2025年人教版初中八年级数学上册同步练习讲义：专题01 全等三角形的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲全等三角形的判定与性质(1)求证：△ABE≌△ACD;【分析】(1)利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD;(2)先利用全等三角形的性质得到AD=AE=6,再利用勾股定理计算出AC,从而得到AB的长，然后计算AB-AD即可.【解答】(1)证明：∵CD⊥AB,BE⊥AC,(2)解：∵△ABE≌△ACD,2.(2022秋·黔江区期末)如图，已知∠C=∠F=90°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O.(1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF;(2)若∠A=51°,求∠BOF的度数.【分析】(1)根据HL证明两个三角形全等；(2)根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论.【解答】(1)证明：∵AE=DB,(2)解：∵∠C=90°,∠A=51°,3.(2022秋·鼓楼区期末)如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD,垂足为C,BC=CD,点E在BC(1)求证：△ABC≌△EDC;(2)写出AB与DE的位置关系，并说明理由.AA【分析】(1)在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA证明三角形全等；(2)根据(1)得出∠AFD=90°即可.【解答】(1)证明：∵BC⊥AD,如图延长DE交AB于点F,4.(2023·黄石模拟)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且AD(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长.【分析】(1)由ASA证明△ABD≌△COD即可；(2)理由全等三角形的性质即可解决问题；【解答】(1)证明：∵AD⊥BC,CE⊥AB,(2)解：∵△ABD≌△CFD,5.(2023春·嘉定区期末)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC,(1)求证：△ABD≌△ECB;(2)如果∠BDC=75°,求∠ADB的度数.CC【分析】(1)由“ASA”可证△ABD≌△ECB;(2)由全等三角形的性质可得BD=BC,由等腰三角形的性质可求解.【解答】(1)证明∵AD//BC,(2)解：∵△ABD≌△ECB,6.(2023·营口)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且AE=BF,∠(1)求证：△ACE≌△BDF;【分析】(1)根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；(2)根据全等三角形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：在△ACE和△BDF中，故CD的长为4.7.(2023·朔城区一模)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,在BD上取两点E,F(1)若AE//CF,试说明△ABE≌△C(2)在(1)的条件下，连接AF,CE,试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由.【分析】(1)由“ASA”可证△ABE≌△CDF;(2)由全等三角形的性质可得AB=CD,由“SAS”可证△ABE≌△CDF,可得结论.【解答】(1)证明：∵AB//CD,在△ABE和△CDF中，(2)如图，8.(2023春·岑溪市期末)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BE=DF;AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别(1)求证：△ABE≌△CDF;【分析】(1)由“ASA”可证△ABE≌△CDF;【解答】证明：(1)∵AB//CD,∴四边形AECF是平行四边形，9.(2023春·梅州期末)如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠B=42°,点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合),连接AD,作∠ADE=42°,DE交线段AC于点E.(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗?若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由.CC【分析】(1)根据三角形内角和定理得到∠BAD=25°,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=42°,根据三角形内角和定理计算，得到答案；AB=DC=3,证明△ABD≌△DCE;(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算.【解答】解：(1)∵AB=AC,故答案为：20;62;理由：∵AB=3,DC=3,在△ABD和△DCE中，(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，此时，点D与点B重合，不合题意；综上所述，当∠BDA的度数为112°或84°时，△ADE的形状是等腰三角形.10.(2023春·甘州区校级期末)已知△ABC,点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E.(3)在(2)的条件下，若∠BAC=60°,试说明：EF=ED.【分析】(1)根据余角的性质得到∠DEC=∠BAC,由于∠DEC+∠BEC=180°,即可得到结论；(2)根据角平分线的性质得到,于是得到结论；(3)作∠BEC的平分线EM交BC于M,由∠BAC=60°,得到∠BEC=90°°,求得∠FEB=∠DEC=60°,根据角平分线的性质得到∠BEM=60°,推出△FBE≌△EBM,根据全等三角【解答】解：(1)∵BD⊥AC,CF⊥AB,故答案为：180.(3)作∠BEC的平分线EM交BC于M,∴EF=EM,同理DE=E11.(2023春·佛山月考)已知，如图1,在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点(不与点A,D重合).分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F,连AF.