有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算解析版

10.1.1-10.1.2有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算

【考点梳理】

考点一随机试验

我们把对随机现象的实现利对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母£表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

考点二样本空间

我们把随机试验£的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验£的样本空间,•般地，用。表

示样本空间，用3表示样本点，如果一个随机试验有〃个可能结果3“3…，3”，则称样本空间0={3,3”­•«,

以}为有限样本空间.

考点三随机事件、必然事件与不可能事件

1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,为了叙述方便，

我们将样本空间。的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当

且仅当小中某个样本点出现时，称为事件中发生.

2.。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总会发生，

我们称0为必然事件.

3.空集g不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为。为不可能事件

考点四事件的关系

定义符号图示

一般地，若事件力发生，则

包含事件〃一定发生，称事件4胆力(或/忆

关系包含事件力(或事件力包含于

事件0

如果事件〃包含事件4事

相等件力也包含事件8,即应力

A=B

关系n./I2B,则称事件A与事件Q

4相等

考点五交事件与并事件

定义符号图示

一般地，事件A与事件3至少有一个

并事件发生，这样的一个事件中的样本点或

（或和事者在事件月中，或者在事件8中，我（或力+

n

件）们称这个事件为事件力与事件夕的并助

事件（或和事件）

一般地，事件力与事件8同时发生，

交事件这样的一个事件中的样本点既在事

AOB

（或积事件力中，也在事件6中，我们称这样

（或第0

件）的一个事件为事件/与事件4的交事

件（或积事件）

考点六互斥事件和对立事件

定义符号图示

一般地，如果事件A与事件8不能同

时发生，也就是说力A8是一个小可

互斥事件jn/?=0©®

能事件，即4G8=。，则称事件［与

事件8互斥（或互不相容）

一般地，如果事件A和事件3在任何

一次试验中有且仅有一个发生，即/

AUB=Q

对立事件U8=且/in6=。，那么称事件/

AC\0\

与事件〃互为对立，事件A的对立事

件记为7

【题型归纳】

题型一：随机事件的概念

1.（2021春•陕西渭南•高一统考期末）一-质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向

移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于笫一象限''是（〉

A.必然事件B.不可能事件

C.随机事件D.以上选项均不正确

【答案】C

【分析】根据随机事件的概念直接判断即可.

【详解】一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移

动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件.

故选：C.

2.（2022春•陕西渭南•高一统考期末）下列事件中，是随机事件的是（）

①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；

②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14：

③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；

@13个人中至少有2个人的生日在同一个月.

A.①③B.③④C.①④D.②③

【答案】A

【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断即可.

【详解】解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；

对于②，骰子最大的点数为6,2颗散子的点数之和不可能为14,故②是不可能事件；

对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件.

故选：A.

3.（2022春•陕西宝鸡•高一统考期末）有下列事件：①篮球运动员罚球命中；②在自然数集中任取一个数为质数；

③在标准大气压下，水在100C时沸腾；④任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数.上述事件中为随机事件

的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据随机事件以及必然事件的概念，进行判断，可得答案.

【详解】①篮球运动员罚球命中,是随机事件；

②在自然数集中任取一个数可能为质数，也可能不是质数，故属于随机事件；

③在标准大气压下，水在100c时一定沸腾，是必然现象，故为必然事件：

④设人%），&@）为偶函数，它们的公共定义域为集合M当xeM时，TCM,

则/（一1）+g（-x）=/（x）+g*）,即任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数，

为必然事件，

故随机事件有2个，

故选：C

题型二：确定事件的包含关系

4.（2022春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不大于

3},8={出现的点数为偶数},则事件A与事件B的关系是（）

A.AQBB.{出现的点数为2}

C.事件A与B互斥D.事件A与B是对立事件

【答案】B

【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可.

