2026高考数学一轮复习第7讲　函数的单调性与最值 【正文】听课 学生用

《全品高考复习方案》第7讲函数的单调性与最值【课标要求】借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数

当x1<x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数

图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有;

(2)∃x0∈D,使得

(1)∀x∈D,都有;

(2)∃x0∈D,使得

结论M为最大值M为最小值常用结论1.函数单调性的常用结论:(1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y=f(x)+g(x)也在区间A上单调递增(减).(2)若k>0,则y=kf(x)与y=f(x)的单调性相同;若k<0,则y=kf(x)与y=f(x)的单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f((4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x(5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<3.函数最值的结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.题组一易错辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性. ()(2)若函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递减,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3]. ()(3)函数y=-1x的单调递增区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ((4)若f(a)是函数f(x)的最大值,则(a,f(a))是f(x)图象上的最高点. ()题组二教材改编1.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[2,5],则函数f(x)的最大值为 ()A.15 B.10C.0 D.-12.函数f(x)=2,1<x<2A.R B.{2,3}C.(1,+∞) D.(1,2]3.函数f(x)=32x-1在区间[1,4]上的最大值为4.已知函数f(x-1)在R上单调递增,则f(x2+2x)求函数的单调区间题型1由函数的解析式求单调区间例1(1)[2025·湖北十堰模拟]函数y=1--x2+6xA.[0,3] B.(-∞,3]C.[3,6] D.[3,+∞)(2)f(x)=0.7x题型2由函数图象求单调区间例2设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数K,定义函数fK(x)=f(x),f(x)≤K,K,f(x)>K.设函数f(x)A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-∞,-1] D.[1,+∞)总结反思(1)利用函数图象求单调区间时,若图象在某区间从左往右向上延伸,则函数在该区间上单调递增;若图象在某区间从左往右向下延伸,则函数在该区间上单调递减.(2)已知函数解析式求单调区间,要注意函数的定义域.复合函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【对点演练1】(1)[2023·北京卷]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x-1(2)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b.若f(x)=2-x2,g(x)=|x|,则函数F(x)=min{函数单调性的判断与证明题型1由函数的解析式判断函数的单调性例3[2024·山东济南模拟]已知函数f(x)=x+mx,且f(1)=2(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.题型2抽象函数单调性的证明例4已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.总结反思1.解决具体函数单调性问题的关键是熟练掌握几种常见函数的单调性,如y=x+1x,y=x-1x2.定义法证明函数单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈I,且x1≠x2;(2)作差求f(x1)-f(x2);(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).3.证明抽象函数的单调性,要紧扣题目中的等量关系,将其转化,使其能用函数单调性的定义进行证明.【对点演练2】(1)已知函数f(x)=-x2+3x+1,x≤1,3(2)[2025·吉林长春一模]定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=fx-y1-xy,且当-1<x<0时,f(x)<0,证明:f(x)在函数单调性的应用题型1比较函数值的大小例5[2025·江西南昌模拟]已知函数f(x)的定义域为[0,16],则“f(13)>f(2)”是“函数f(x)在区间[0,16]上单调递增”的 ()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件题型2解函数不等式例6(多选题)[2024·广东茂名期末]定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f(x1)-x1f(x2)x1A.不等式f(x)>3x的解集为(3,+∞)B.不等式f(x)>3x的解集为(0,3)C.不等式f(x)<6x的解集为1D.不等式f(x)<6x的解集为0题型3求参数的值或范围例7(1)(多选题)已知函数f(x)=x2+2ax+5,x<1,-ax,x≥1A.-2 B.-1C.0 D.1(2)[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)总结反思1.利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)将要比较大小的两个函数值所对应的自变量转化到同一个单调区间内,根据函数f(x)的单调性去掉“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.2.若分段函数是单调函数,不仅要保证在各个区间上单调性一致,还要确保在解析式发生改变处附近的单调性与函数单调性一致.【对点演练3】(1)已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且f(x)的图象关于直线x=3对称,则a=f(0.2),b=f(2),c=f(0)的大小关系是 ()A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.b>a>c(2)[2024·四川宜宾模拟]已知函数f(x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1+x)=f(3-x),则不等式f(2x-3)>f(5)的解集是 ()A.(-∞,1)∪(4,+∞) B.(-∞,4)C.(1,+∞) D.(1,4)(3)已知函数f(x)=x2-(a+4)x+5,x<2A.0,32 C.0,76 函数的值域与最值例8(1)[2025·福建厦门期末]已知函数f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为 ()A.[-3,6] B.[-2,6]C.[2,10] D.[1,10](2)函数y=4x-32A.-∞,B.[2,+∞)C.-∞,12D.(-∞,2)∪(2,+∞)(3)已知函数f(x)=x+9x(x>0),则f(x)的最小值是 (A.2 B.3 C.6 D.10总结反思利用函数的单调性求函数的值域(最值)的基本步骤如下:(1)判断或证明函数在区间上的单调性;(2)利用函数的单调性求得函数在区间上的最值(值域).【对点演练4】