高三数学考前模拟卷三（教师版）

第38讲2023届高三数学新高考一卷考前模拟三一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先化简两集合，再求交集，即可得出结果.【详解】因为，，令，则；令，则；令，则；所以.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.2．若（i为虚数单位），则实数a的值为（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】由已知可得，根据复数乘法运算法则，和复数相等的充要条件，即可求解.【详解】，∴.故选：A.3．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由轴截面是面积为2的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，由题可知，∴，侧面积为，故选：C.4．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象结合函数的定义域，复合函数的奇偶性，利用排除法，即可得到结果.【详解】由图象可知函数是奇函数，函数和由复合函数的奇偶性可知，这两个函数为偶函数，故排除A，C；对于函数，由于时，，此时无意义，所以函数不经过原点，故B错误；故D满足题意.故选：D.5．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p0时，f（p）最大，则p0=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，再利用基本不等式法求解.【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，，所以，令，则，，当且仅当，即时，等号成立，即，故选：A6．若，则（

）A． B．0 C．1 D．【答案】D【分析】利用平方关系和正弦的二倍角公式弦化切，由求出代入可得答案.【详解】因为，所以，所以.故选：D.7．已知是函数（其中）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由指数函数单调性可确定，当最小时，可确定分别为过作两段图象的切线，利用过某一点曲线切线的求解方法可构造方程组求得，进而得到所求最小值.【详解】由解析式可知：在上单调递减，在上单调递增，.设过点的直线与在上的图象相切，设切点坐标为，则，解得：，，设过点的直线与在上的图象相切，设切点坐标为，同理可求得：，，是图象上的点，且的最小值为，，又，，，解得：，.故选：.【点睛】本题考查函数最值的求解问题，涉及到导数几何意义的应用；关键是能够通过平面向量数量积的定义将问题转化为过某一点的曲线切线方程的求解问题，充分体现了转化与化归思想在考试中的应用.8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】，故选：B【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立二、多选题9．甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为、，则（

）A．每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B．甲的成绩比乙稳定C．一定大于D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差【答案】BC【分析】利用折线图的性质直接求解即可.【详解】对于A选项，第二次月考，乙的成绩比甲的成绩要高，A选项错误；对于B选项，甲组数据比乙组数据的波动幅度要小，甲的成绩比乙稳定，B选项正确；对于C选项，根据图象可估计出，，一定大于，C选项正确；对于D选项，根据图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小，D选项错误．故选：BC.10．下列各式中，与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由二倍角的余弦公式可得，由二倍角的正切公式可判断A；由二倍角的正弦公式可判断B；由两角差的余弦公式可判断C；由同角三角函数的基本关系、诱导公式及二倍角的余弦公式可判断D.【详解】，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选:ACD.11．在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA=PB，则以下结论正确的是（

）A．点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8 B．△PAB面积最大时，PA=2C．∠PAB最大时，PA= D．P到直线AC距离最小值为【答案】ACD【分析】根据可求得点轨迹方程为，A正确；根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，由此可确定面积最大时，由此可确定B不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.【详解】解：对于A：设，由得：，即，化简可得：，即点轨迹方程为，故A正确；对于B：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，，面积最大为，此时，，故B不正确；对于C：当最大时，则为圆的切线，，故C正确；对于D：直线的方程为，则圆心到直线的距离为，点到直线距离最小值为，D正确.故选：ACD.12．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（