【详解】A={出现的点数不大于3}={出现的点数为1,2,3}

B={出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6}

则4n8={出现的点数为2},故B正确;A错误；

因为事件人与事件8可以同时发生，放事件人与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C,D错误，

故选：B

5.（2021春,黑龙江齐齐哈尔•高一•统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=”向上的点数为i”，

其中i=l,2,3,4,5,6,8=”向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（）

A.AcBB.A,+B=QC.A,与"互斥D.与方对立

【答案】C

【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可

【详解】对于A,4={234,5,6},^={2,4,6},AA,cB,故A错误；

对于B.4+4={2}U{2,4,6}={2,4,6}W。，故B错误；

对于C.4与8不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于D,4={4},B={1,3,5）,人与耳是互斥但不对立事件，故D错误；

故选:C

6.（2020春・甘肃白银•高一校考期末）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事

件B,则（）

A.AcB

B.A=B

C.A+8表示向上的点数是1或2或3

D.八月表示向上的点数是1或2或3

【答案】C

【分析】根据题意，可得A={1，2},「{2,3},求得AB={\},AI4{1,2,3},即可求解.

【详解】由题意,可知A={1,2}，B={2,3）,

则A4{1,2,3},・・・AuB表示向上的点数为1或2或3.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了随机事件的概念及其应用，其中解答中正确理解抛掷•枚骰子得到基本事件的个数是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

题型三：事件的运算

7.（2022春・北京通州•高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数不大于3"，G="点

数大于3”，G=”点数大于5"；。=“点数为奇数"；目=”点数为八其中i=l,2,3,4,5,6.下列结论正确的是（）

A.C.cDB.。=耳1）耳U®C.g与G互斥D.&与当互为对立

【答案】B

【分析】利用事件的关系与运算判断A,B；利用互斥事件与对立事件的意义判断C,D作答.

【详解】因事件Ci含有“点数为2”的基本事件，而事件。不含这个基本事件，A不正确：

事件。含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”，“点数为5"，即。=骂E.E5,B正确；

事件G与G都含有“点数为6”的基本事件，G与G不互斥，C不正确；

事件凡与&不能同时发生，但可以同时不发生，凡与乙不对立，D不正确.

故选：B

8.（2022春•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐市第四中学校考期末）甲、乙两个元件构成一并联电路，设后”甲元件故

障"，产="乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（）

A.EJFB.EFC.EFD.£<jp

【答案】B

【分析】根据并联电路可得答案.

【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，

所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，

所以表示电路故障的事件为EF.

故选：B

9.(2022春・福建,高一福建师大附中校考期末)设A、8是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是()

A.事件AG8,则P(A)<P(8)

B.若A和8互斥，则A和B一定相互独立

C.若A和8相互独立，则4和B一定不互斥

D.P(4)+P(B)<1

【答案】C

【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断.

【详解】若事件B包含事件A,贝l」P(A)WP(8),故A错误；

若事件从、8互斥，则尸(AB)=0,

若事件A、3相互独立，则P(A3)=P(A)P(B)>0,故B错误，C正确；

若事件4,8相互独立，且尸(4)>pP(B)>；,则P(A)+P(8)>1,故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查概率的性质，属于基础题.

题型四：概率的基本性质

10.(2022・高一单元测试)若随机事件A,8互斥，A,8发生的概率均不等于0,且P(A)=2-%P(B)=4a-5,

则实数〃的取值范围是

“、(53、(54、(54'

A-(U)B-[^2)C.匕句D.匕,

【答案】D

0<P(A)<l

【分析】由随机事件A、4互斥，A、8发生的概率均不等于0,知Jo<P(8)<l,由此能求出实数〃的取值范

P(A)+P(B),,1

围.

【详解】•,,随机事件A、A互斥，A、“发生的概率均不等于0,

且尸(4)=2-“，尸(B)=4a-5,

0<P(A)<l0<2-a<\

/.0<P(B)<\即<0<4a-5<l,

P(A)+P(B)„\3a-3„1

解得Vs4即a七(5,,4

故选：D.

【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

11.（2021・高一单元测试）已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买.经工商局抽样调查发

49

现，网上家用小电器合格率约为彳，而实体店里家用小电器的合格率约为巳，工商局12315电话段到关于家用小

电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为75%.那么估计在网上购买家用小电器的人约占

（）

A.-B.-C.-D.-

5577

【答案】A

【分析】设在网上购买的人数占比为巴实体店购买的人数占比为1-x，分别求出各自被投诉的人数的占比，即可

求解.

