过点B(1,3)，将x=1,y=3,b=2代入得3=k×1+2，解得k=1。所以，此一次函数的表达式为y=x+2。（2）因为点C(m,-1)在函数图像上，所以将x=m,y=-1代入y=x+2，得-1=m+2，解得m=-3。（3）将x=2代入y=x+2，得y=2+2=4。因为4≠5，所以点D(2,5)不在该函数的图像上。8.某商店销售一种文具，每件成本价为2元。经市场调查发现，售价为3元时，每天可售出200件，售价每提高0.5元，每天的销售量就减少10件。设售价为x元（x≥3，且为0.5的整数倍），每天的销售量为y件。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果商店每天想要获得224元的利润，那么该文具的售价应定为多少元？（利润=(售价-成本价)×销售量）答案与解析：（1）售价为3元时，销量为200件。售价每提高0.5元，销量减少10件。售价从3元提高到x元，提高了(x-3)元。提高的金额里有多少个0.5元：(x-3)/0.5=2(x-3)。所以减少的销量为10×2(x-3)=20(x-3)件。因此，y=200-20(x-3)=200-20x+60=-20x+260。所以y与x之间的函数关系式为y=-20x+260。（2）根据利润公式，利润=(x-2)y=(x-2)(-20x+260)。令利润为224元，则(x-2)(-20x+260)=224。化简得：(x-2)(-5x+65)=56展开：-5x²+65x+10x-130=56-5x²+75x-186=0两边同除以-1：5x²-75x+186=0这里计算判别式可能会比较复杂，或者我们可以尝试代入x的可能值（x≥3，且为0.5的整数倍）。尝试x=5：利润=(5-2)(-20×5+260)=3×(160)=480>224x=4：(4-2)(-80+260)=2×180=360>224x=3.5：(1.5)