2026高考数学一轮复习第22讲　简单的三角恒等变换 【正文】听课 学生用

《全品高考复习方案》第22讲简单的三角恒等变换【课标要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).1.半角公式(1)sinα2=±1(2)cosα2=±1+cos(3)tanα2=±1符号由α2的终边所在象限决定2.常用的三角公式(1)1-cosα=,1+cosα=.(升幂公式)

(2)1±sinα=.(升幂公式)

(3)sinα=2tanα21+tan2α2,cosα=(4)半角正切公式的有理化tanα2=sinα1+cos3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角(半角)公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tanπ4(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.题组一易错辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角公式对任意角都适用. ()(2)sin8α=2sin6αcos2α. ()(3)sinα-cosα=sinα+π4.题组二教材改编1.已知cosx-π6=33,则cosx+cosx-A.-233 BC.-1 D.12.2cos2π12+1的值是 (A.32 B.C.1+32 D.23.已知cosα=13,且α是第四象限角,则cosα2=三角函数式的化简例1(1)已知α为钝角,sinα+sin2β=sin2β+π6+sin2β-π6A.7π12 B.2π3 C.3π4(2)sin50°(1+3tan10A.32 B.2 C.1 D.总结反思三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂与升幂.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.【对点演练1】(1)[2024·石家庄质检]已知4tanπ121+tan2π12cosαsinβ+π3A.3 B.3C.1 D.2(2)(多选题)下列等式成立的是 ()A.cos3x=4cos3x-3cosxB.sin3x=3sinx-4sin3xC.sin18°=5D.cos18°=2三角函数式的求值题型1给值求值例2(1)若cosπ3-α=23,则sin2A.-79 B.-C.19 D.(2)[2024·广东广州期末]在△ABC中,若sinA+π4=-35,则sin题型2给角求值例3(1)[2024·重庆荣昌区期末]计算:32tan10°+2sin10°=(A.12 B.C.2 D.1(2)(多选题)[2024·江西南昌质检]计算下列各式,结果为3的是 ()A.2sin15°+2cos15°B.cos215°-sin15°cos75°C.tan30D.3sin50°(1+3tan10°)题型3给值求角例4(1)[2024·江苏盐城期末]已知tanα=-13,tanβ=2,且α,β∈(0,π),则α+β的值为 (A.π4 B.C.5π4 D.(2)[2024·湖南衡阳一模]已知α,β∈0,π2,sin(α+β)=56,tanα=4tanβ,则A.π3 B.C.π6 D.总结反思1.给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值),求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键是观察已知角与待求角的特征,合理“变角”,使角相同或具有某种关系,即可利用和、差、倍角公式进行求解.2.给角求值该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.3.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:(1)已知正切函数值,则选正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正弦、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围为-π2,π【对点演练2】(1)[2024·湖南衡阳模拟]已知cosπ5-α=13,则sin11πA.79 B.-79 C.42(2)sin40°(tan10°-3)= ()A.23 B.-33 C.-23(3)[2024·江西赣州质检]已知α,β∈0,π2,且sinα=1010,cosβ=255,A.π4 B.π2 C.3π4 D.(4)已知α,β,γ∈0,π2,若sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,则α-β=A.-π3 B.π3 C.-π6 三角恒等变换的综合应用例5(1)设向量m=1+cosx2,sinπ6-x2,n=1-cosx2,A.-79 B.-13 C.13 (2)若当x∈-π6,π3时,不等式2sinxcosx-23cos2x+3≤λ恒成立,则A.22,+∞ C.[1,+∞) D.[2,+∞)总结反思(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.(2)形如y=asinx+bcosx的式子可化为y=a2+b2·sin(x+φ),【对点演练3】[2024·四川南充期末]如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=α