【详解】设在网上购买的人数占比为孙实体店购买的人数占比为1-1，

4

由题意可得，网上购买的合格率为彳，

则网上购买被投诉的人数占比为右，实体店里购买的被投诉的人数占比为卡（l-x）,

X

所以尸-=］，解得

-+—（1-x）45

510

故选：A.

【点睛】本题主要考查了概率的应用，其中解答中认真审题，求出各自被投诉的人数的占比是解答的关键，着重考

查分析问题和解答问题的能力.

12.（2021・高一课时练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A="甲击中靶”，事件8=“乙击中靶”，事件

七=”靶未被击中“，事件尸="靶被击中“，事件G=”恰一人击中靶”，对下列关系式（彳表示A的对立事件，》表示

6的对立事件）：①£=反豆，②尸=9，③尸=A+8,®G=A+Bt⑤G=NB+A》，@P（F）=1-P（E）,

⑦P（尸）=P（A）+P（8）.其中正确的关系式的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，

依次判定即可.

【详解】由题可得：①石=正确；②事件/="靶被击中"，川表示甲乙同时击中，F=AB-^AB+AB^所以

②错误；

③尸=A+8,正确，④A+3表示靶被击中，所以④错误；⑤G=^8+A月，正确；⑥E,广互为对立事件，

P（F）=1-P（E）,正确;⑦P（尸）=P（A）+P（3）-P（AB）,所以⑦不正确.

正确的是①③⑤⑥.

故选：B

【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准

确辨析.

【双基达标】

一、单选题

13.（2023・高一单元测试）下列说法不正确的是（）

A.必然事件是一定条件下必定发生的事件

B.不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件

C.随机事件是在•定条件下可能发生也可能不发生的事件

D.事件A发生的概率P（A）一定满足OVF（A）V1

【答案】D

【分析】根据事件的分类和定义即可得出选项.

【详解】解:由题知,根据事件的分类和定义可知，选项A,B,C正确；

关于选项D,若事件A为必然事件，则P（A）=1,

故选项D错误.

故选:D

14.（2023春•高一单元测试）12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（）

A.3个都是正品B.至少有一个是次品

C.3个都是次品D.至少有一个是正品

【答案】D

【分析】根据随机事件、不可能事件与必然事件的概念，对诜项逐一分析判断是•否为必然事件即可.

【详解】因为所求事件的概率是1,所以该事件为必然事件，

对于A,因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A错误；

对于B,因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B错误;

对于C,因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C错误；

对于D,因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”

是必然事件，故D正确.

故选：D.

15.（2023・高一课时练习）下列说法正确的是（）

A.随机现象至少有两种可能结果B.随机现象必然会发生

C.样本空间所包含的样本点是有限的D.射击一个目标除了命中和末命中外还有其他结果

【答案】A

【分析】根据随机现象的第一即可判断AB,根据样本空间中样本点的特点即可判断C,射击一个目标只有命中和

末命中两种情况即可判断D.

【详解】解：对于A,随机现象有两种或两种以上可能的结果，故A正确：

对于B.随机现象是指可能产生的结果，不是必然发生，故B错误；

对于C.样本空间所包含的样本点可能是无限的，比如在某一区间内取一个实数，则有无数种可能，故C错误；

对于D,射击一个目标只有命中和末命中两种情况，故D错误.

故选：A.

16.（2023秋・江西吉安・高一江西省遂川中学校考期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲

比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）

A.恰有1名女生与恰有2名女生B.至多有1名女生与全是男生

C.至多有1名男生与全是男生D.至少有I名女生与至多有I名男生

【答案】A

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项.

【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：

两男、两女、一男一女.

恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确；

至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误；

至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误；

至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误.

故选：A.

17.（2021秋•高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件4表示随机事件“两枚

炮弹都击中飞机”，事件4表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件。表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”,

事件。表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（）

A.AQDB.£>=0

C.A\JC=DD.ADB=BDD

【答案】D

【分析】根据试验过程，分析出事件A、B、C.。的含义，对四个选项一一判断.

【详解】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，

另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以A=。，BD=0t

“恰有一枚炮弹击中飞机''指第i枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，

所以Auc=r>,

又80包含该试验的所有样本点，为必然事件，

而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机“，所以月口3工8=。.