(1)求证：AF=BE;(2)如图2,延长BE交AC于点G,若BG⊥AC,理由.CC【分析】(1)过点D作DM//ABCC交FC于点M,连接AM,证明△ABD≌△MDC(ASA),推出AB=MD,再证明四边形EDMF和四边形ABEF是平行四边形，可得结论；(2)过点D作DN//BG交AC于点N,根据平行线分线段的性质得CN=GN,根据三角形中位线定理得,再根据直角三角形边角的关系得∠DAN=30°,可得结论.【解答】(1)证明：如图1中，CC∴四边形EDMF是平行四边形，【分析】(1)根据AB//CD可证明∠B=∠C,根据BF=CE可证明BE=CF,再依据AAS证明△ABE≌△DCF即可得到结论；(2)①证明CD=CF即可得出结论；②由平行线的性质得出∠C=30°,再根据△CDF是等腰三角形求底角的度数即可解答.【解答】解：(1)∵AB//CD,(2)①△CDF是等腰三角形；理由：∵△ABE≌△DCF,∵△CDF是等腰三角形，13.(2023春·漳州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，连接AE,BD交于(1)说明：∠EAC=∠ABD;(3)判断EF,BF,AF之间的数量关系，并加以说明.(2)过点F作FG⊥BC于点G,求出∠ABE+∠AEB=90°,得出∠BAE=180°-90°=90°,证明FA(3)在BD上截取BH=AE,连接AH,证明△ABH≌△CAE(SAS),得出∠AHB=∠AEC,∠C=∠BAH,(2)解：过点F作FG⊥BC于点G,如图所示：(3)解：2AF=BF-EF;理由如下：在BD上截取BH=AE,连接AH,如图所示：在△ABH和△CAE中，根据解析(2)可知，∠BAE=90°,∴AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,14.(2023春·宣汉县校级期末)已知：∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分别为D,E,(1)如图1,把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由.②请写出线段AD,BE,DE之间的数量关系并证明.(2)如图2,上述结论②还成立吗?如果不成立，请写出线段AD,BE,DE之间的数量关系.并说明理【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；(2)结论：DE-BE=AD,只要证明△ACD≌△CB【解答】解：(1)∵AD⊥CM,BE⊥CM,(2)不成立，结论：DE-BE=AD.在△ACD和△CBE中，15.(2022秋·邹城市校级期末)(1)如图①,在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点，且请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：(2)如图②,在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点，且∠,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程；(3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且∠请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：__·图①图②备用图备用图【分析】(1)如图1,延长EB到G,使BG=DF,连接AG,即可证明△ABG≌△ADF,可得AF=AG,再证明△AEF≌△AEG,可得EF=EG,即可解题；(2)如图2,同理可得：EF=BE+DF;(3)如图3,作辅助线，构建△ABG,同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF.可得新的结论：EF=BE-DF.【解答】解：(1)如图1,延长EB到G,使BG=DF,连接AG.∵在△ABG与△ADF中，故答案为：(1)EF=BE+FD;(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.16.(2023春·荣成市期末)已知在△ABC中，AC=BC,分别过A,B两点作互相平行的直线AM,BN,过点C的直线分别交直线AM,BN于点D,E.(2)如图2,∠ABC=∠DEB=60°,判断线段AD,DC与BE之间的关系，并说明理由.【分析】(1)延长AC交BN于点F,证明△ADC≌△FEC(ASA),即可得出结论；(2)在EB上截取EH=EC,连接C(AAS),得出AD=CH,DC=BH,即可得出结论.【解答】(1)证明：如图1,延长AC交BN于点F,图1图1在△ADC和△FEC中，∴△ABC为等边三角形，∴△CHE是等边三角形，即AD+DC=BE.(1)若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP;(2)若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P?【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,再加上BP=CQ=3,PC=BD=5,则可判断△BPD(2)设经过x秒后，点Q第一次追上点P,由题意得5x-3x=2×10,解方程得到点P运动的路程为3×10=30,得到此时点P在BC边上，于是得到结果.【解答】解：(1)∵BP=3×1=3,CQ=3×1=3,(2)设经过x秒后，点Q第一次追上点P,由题意得5x-3x=2×10,∴点P运动的路程为3×10=30,∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P.18.(2022秋·葫芦岛期末)在等腰△ABC中，AB=AC,D为AB上一点，E为CD的中点.CC图1图2(SAS),再证明：△ABF≌△GBC(AAS)即可.(2)证明：如图2,延长BE至G,使EG=BE,连接CG,图2即：∠ABF+∠CBF=∠ACB,在△ABF和△GBC中，19.(2022秋·莱州市期末)在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE=AD,(1)如图1,若α=60°,连接CE,DE.则∠ADE的度数为;BD与CE的数量关系是.(2)如图2,若α=90°,连接EC、BE.试判断△BCE的形状，并说明理由.图1【分析】(1)根据已知条件证明△ADE是等边三角形，然后证明△ABD≌△ACE(SAS),即可解决问题；(1)当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF=EF.(2)过点D作DH⊥BC交直线BC于点H.若BC=4,CF=1,求BH的长是多少?