高考数学（理科）人教版1轮复习练习第五章平面向量第1讲分层演练直击高考

一、选择题1．如图，向量a－b等于()A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2解析：选C.由题图可知a－b＝e1－3e2.故选C.2．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|解析：选A.依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－k＝0，,λ＋1＝0.))所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.4.如图所示，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a B．c＝2b－aC．c＝2a－b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：选A.由eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))得eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，即2eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，即c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.故选A.5.如图所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．eq\f(9,11)B.eqB.eq\f(5,11)C．eq\f(3,11) D.eq\f(2,11)解析：选B.注意到N，P，B三点共线，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，从而m＋eq\f(6,11)＝1⇒m＝eq\f(5,11).故选B.6.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(15,8) D．2解析：选B.因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＋μ(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))λ＋μ＝eq\f(5,3).故选B.二、填空题7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题的个数为________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.故④正确．所以正确命题为②③④.答案：38．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．解析：因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，则△ABC与△AOC的面积之比为________．解析：取AC的中点D，连接OD，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC与△AOC面积之比为2.答案：210．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因为点E在线段CD上，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))三、解答题11.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，求实数m的值．解：由N是OD的中点得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因为A，N，E三点共线，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))，即meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)λ，,1＝\f(3,4)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,λ＝\f(4,3)，))故实数m＝eq\f(1,3).12．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线．又因为eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋ne