2025年新高考数学一轮复习（基础版）第2章　§2.12　函数与方程的综合应用

§2.12函数与方程的综合应用重点解读函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置．题型一由零点分布求值(范围)命题点1二次函数的零点分布例1(1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是()A．(－5，－4]∪[4，＋∞)B．(－5，－4]C．(－5，＋∞)D．[－4，－2)∪[4，＋∞)答案B解析方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得，方程的判别式Δ≥0；f(2)>0；函数图象的对称轴－eq\f(m－2,2)>2.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－22－45－m≥0，,4＋2m－2＋5－m>0，,－\f(m－2,2)>2，))解得－5<m≤－4.(2)(2023·哈尔滨模拟)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为()A．－4B．－5C．－6D．－7答案A解析因为一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，令f(x)＝x2＋mx＋3，则由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f2<0，,f4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3>0，,7＋2m<0，,19＋4m>0，))解得－eq\f(19,4)<m<－eq\f(7,2)，又m∈Z，可得m＝－4.命题点2其他函数的零点分布例2(2024·潮州模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln2x，x>0，))若函数F(x)＝f(x)－a的两个零点分别在区间(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，ln2)) B．(0,1)C．(ln2,1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))答案A解析先作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln2x，x>0))的图象，令f(x)＝a，在区间(－1,0)内时，ex＝a，x＝lna，得到－1<lna<0，所以eq\f(1,e)<a<1；在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内时，ln2x＝a，x＝eq\f(ea,2)，则eq\f(1,2)<eq\f(ea,2)<1，解得1<ea<2，所以0<a<ln2；综上，得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，ln2)).思维升华对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手(1)开口方向；(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值．跟踪训练1(1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1，＋∞)答案C解析令g(x)＝x2－2ax＋a，由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4a>0，,－1<a<1，,g－1>0，,g1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1，))解得－eq\f(1,3)<a<0.(2)(2023·邵阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log5x|，0<x<5，,－cos\f(π,5)x，5≤x≤15.))若存在实数x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(375,4))) B．(0,100)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(75，\f(375,4))) D．(75,100)答案C解析画出f(x)的图象如图．由题意可知－log5x1＝log5x2⇒x1x2＝1，－coseq\f(π,5)x3＝－coseq\f(π,5)x4，由图象可知x3，x4关于直线x＝10对称，所以x3＋x4＝20，因此x1x2x3x4＝x3x4，当－coseq\f(π,5)x3＝－coseq\f(π,5)x4＝1时，x3＝5，x4＝15，此时x3x4＝75，当－coseq\f(π,5)x3＝－coseq\f(π,5)x4＝0时，x3＝eq\f(15,2)，x4＝eq\f(25,2)，此时x3x4＝eq\f(375,4)，当存在x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a∈(0,1)时，此时x1x2x3x4＝x3x4∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(75，\f(375,4))).题型二复合函数的零点命题点1复合函数的零点个数判定例3已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－2，x≤1，,|lnx－1|，x>1，))则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是()A．4B．5C．6D．7答案B解析令t＝f(x)，g(x)＝0，则f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1，分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1＝0,1<t2<2，对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示，由图象可得，当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根，当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根，综上可得g(x)＝0的实根个数为5，即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5.命题点2根据复合函数零点求参数例4(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x＋1|，x≤0，,|lnx|，x>0，))若函数g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t有七个不同的零点，则实数t的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪{1}答案D解析令g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t＝0，解得f(x)＝eq\f(3,4)或f(x)＝t，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，y＝f(x)与y＝eq\f(3,4)有4个交点，即方程f(x)＝eq\f(3,4)有4个不相等的实根，由题意可得，方程f(x)＝t有3个不相等的实根，即y＝f(x)与y＝t有3个交点，故实数t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪{1}．思维升华对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋1，x≤0，))且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为______．答案(0,1]解析由题意，f(x)的图象如图所示，因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解，设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)．综上，m∈(0,1]．课时精练一、单项选择题1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是()A．(0,3) B．[0,3]C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案A解析令f(x)＝－x2＋ax＋4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2>0，,f－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22＋a·2＋4>0，,－－12＋a·－1＋4>0，))解得0<a<3.2．若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(－∞，－8]C．(－∞，－8]∪[0，＋∞)D．(－∞，－8)∪(0，＋∞)答案B解析令t＝3x>0，则9x＝t2，由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根．由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)，由基本不等式得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4，当且仅当t＝2时，等号成立，所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]．3．(2023·衡阳模拟)若函数f(x)＝(lnx)2－lnxa在(0,8)内有2个零点，则a的取值范围为()A．(－∞，2ln2)B．(－∞，0)∪(0,2ln2)C．(－∞，3ln2)D．(－∞，0)∪(0,3ln2)答案D解析由f(x)＝(lnx)2－alnx＝lnx(lnx－a)＝0，得x＝1或x＝ea.依题意可得0<ea<8，且ea≠1，所以a<3ln2，且a≠0.4．(2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x≤2，,x2－10x＋24，x>2，))若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是()A．(－2,0)∪(0,16) B．(0,16)C．(0,2) D．(－2,0)∪(0，＋∞)答案C解析f(x)的图象如图所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝eq\f(m,2)，即y＝f(x)与y＝eq\f(m,2)有4个交点，所以0<eq\f(m,2)<1，解得0<m<2.5．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,log2x＋1，x>0，))则函数y＝f(f(x))－2的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析令t＝f(x)，则函数y＝f(t)－2＝0，下面解方程f(t)＝2，当t≤0时，由t2＋t＝2，得t＝－2或t＝1(舍去)，当t>0时，由log2(t＋1)＝2，得t＝3.所以f(t)＝2的两根为t1＝－2，t2＝3.由f(f(x))＝2得f(x)＝－2或f(x)＝3，若f(x)＝－2，则当x≤0时，x2＋x＝－2，无解，当x>0时，log2(x＋1)＝－2，无解；若f(x)＝3，则当x≤0时，x2＋x＝3，解得x1＝eq\f(－1－\r(13),2)(舍正)，当x>0时，令log2(x＋1)＝3，解得x2＝7，所以y＝f(f(x))－2的零点个数为2.6．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B．(－∞，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))答案A解析令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋eq\f(1,t)，由对勾函数的性质知y＝t＋eq\f(1,t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0，因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0，f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤eq\f(1,4)且m≠0.综上，m≤eq\f(1,4).二、多项选择题7．关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有()A．存在实数k，使得方程无实根B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根答案AB解析设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根．当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1.当k<1时，方程(*)有两个不同的实根t1，t2(t1<t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1<－1，t2>－1.因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根．综上可知，A，B项正确，C，D项错误．8．(2024·湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是()A．x2＋2x B．x＋1C．ecosx D．ln(|x|＋1)答案ACD解析由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解．对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确；对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误；对于C，当ecosx＝x时，令h(x)＝ecosx－x，因为h(0)＝e>0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－eq\f(π,2)<0，由函数零点存在定理可知，h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上存在零点，所以方程有实数解，故C正确；对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，所以方程有实数解，故D正确．三、填空题