中科院群论考试题及答案

中科院群论考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪个不是群的定义要素？A.封闭性B.结合律C.单位元D.逆元E.可交换性答案：E2.交换群也称为？A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.循环群D.置换群E.子群答案：A3.循环群的所有生成元是什么？A.单位元B.任何元素C.群的阶D.群的阶减1E.群的阶加1答案：B4.下列哪个是有限群？A.有理数加法群B.实数乘法群C.整数加法群D.4阶循环群E.复数乘法群答案：D5.下列哪个是无限群？A.4阶循环群B.3阶循环群C.整数加法群D.4阶对称群E.4阶交错群答案：C6.群的阶是指？A.群中元素的数量B.群的生成元数量C.群的子群数量D.群的陪集数量E.群的阶乘答案：A7.下列哪个是子群？A.群中任意非空子集B.群中所有元素构成的集合C.群中元素数量为2的子集D.群中元素数量等于群阶的子集E.群中所有生成元构成的集合答案：E8.陪集的定义是什么？A.群的子集B.群的元素C.群的生成元D.群的左或右陪集E.群的阶答案：D9.下列哪个是正规子群？A.群的任意子群B.群的平凡子群C.群的补子群D.群的正规子群E.群的子群答案：D10.群的商群的定义是什么？A.群的子群B.群的陪集C.群的商群D.群的生成元E.群的阶答案：C二、多项选择题（每题2分，共10题）1.群的定义要素包括？A.封闭性B.结合律C.单位元D.逆元E.可交换性答案：A,B,C,D2.交换群的性质包括？A.元素可交换B.结合律成立C.存在单位元D.每个元素存在逆元E.元素数量有限答案：A,B,C,D3.循环群的特点包括？A.可以由一个元素生成B.元素数量有限C.元素数量无限D.可以表示为整数加法群E.可以表示为实数乘法群答案：A,B,C,D4.有限群的特点包括？A.元素数量有限B.存在单位元C.每个元素存在逆元D.可以表示为循环群E.可以表示为置换群答案：A,B,C,D,E5.无限群的特点包括？A.元素数量无限B.存在单位元C.每个元素存在逆元D.可以表示为整数加法群E.可以表示为实数乘法群答案：A,B,C,D,E6.子群的定义包括？A.群的子集B.群的元素C.群的生成元D.群的封闭性E.群的单位元答案：A,D,E7.陪集的性质包括？A.群的左或右陪集B.群的子集C.群的元素D.群的生成元E.群的阶答案：A,B,C8.正规子群的性质包括？A.群的子群B.群的平凡子群C.群的补子群D.群的正规子群E.群的子群答案：A,D,E9.商群的定义包括？A.群的子群B.群的陪集C.群的商群D.群的生成元E.群的阶答案：B,C10.群论的应用包括？A.代数结构B.几何学C.物理学D.计算机科学E.数论答案：A,B,C,D,E三、判断题（每题2分，共10题）1.交换群就是阿贝尔群。答案：正确2.循环群的所有元素都是生成元。答案：错误3.有限群一定有子群。答案：正确4.无限群一定有子群。答案：正确5.子群一定是正规子群。答案：错误6.陪集一定是子群。答案：错误7.商群一定是群。答案：正确8.正规子群一定是子群。答案：正确9.群的商群一定是交换群。答案：正确10.群论只研究有限群。答案：错误四、简答题（每题5分，共4题）1.简述群的定义及其要素。答案：群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。群的定义要素包括封闭性、结合律、单位元和逆元。封闭性指群中的任意两个元素通过二元运算的结果仍然在群中；结合律指群中的三元运算满足结合律；单位元指群中存在一个元素，与群中任意元素通过二元运算的结果仍然是该元素；逆元指群中每个元素都存在一个逆元，使得该元素与逆元通过二元运算的结果是单位元。2.简述循环群的特点及其生成元。答案：循环群是一种特殊的群，其所有元素都可以由一个生成元通过重复应用二元运算得到。循环群的特点是封闭性、结合律、单位元和逆元都成立。生成元是指群中一个元素，通过该元素和二元运算可以生成群中的所有元素。循环群可以是有限的，也可以是无限的。3.简述子群的定义及其性质。答案：子群是群的一个非空子集，它本身也是一个群。子群的性质包括封闭性、结合律、单位元和逆元都成立。子群中的元素通过群的二元运算仍然在子群中，子群的单位元与群的单位元相同，子群中的每个元素的逆元也是子群中的元素。4.简述正规子群的定义及其性质。答案：正规子群是群的一个子群，对于群中的任意元素和子群中的任意元素，它们的乘积和乘积的逆元仍然在子群中。正规子群的性质包括封闭性、结合律、单位元和逆元都成立，并且对于群中的任意元素和子群中的任意元素，它们的乘积和乘积的逆元仍然在子群中。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论循环群在群论中的重要性。答案：循环群在群论中具有重要地位，它是群论中最基本和研究最深入的群之一。循环群的特点是封闭性、结合律、单位元和逆元都成立，并且所有元素都可以由一个生成元通过重复应用二元运算得到。循环群的研究为其他群的分类和研究提供了基础，它在数论、代数几何等领域有广泛的应用。2.讨论子群在群论中的作用。答案：子群在群论中起着重要的作用，它是群的一种特殊的子结构，可以用来研究群的性质和结构。子群的研究可以帮助我们理解群的分类和结构，以及群的对称性和不变性。子群还可以用来构造新的群，以及研究群的表示和同态等问题。3.讨论正规子群在群论中的作用。答案：正规子群在群论中起着重要的作用，它是群的一种特殊的子群，具有特殊的性质和结构。正规子群的研究可以帮助我们理解群的分类和结构，以及群的对称性和不变性。正规子群还可以用来构造新的群，以及研究群的表示和同态等问题。4.讨论