2025年下学期初中数学竞赛无穷递降法试卷

2025年下学期初中数学竞赛无穷递降法试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）下列方程中，适合用无穷递降法证明无正整数解的是（）A.(x+y=5)B.(x^2-y^2=2025)C.(x^3+2y^3=4z^3)D.(x^2+y^2=z^2)用无穷递降法证明“方程(a^2+b^2=3(s^2+t^2))无正整数解”时，若假设存在最小解((a_1,b_1,s_1,t_1))，则下一步需证明（）A.(a_1)和(b_1)都是偶数B.(a_1)和(b_1)都能被3整除C.(s_1)和(t_1)都是质数D.(a_1+b_1>s_1+t_1)若正整数(n)满足(n\mid2^n-1)（即(2^n\equiv1\modn)），则下列说法正确的是（）A.(n)一定是质数B.(n)的最小正整数解为1C.这样的(n)不存在D.(n)必为偶数关于无穷递降法的逻辑结构，下列描述正确的是（）A.从一组解出发构造更小的解，与最小性矛盾B.直接计算方程的所有可能解C.通过数学归纳法证明解的存在性D.利用反证法假设方程有解，直接导出矛盾方程(x^4+y^4=z^4)无正整数解的证明思路是（）A.假设最小解((x_1,y_1,z_1))，构造更小解((x_2,y_2,z_2))且(z_2<z_1)B.证明左边为偶数而右边为奇数C.利用勾股定理直接推导D.通过枚举法验证前100组正整数二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）若正整数(a,b)满足(a^2=2b^2)，则(a)与(b)的最大公约数一定能被______整除。用无穷递降法证明“(\sqrt{2})是无理数”时，假设(\sqrt{2}=\frac{p}{q})（(p,q)为互质正整数），则可推导出(p)和(q)都是______数，与互质矛盾。方程(x^2+y^2+z^2=2xyz)的所有正整数解为______。若正整数(n>1)且(n\mid2^n-1)，则(n)的最小可能值为______（若不存在则填0）。设(a,b,c)为正整数，且(a^3+2b^3=4c^3)，则(a+b+c)的最小值为______。三、解答题（共4小题，每小题20分，满分80分）证明：方程(x^4+y^4=z^2)没有正整数解。证明思路：假设存在最小正整数解((x_1,y_1,z_1))，其中(z_1)最小。由勾股定理构造：设(x_1^2=m^2-n^2)，(y_1^2=2mn)，(z_1=m^2+n^2)（(m>n>0)，互质且一奇一偶）。由(y_1^2=2mn)及(m,n)互质，设(m=a^2)，(n=2b^2)，代入(x_1^2=m^2-n^2)得(x_1^2=a^4-4b^4)，即(x_1^2+(2b^2)^2=(a^2)^2)。重复构造得到更小解((x_2,y_2,z_2))且(z_2=a^2<z_1)，与(z_1)最小矛盾，故原方程无正整数解。证明：方程(x^3+2y^3+4z^3=6xyz)只有唯一整数解(x=y=z=0)。证明：若存在非零解，设((x_1,y_1,z_1))是模最小的整数解（模指(|x|+|y|+|z|)）。模3分析：左边(x_1^3+2y_1^3+4z_1^3\equivx_1+2y_1+z_1\mod3)，右边(6x_1y_1z_1\equiv0\mod3)，故(x_1+2y_1+z_1\equiv0\mod3)。构造更小解：设(x_2=\frac{-x_1+2y_1+2z_1}{3})，(y_2=\frac{2x_1-y_1+2z_1}{3})，(z_2=\frac{2x_1+2y_1-z_1}{3})，验证((x_2,y_2,z_2))是解且模更小，矛盾。证明：(\sqrt{3})是无理数。证明：假设(\sqrt{3}=\frac{p}{q})（(p,q)为互质正整数），则(p^2=3q^2)。推出(p)是3的倍数，设(p=3p_1)，代入得(9p_1^2=3q^2\Rightarrowq^2=3p_1^2)，故(q)也是3的倍数。设(q=3q_1)，则(\sqrt{3}=\frac{p_1}{q_1})，且(p_1<p)，(q_1<q)，与(p,q)互质矛盾，故(\sqrt{3})是无理数。已知正整数(a,b,c)满足(a^2+b^2+c^2=abc)，求(a+b+c)的值。解：不妨设(a\leqb\leqc)，固定(a,b)解关于(c)的方程：(c^2-ab\cdotc+(a^2+b^2)=0)。若存在正整数解(c)，则判别式(\Delta=a^2b^2-4(a^2+b^2))必为完全平方数。尝试(a=3)，(b=3)，得(\Delta=81-72=9)，(c=\frac{9\pm3}{2})，正整数解(c=6)。验证最小解((3,3,6))，通过无穷递降法可证不存在更小解，故(a+b+c=12)。四、拓展题（共1小题，满分20分）证明：方程(x^n+y^n=z^n)（(n)为大于2的整数）没有正整数解。（仅需证明(n=4)的情形）证明：当(n=4)时，即证(x^4+y^4=z^4)无正整数解。假设存在最小解((x_1,y_1,z_1))，则由11题结论(x^4+y^4=z^2)无正整数解，而(z^4=(z^2)^2)，矛盾。故(n=4)时方程无解，同理可推广至一般情形。参考答案与