河北省衡水市2026届高三第二次调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省衡水市2026届高三第二次调研考试数学试题一、单选题1．已知集合M=x∈Z-2<x<4,N=xA．x2≤x<4 B．C．1, 2, 【答案】B【解析】由题意，M=-1,0,1,2,3,N=x故选：B.2．已知公差为2的等差数列an的前n项和为Sn，且S4=6aA．42 B．52 C．56 D．60【答案】C【解析】因为公差为2的等差数列an的前n项和为Sn，且设等差数列an的首项为a1，公差为d所以4a1+4×4-1所以S8故选：C.3．已知向量a=1, A．b-a⋅C．2b-a=26 D．【答案】C【解析】对于A，因为a=1, 2, b对于B，因为a=1, 2,所以a+b⋅对于C，因为a=1, 2, b对于D，因为a=1, 2,b在a方向上的投影向量为a⃗⋅b⃗故选：C.4．曲线y=esinxcosxA．y=ex-π2 B．y=-ex-【答案】B【解析】设y=fx则f'当x=π2时，fπ所以曲线y=esinxcosx故选：B.5．已知函数fx=sin2x+π12, gA．Hx=B．Hx=1+C．Hx=D．Hx=【答案】D【解析】由题意可知“y=fx变换到y=gx”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的对于A，B，C选项从Hx变换到hx都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的即A:Hx2=对于D项，从Hx变换到hx是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动π16个单位，该变换与题干中的变换不一致，故选：D.6．已知函数fx=a2ax-1+a（A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】由题意知函数fx=a2ax-1因为fx是奇函数，则f-x=-f得a2⋅a故-a2+2a=0，解得a=2故fx=4故选：C.7．已知α为锐角，且sin2α-π4=-1A．23 B．13 C．-1【答案】A【解析】令β=α+π8，则α=β-π故sin2α-π4因为α为锐角，则β=α+π8∈故选：A8．已知x, y∈R, A．12 B．1 C．32 D【答案】A【解析】由x+22x-1=1又由4y+log2y=0而函数y=2x与y=log下面作出函数y=2x，y=log2x由图可得：方程2x=2-x的根为xA，即x方程log2x=2-x的根为xB，即x由图可知交点C的横坐标为1，根据对称性可得：xA根据同构方程思想可得：满足22x=2-2x和log2所以12故选：A.二、多选题9．在边长为3的等边三角形ABC中，CD→=2DBA．AD→=1C．DE→=3【答案】BCD【解析】对于A：AD→=AB对于B：CE→所以AD=29AB对于C：因为DE→所以DE→所以DE→=3对于D：DE→·CE→故选：BCD.10．已知函数fx=xA．函数fxB．函数fxC．函数fx在a, D．函数fx【答案】BC【解析】已知函数fx=x求导得：f'令f'x=0，解得x=-12或x=1当0<x<1时，2x+1>0，x-1<0，所以f'x<0当x>1时，2x+1>0，x-1>0，所以f'x>0，所以函数fx有两个单调区间，选项A由上可知，fx在0,1上单调递减，在1,+所以fx在x=1处取得最小值，f1=因为fx在0,1上单调递减，在1,+若函数fx在a,+∞上单调，则若a≥1，则函数fx在a,+故函数fx在a,+∞上单调的充要条件是a≥1，选项因为fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以fx只有一个零点，故D错误故选：BC.11．已知函数fx=sinA．若gx=sinx，则函数B．若gx=sinx，则函数C．若gx=sinx或gxD．若gx=cosx【答案】ACD【解析】对于A：当gx=sinfπfπ因此，fπ2+h=fπ2对于B：gx=sinx∃α∈0,π2而fπ故fx在α,π2上不单调递增，故对于C：若gx=sinfx+2故2π是f(x)若gx=cosfx+2因此2π是f(x)的一个周期，故C正确对于D：gx=cos∃α∈0,π2,cosα=故选：ACD.三、填空题12．在公比不等于1的等比数列an中，其前n项和为Sn，若4a3【答案】-【解析】因为等比数列的公比q≠1，由4a3-即4q化简可得3q2-2q-1=0，即3q+1q-1=0故答案为：-113．在△ABC中，若AC=32BC，sinA=2【答案】15【解析】由正弦定理得ACsinB=BCsinA再由sinA=2cosB，得①②代入sin2B+cos2B=1所以cos2A=35又因为AC=32BC>BC，由大边对大角得B>A所以cosA=故答案为：15514．已知ab>0，满足2a-b+8b-1a【答案】-1,【解析】由题意知ab>0，满足2a-b+8b-故2a-b-因为ab>0，故ab>0,b当且仅当16ab=ba，结合2a-b+8故16ab+ba-10≥-2当a=12,b=2时，2a-b=-1；当a=-1,b=-4故2a-b的取值范围是-1, 故答案为：-1, 四、解答题15．已知向量m=（1）若α为钝角，且fx的最大值为14，求（2）若α为锐角，且x=π3是函数fx的一条对称轴，求函数fx解：（1）由题意，已知向量m=sin2则fx=m因为-1≤cos所以fx=1因为fx的最大值为14，所以又α为钝角，所以α=2此时fx根据余弦函数单调性，可得2kπ解得kπ所以fx的单调递增区间为k（2）由（1）知fx因为x=π3是函数fx的一条对称轴，所以存在k∈解得α=kπ-2π又α为锐角，所以当k=1时，α=π3此时fx又0≤x≤π2，所以π3则0≤1所以函数fx在0, π16．已知数列an的前n项和为S（1）证明：an（2）设bn=13Sn（1）证明：已知数列an的前n项和为S当n=2时，2a当n=1时，2a1=a当n≥2时，2S∴2a即n+1a∴an当n=1时也符合上式，∴数列an+1（2）解：由（1）知an+1n=3∴Sn=n∴b117．已知函数fx（1）讨论函数hx（2）若∀x∈R,a2解：（1）函数hx=f(x)-g(x)=ex-ax-1当a≤0时，h'x>0，函数h当a>0时，由h'x>0，解得x>lna由h'x<0，解得x<lna，函数综上，当a≤0时，hx在R当a>0时，hx在-∞,ln（2）显然a≠0，设mx则m'当a>0时，由m'x>0得x>-lna,由m'x<0得x<-lna,则∴mx在x=-lna设na=1+lna-1a,∵n1=0，∴当0<a<1时，na当a≥1时，na≥0，即m∴欲使m-lna当-1<a<0时，m0=当a=-1时，m-1=1当a<-1时，mln1a综上所述，实数a的取值范围是1,+∞18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2, （1）求证：cosA=2（2）若b2-c（3）若asinA+bsinB=c（1）证明：由12c=1又sinC=sinA+B=∵sinB≠0，∴（2）解：由余弦定理知b2-c2=a代入（1）中结论得：c⋅cos（3）解：acosB+bcosA=2Rsin∴asin∵cosA=2cosB，且A, B∈0, π①∵A+B>π2，则A>π2-B∴asinA-cosB②若A+B<π2，则A<π2同理sinB<cosA，∴A+B<π③若A+B=π2，则sinA=∴A+B=π2,由正弦定理知b=2a=4, 19．已知数列an的前n项和为Sn，若数列an满足Sn⋅S（1）证明：数列n是“方特数列”；（2）若数列a1qn-1a1≠0是（3）证明：当q>0时，数列nqn-1是“（1）证明：当an=n时，Sn∴数列an满足Sn⋅Sn+2<（2）解：当q=1