备用图【分析】(1)过点D作DG//AC,交BC于点G,利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB=∠B,得到BD=GD,进而推出GD=CE,再证明△DGF≌△ECF,即可证明DF=EF;(2)分当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC,交BC延长线于0,当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O,先证明△DHB≌△EOC,得到BH=CO,进而求出HO=4,【解答】(1)证明：过点D作DG//AC,交BC于点G.EE∵DG//AC,在△DGF和△ECF中(2)解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC,交BC延长线于0,综上所述，BH的长为1或3.21.(2023春·东源县期末)如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以Lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t(s).(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示).(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时，求t的值.-8)=(16-2t)cm,进而可以解决问题；(3)先证△ACP≌△ECQ(ASA),得AP=EQ,再分两种情况列方程求解即可.【解答】(1)证明：在△ABC和△EDC中，(2)解：当0≤t≤4时，AP=2tcm,∴线段AP的长为2tcm或(16-2t)cm;(3)解：根据题意得DQ=tcm,由(1)得：∠A=∠E,ED=AB=8cm,当O≤t≤4时，2t=8-t,解得：当4<t≤8时，16-2t=8-t,22.(2023春·梅江区期末)如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=12,点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE,设D、E两点运动时间为t秒(0<t<4)(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；(3)若△ABD≌△DCE,∠BAC=α,则∠ADE=(用含α的式子表示).【分析】(1)依据BD=CE=2t,可得CD=12-2t,AE=8-2t,再根据当,时，(12-2t),可得t的值；(2)当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8,得到∠ADE=∠B,再根据∠BAC=α,AB=AC,即可得出∠ADE.【解答】解：(1)由题可得，BD=CE=2t,解得t=3,故答案为：3;解得t=2,∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；(3)当△ABD≌△DCE时，∠CDE=∠BAD,α23.(2022秋·通川区期末)已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB,0°<∠ACB≤90°.点M在边AC上，点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM,射线AG//BC,延长BM交射线AG于点D,点E在直线AN上，且AE=DE.(1)如图，当∠ACB=90°时；(2)当∠ACB=α,其它条件不变时，∠BDE的度数是.(用含α的代数式表示)备用图备用图【分析】(1)①首先证明CM=CN,再利用SAS证明△BCM≌△ACN;②由平行线的性质和等腰三角形的性质可知∠BDE=∠CAN+∠EAD,从而解决问题；(2)由②同理可解决问题.【解答】(1)①证明：∵CA=CB,BN=AM,∵AG//BC,(2)解：当点E在直线AG上方时，由②同理可得∠BDE=∠CAN+∠EAD,当点E在直线AG下方时，故答案为：180°-α或α.24.(2023春·菏泽月考)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,E为CD的中点，交BC的延长线于点F.(1)△DAE和△CFE全等吗?说明理由；(3)在(2)的条件下，若EF=6,CE=5,∠D=90°,求E到AB的距离.FF【分析】(1)根据AD//BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE;(3)在(2)的条件下有△ABE≌△FBE,得到∠ABE=∠FBE,根据角平分线的性质即可得到结果.∵AD//BC(已知),∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等),∵E是CD的中点(已知),∴DE=EC(中点的定义).(2)由(1)知△ADE≌△FCE,∴△ABE≌△FBE(SSS),(3)在(2)的条件下有△ABE≌△FBE,∴点E到AB的距离为5.25.(2023·宁阳县一模)已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CH⊥AB于点H,点D为CH上的一点，且DH=AH,连结BD并延长BD交AC于点E,连结EH.(2)判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；(2)利用SAS证明△AHC≌△DHB,得BD=AC,∠1=∠2,从而说明BD与AC垂直且相等；(3)过点H作HF⊥HE交BE于点F,利用ASA证明△CHE≌△BHF,得EH=FH,即可证明结论.【解答】(1)证明：∵CH⊥AB,∠ABC=45°,(3)证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F,即∠4+∠5=90°.又∵∠3+∠4=∠BHC=90°,∴△CHE≌△BHF(ASA),26.(2023春·榆林期末)如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM,AF⊥OM于F,BE⊥OM于E.小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OAF=α,小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE=β.已知C,M,D三点共线，α【分析】根据余角的定义可得∠OAF+∠OBE=90°,再根据垂直定义可得∠AFO=∠OEB=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OAF+∠AOF=90°,进而可得∠AOF=∠OBE,然后利用AAS证明△AFO≌△OEB,从而利用全等三角形的性质可得OE=AF=8m,最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.【解答】解：∵a与β互余，∴办公楼的高度OM为11m.27.(2023春·分宜县期末)如图，已知B(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限(1)求证：DA平分∠CDE;(2)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,