2025年下学期初中数学基本国际咨询商组织竞赛试卷

2025年下学期初中数学基本国际咨询商组织竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填得零分。设(a=\sqrt{5}-2)，则代数式(a^3+4a^2-a+6)的值为（）（A）0（B）1（C）﹣1（D）2对于任意实数(a,b,c,d)，定义有序实数对((a,b))与((c,d))之间的运算“△”为：((a,b)△(c,d)=(ac-bd,ad+bc))。如果对于任意实数(x,y)，都有((x,y)△(m,n)=(x,y))，那么((m,n))为（）（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，﹣1）已知(A,B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）（A）(-\frac{8}{3})（B）(-\frac{5}{3})（C）1（D）(\frac{11}{3})如图，点(D,E)分别在△(ABC)的边(AB,AC)上，(BE,CD)相交于点(F)，设(S_{四边形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）（A）(S_1S_3<S_2S_4)（B）(S_1S_3=S_2S_4)（C）(S_1S_3>S_2S_4)（D）不能确定设(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，则(4S)的整数部分等于（）（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）两条直角边长分别是整数(a,b)（其中(a<b<2025)），斜边是(c)的直角三角形的个数为。一枚质地均匀的正方体骰子的六个面的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是。如图，双曲线(y=\frac{k}{x})（(x>0)）与矩形(OABC)的边(CB,BA)分别交于点(E,F)，且(AF=BF)，连接(EF)，则△(OEF)的面积为。⊙(O)的三个不同的内接正三角形将⊙(O)分成的区域的个数为。设四位数(\overline{abcd})满足(a^3+b^3+c^3+d^3+1=10c+d)，则这样的四位数的个数为。三、解答题（共4题，每题20分，共80分）已知关于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的两个整数根恰好比方程(x^2+nx+m=0)的两个根都大1，求(m+n)的值。如图，点(H)为△(ABC)的垂心，以(AB)为直径的⊙(O_1)和△(BCH)的外接圆⊙(O_2)相交于点(D)，延长(AD)交(CH)于点(P)，求证点(P)为(CH)的中点。若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。（1）证明：存在整数(a,b,c)，满足(a^2+b^2-8c=6)；（2）问：是否存在整数(a,b,c)，满足(a^2+b^2-8c=7)？证明你的结论。对每一个大于1的整数(n)，设它的所有不同的质因数为(p_1,p_2,\cdots,p_k)，对于每个(p_i)，存在正整数(e_i)，使得(p_i^{e_i}\leqn<p_i^{e_i+1})，记(f(n)=p_1^{e_1}+p_2^{e_2}+\cdots+p_k^{e_k})。例如，(f(12)=2^2+3^1=7)。（1）试找出一个正整数(n)，使得(f(n)>n)；（2）证明：存在无穷多个正整数(n)，使得(f(n)>n)。已知抛物线(y=x^2+bx+c)与(x)轴交于(A,B)两点，与(y)轴交于点(C)，其中点(B)在(x)轴的正半轴上，点(C)在(y)轴的正半轴上，线段(OB,OC)的长（(OB<OC)）是方程(x^2-10x+16=0)的两个根，且抛物线的对称轴是直线(x=-2)。（1）求(A,B,C)三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接(AC,BC)，若点(E)是线段(AB)上的一个动点（与点(A,B)不重合），过点(E)作(EF\parallelAC)交(BC)于点(F)，连接(CE)，设(AE)的长为(m)，△(CEF)的面积为(S)，求(S)与(m)之间的函数关系式，并写出自变量(m)的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明(S)是否存在最大值，若存在，请求出(S)的最大值，并求出此时点(E)的坐标，判断此时△(BCE)的形状；若不存在，请说明理由。已知点(P)是矩形(ABCD)边(AB)上的任意一点（与点(A,B)不重合）。（1）如图①，现将△(PBC)沿(PC)翻折得到△(PEC)；再在(AD)上取一点(F)，将△(PAF)沿(PF)翻折得到△(PGF)，并使得射线(PE,PG)重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接(FC)，取(FC)的中点(H)，连接(GH,EH)，请你探索线段(GH)和线段(EH)的大小关系，并说明你的理由；（3）如图③，分别在(AD,BC)上取点(F,G)，使得∠(APF=∠BPG)，与（1）中的操作相类似，即将△(PAF)沿(PF)翻折得到△(PGF)，将△(PBG)沿(PG)翻折得到△(PFG)，连接(FC,GC)，取(FC,GC)的中点(H,I)，试判断△(GHI)的形状，并说明理由。已知二次函数(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的图像经过点(A(1,0))，(B(2,0))，(C(0,-2))，直线(x=m)（(m>2)）与(x)轴交于点(D)。（1）求二次函数的解析式；（2）在直线(x=m)（(m>2)）上有一点(E)（点(E)在第四象限），使得(E,B,D)为顶点的三角形与以(A,O,C)为顶点的三角形相似，求(E)点坐标（用含(m)的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点(F)，使得四边形(ABEF)为平行四边形？若存在，请求出(m)的值及四边形(ABEF)的面积；若不存在，请说明理由。如图，在Rt△(ABC)中，∠(ACB=90°)，(AC=6cm)，(BC=8cm)，点(P)从点(A)出发沿(AC)方向向点(C)匀速运动，速度为(1cm/s)；同时点(Q)从点(C)出发沿(CB)方向向点(B)匀速运动，速度为(2cm/s)，设运动时间为(t)秒（(0<t<4)）。（1）若(PCQ)的面积为(5cm^2)，求(t)的值；（2）如图①，连接(PQ)，并把△(PCQ)沿(PQ)翻折，得到四边形(PCQ'P)，那么是否存在某一时刻(t)，使四边形(PCQ'P)为菱形？若存在，求出此时(t)的值；若不存在，说明理由；（3）如图②，连接(AQ,BP)，相交于点(M)，求证：(AM·MQ=BM·MP)。已知：如图，在Rt△(ABC)中，∠(C=90°)，(AC=3cm)，(BC=4cm)，点(P)从点(B)出发沿(BC)方向向点(C)匀速运动，速度为(1cm/s)；同时点(Q)从点(C)出发沿(CA)方向向点(A)匀速运动，速度为(1cm/s)；当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动。设运动时间为(t)秒（(0<t<3)）。过点(P)作(PD\perpBC)，