故选：D

【高分突破】

一、单选题

18.（2021秋・高一单元测试）袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个

【答案】D

【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解

【详解】对于A,“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2,

而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；

对于B.当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；

对于C.“恰有一个白球”，表示黑球个数为。或1,即可能是一个白球和一个黑球，

这与“一个白球一个黑球”不互斥；

对于D,“至少一个白球”发生时，“红、黑球各一个“不会发生，故二者互斥，

从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，

故选：D

19.（2021秋•高一课时练习）下列各组事件中，是对立事件的是（）

A.一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8

B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分

C.掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数

D.某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次

【答案】C

【分析】选项AB中的两个事件不互斥，所以选项AB错误；选项C中的两个事件符合对立事件的定义，所以选项

C正确：选项D中的两个事件互斥不对立，所以选项D错误.

【详解】在一次射击中命中环数为7同时包含于环数大于6与环数小于8,所以两事件不互斥，故A错误；

一个班的数学成绩平均分为90分同时包含于平均分不低于90分与平均分不高于90分，所以两事件不互斥，故B

错误；

掷一枚骰子，向上点数不为奇数即为偶数，所以两事件是时立事件，故C正确；

某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次不会同时发生，且两事件有可能均不发生（当三次都命中时两个

事件都没有发生），故两事件为互斥事件，但不为对立事件，故D错误.

故选：C

20.（2021秋•高一单元测试）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是

0.52,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.2B.0.28C.0.52D.0.8

【答案】A

【分析】根据题意，摸出球为红球、白球、黑球事件为两两互斥事件，根据概率加法公式可求解.

【详解】设“摸出红球”为事件M,“摸出白球”为事件N,“摸出黑球”为事件E,且为两两互斥事件，又口袋内只有

这三种球，

则P（M）+P（N）+P（E）=I,所以P（E）=I-P（M）-P（N）=l-0.52-0.28=0.2.

故选：A

21.（2023秋・辽宁沈阳•高一校考期末）已知6件产品中有3件正品，其余为次品.现从6件产品中任取2件，观察正

品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（）

A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品

C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品

【答案】D

【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项.

【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；

对于B项，至少有I件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；

对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；

对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.

故选：D.

22.（2021春•陕西西安・高一统考期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A="抽到一等品“，事件3="抽到二

等品“，事件抽到三等品“，且已知P（人）=0.65,P（^）=0.2,F（C）=0.l,则事件“抽到的不是一等品”的概率

为（）.

A.0.65B.0.35C.0.3D.0.05

【答案】B

［分析】利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.

【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件A="抽到一等品“，且

P（A）=0.65,

所以1-P(A)=1—0.65=0.35,

所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.

故选：B.

23.（2023秋•高一单元测试）命题“事件A与事件B对立”是命题“事件A与事件3互斥”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.

【详解】解：若事件A与事件3是对立事件，则事件A与事件8一定是互斥事件；

若事件A与事件6是互斥事件，不一定得到事件A与事件8对立，

故命题“事件A与事件8对立”是命题“事件A与事件8互斥”的充分不必要条件；

故选：A

24.（2022.高一单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A=｛2名全是男生｝,B=｛2

名全是女生｝,。=｛恰有一名男生｝,｛至少有一名男生｝,则下列关系不正确的是（）

A.B.B「D=0C.A<JC=DD.ADB=B3）

【答案】D

【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，则力三。，AuC=D,可判断A,C;事件B

与。是互斥事件，判断B;表示的是2名全是男生或2名全是女生，B。表示至少有一名男生，由此判断D.

【详解】至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故AqO,AuC=D,

故A,C正确；

事件B与D是互斥事件，故8A。=0,故B正确，

AuB表示的是2名全是男生或2名全是女生，B。表示2名全是女生或名至少有一名男生，

故ADBWBDO,D错误，

故选：D.

二、多选题

25.（2023秋・辽宁丹东•高一统考期末）设A,4是两个随机事件，则下列说法正确的是（）

A.A+A表示两个事件至少有一个发生

B.入8+八再表示两个事件至少有一个发生

c.衣豆表示两个事件均不发生

D.可否表示两个事件均不发生

【答案】ACD

【分析】根据随机事件的表示方法，逐项判断即可.

