2026高考数学一轮复习第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例 【正文】听课 学生用

《全品高考复习方案》第29讲平面向量的数量积与平面向量应用举例【课标要求】1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.

2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.

5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.

6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.1.平面向量的数量积(1)向量的夹角①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.③向量垂直:如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直,记作a⊥(2)数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=.

规定:零向量与任一向量的数量积为,即0·a=0.

(3)投影向量如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量,且OM1=|a|cosθe(e为与b方向相同的单位向量2.平面向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.①a·e=e·a=.

②a⊥b⇔.

③当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=.特别地,a·a=a2=或|a|=.

④|a·b||a||b|.

3.平面向量数量积的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有①交换律:;

②数乘结合律:(λa)·b==(λ∈R);

③分配律:(a+b)·c=.

4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),<a,b>为a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|=a|a|=

a,b的数量积a·b=|a||b|cos<a,b>a·b=

a与b垂直a⊥b⇔a·b=0a⊥b⇔

a与b的夹角cos<a,b>=acos<a,b>=

常用结论1.设a,b为两个平面向量,则有恒等式a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.S△ABC=12|AB||AC|sinA=123.若两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立).4.若两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立).题组一易错辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若a,b,c为非零向量,则(a·b)·c=a·(b·c). ()(2)若a·b=a·c,则b=c. ()(3)若a·b=0,则a=0或b=0. ()题组二教材改编1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b=()A.-32 B.-62C.62 D.22.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|= ()A.22 B.4 C.6 D.83.已知向量a=(2,1),b=(1,2),若c是a在b上的投影向量,则c= ()A.255,55C.45,85 4.已知a=(-3,-1),b=(1,3),那么a,b的夹角θ=.

平面向量数量积的运算例1(1)在△ABC中,AB=3,BC=4,B=60°,则AB·BC= ()A.12B.6C.-6D.-12(2)[2024·湖南长沙期末]在Rt△ABC中,C为直角顶点,BC=4,则BC·BA的值为 ()A.4 B.8C.16 D.0(3)[2025·海南海口模拟]已知向量a,b满足a=(1,2),|b|=3,|a-2b|=3,则a·b= ()A.-2 B.-1 C.1 D.2总结反思计算平面向量数量积的方法(1)利用定义:a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.【对点演练1】(1)[2024·安徽滁州模拟]如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=1,O为正八边形的中心,则AB·HD= ()A.2-1B.1C.2D.1+2(2)[2024·陕西榆林期末]在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,则AF·AE= ()A.1 B.2 C.3 D.4(3)已知非零不共线向量a,b满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则a·b的取值范围为 ()A.-34,C.(-1,8) D.-平面向量数量积的应用题型1平面向量的模例2(1)若平面向量a与b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为60°,则|5a-3b|= ()A.1 B.31 C.30 D.31(2)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·(a-b)=-1,则|a-2b|= ()A.5 B.5 C.25 D.20题型2平面向量的夹角例3(1)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为 ()A.π6 B.π3 C.2π3(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P(-2,1),Q(4,3),则cos∠POQ= ()A.55 B.53 C.-55题型3平面向量的投影例4(1)[2024·浙江宁波质检]已知|a|=23|b|,且<a,b>=5π6,则a在b上的投影向量为 (A.3b B.-3bC.3b D.-3b(2)已知向量AB=(-1,2),BC=(4,-1),则向量AC在向量AB上的投影向量的模为 ()A.252 B.233 C.55总结反思1.求平面向量的模的方法:(1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=a·②|a±b|=(a±b③若a=(x,y),则|a|=x2(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求平面向量夹角的方法:(1)定义法:利用向量数量积的定义,得cos<a,b>=a·b|a||b|,(2)坐标法:已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>=x13.求投影向量的方法:(1)b在a上的投影向量为|b|cosθ·a|a|(θ为a,b的夹角),a在b上的投影向量为|a|cos(2)b在a上的投影向量为a·ba2·a,a在【对点演练2】(1)[2025·福建漳州模拟]已知a,b为单位向量,若|a+b|-|a-b|=0,则|a-b|= (