）A．若平面，则B．存在点与直线，使C．存在点与直线，使平面D．【答案】ACD【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线平行于直线，时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，平面，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，平面平面，又平面，平面，，点在面上，过点的直线交，于点，，平面，又平面，平面平面，，，故A正确；对于B，设正四面体的棱长为，，故B错误；对于C，当直线平行于直线，为线段上靠近的三等分点，即，此时平面，以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为，，，，均为正三角形，点为的中心，，由正三角形中的性质，易得，在中，，，，由余弦定理得，，，则，同理，，又，平面，平面，平面，存在点S与直线MN，使平面，故C正确；对于D，设为的中点，则，又∵，，三点共线，∴，∵，，三点共线，∴，∵，，三点共线，∴，设，，，则，∵，，，四点共面，∴，又∵，∴，∴，即，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力与探究能力，属于难题.三、填空题13．已知偶函数在上是增函数，则不等式的解集是________．【答案】【分析】利用偶函数的性质化为，再利用单调性去掉法则“f”即可得解.【详解】因是R上偶函数，则，而而在上是增函数，于是得，所以不等式的解集是.故答案为：14．抛物线的焦点坐标是________【答案】(0,)【详解】抛物线的标准方程为，焦点坐标为(0,)．15．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为．【答案】﹣37【详解】试题分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常数m的值，即可求出函数的最小值．解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，又因为x∈[﹣2，2]，所以得当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．答案为：﹣37考点：利用导数求闭区间上函数的最值．16．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝3n2+an，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣a，则a＝__，数列{}的前9项和为__．【答案】

1

【分析】先由题设求出a的值，进而求得bn，再利用an＝Sn﹣Sn﹣1求得an，并检验当n＝1是否适合，从而求得an与，最后利用错位相减法求得数列{}的前9项和即可．【详解】解：由等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣a，可得：b1＝2﹣a，b2＝T2﹣T1＝2，b3＝T3﹣T2＝4，∴，解得：a＝1，∵Sn＝3n2+an＝3n2+n，∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n﹣2，又当n＝1时，a1＝S1＝4也适合上式，∴an＝6n﹣2，∵等比数列{bn}的首项b1＝1，公比q＝2，∴bn＝2n﹣1，∴，设数列{}的前9项和为x，则x，又x，两式相减得：x＝4+3（1）4+3，整理得：x.故答案为：1；．四、解答题17．已知：，（）是方程的两根，且，（N*）.(1)求，，的值；(2)设，求证：；(3)求证：对N*有.【答案】(1)，，.(2)证明过程见解析(3)证明过程见解析【分析】（1）由已知条件，消去可得出的递推关系式，即可求得，，的值；（2）由递推关系，证出，即可证得题中的结论；（3）当时，使用累乘法和绝对值不等式性质证明，再验证时结论即可.（1）解方程得，，∴，∵，且∴，即∴，，∴，，.（2）∵，，∴，即时，又∴当时，又∵当时，∴（3）由第（1）问知，，∵∴当时，，∴（）∴（）∴（）∴（）又∵，∴（）由第（2）问知，，∴（）∴（）∵（）∵∴（）∴（）∵即∴（）又∵时，，∴对N*，有.18．2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X．(1)求随机变量X的概率分布；(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．【答案】(1)答案见解析(2)不公平【分析】（1）首先列出随机变量X的所有可能取值，再按照相互独立事件的概率计算公式计算出对应概率，即可得分布列；（2）分析出先摸球的一方获胜的情形，即可求得先摸球的一方获胜的概率，进而可判断该游戏是否公平．【详解】（1）（1）由题可得，X的所有可能取值为2，3，4，且，，，X的分布列为X234P（2）（2）先摸球的一方获胜，包括以下几种情况：双方共摸3次球，出现白黑黑、黑白黑、白白白这三种情况，即，双方共摸4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形，概率为，所以先摸球的一方获胜的概率为．因为，所以这场游戏是不公平的．19．已知、、分别是三个内角的对边.(1)若面积为，，，求的值；(2)若，试判断的形状，证明你的结论.【答案】(1)，1(2)直角三角形或等腰三角形，证明见解析【分析】（1）利用面积为，直接求出，通过余弦定理列方程求出的值；（2）利用正弦定理化简，利用二倍角的正弦公式可得，求出角的关系即可判断的形状.（1）由已知得，∴.由余弦定理，∴.（2）由正弦定理得，，∴，即，由已知为三角形内角，∴或.∴为直角三角形或等腰三角形.20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.21．如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．(1)分别用不等式组表示和；(2)若区域中的动点到的距离之积等于，求点的轨迹的方程；(3)设不过原点的直线与（2）中的曲线相交于两点，且与分别交于两点．求证的重心与的重心重合．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）直接写出答案即可.（2）根据题意得到，判断，代入化简得到答案.（3）考虑直线与轴垂直和不垂直两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算得到，，根据重心坐标公式得到证明.【详解】（