【详解】因为A,9是两个随机事件，

所以A+8表示两个事件至少有一个发生，故A正确；

/B+4百表示两个事件恰有一个发生，故B错误；

硒表示两个事件均不发生，故C正确；

X万表示两个事件均不发生，故D正确.

故选：ACD.

26.（2022・高一课时练习）已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取I个测试，不放回，

直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为C,设事件4="测

试i次刚好找到所有的次品“，以下结论止确的是（）

A.C={2,3,4,5,6}

B.事件人和事件4互为互斥事件

C.事件4="前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”

D.事件&="前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”

【答案】BD

【分析】根据题意逐项分析即可判断出结果.

【详解】A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，

最多测试5次，即前4次测试中有I次测试到次品，3次测试到正品，所以C={2,3,4,5},故A错误：

B：事件4为前两次均测试出次品，事件4为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对•立事件的条件,

故B正确；

C：事件a="前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”,

故C错误；

D：事件&="前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品“，故D正确.

故选：BD.

27.（2022春・甘肃庆阳•高一统考期末）现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互

斥事件的是（）

A.事件AT选取的3人都是男生”，事件名女生都被选中”

B.事件选取的3人中至少有I名女生“，事件选取的3人中至少有1名男生”

C.事件M"选取的3人中恰有1名男生”，事件M选取的3人中恰有1名女生”

D.事件M”选取的3人中至多有1名女生”，事件选取的3人中恰有1名男生”

【答案】ACD

【分析】根据互斥事件的定义逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,“选取的3人都是男生”与“2名女生都被选中”不能同时发生，故M,N为互斥事件，故A正确.

对于B.“选取的3人中至少有1名女生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”，

“选取的3人中至少有1名男生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生“，

故M,N可同时发生，故M,N不为互斥事件，故B错误.

对于C”选取的3人中恰有1名男生”即为“选取的3人中1名男生，2名女生”，

“选取的3人中恰有1名女生”即为“选取的3人中1名女生，2名男生”，

M，N不能同时发生，故M,N为互斥事件，故C正确.

对于D,“选取的3人中至多有I名女生”即为“选取的3人中均为男生或2名男生，1名女生”，

故”选取的3人中至多有1名女生”与“选取的3人中恰有1名男生“不能同时发生，

故M,N为互斥事件，故D正确.

故选：ACD.

28.（2022春・江苏苏州•高一校考期末）某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件5="只

选择甲兴趣班”，鼻=“至少选择一个兴趣班”，％="至多选择一个兴趣班”，"一个兴趣班都不选”，则（）

A.R与。,是互斥事件

B.5与。,既是互斥事件也是对立事件

C.5与Q,不是互斥事件

D.%与。」是互斥事件

【答案】BC

【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.

【详解】事件＜％="只选择甲兴趣班”；R=”至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙

两种兴趣班；。产“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；（，="一个

兴趣班都不选”；

所以，Q,与Z不是互斥事件，故A错误；

%与5既是互斥事件也是对立事件，故B正确；

能与。3不是互斥事件，故c正确；

与。4不是互斥事件，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

29.（2023秋・广西桂林•高一统考期末）下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程.3-2r+3=（）有两个不

相等的实数根：③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30

次.其中随机事件的序号为.

【答案】③④

【分析】根据随机事件的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，物理在重力作用下必然会自由下落，为必然事件，不是随机事件，①错误；

对于②，方程W-2x+3=O有两个不相等的实数根为不可能事件，不是随机事件，②错误；

对于③，下周一可能会下雨，也可能不会下雨，则下周一会下雨可能发生，也可能不发生，为随机事件，③正确；

对于④，收到观众信息回复次数大于30次可能发生，也可能不发生，为随机事件，④正确.

故答案为：③④.

30.（2023•高一单元测试）下列事件：

①空间任意三点可以确定一个平面；

②367个人中至少有两个人的生日在同一天；

③6个人的生日在不同月份；

④掷两次骰子，点数和不小于2；

⑤两条异面直线所成角为钝角.

其中，是不确定事件，是必然事件，是不可能事件（填写序号）.

［答案］①©②©⑤

【分析】根据不确定事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.

【详解】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件；

因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件；

事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件；

因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2,3,…，12,所以事件④一定发生，故④是必然事件；

因为两条异面直线所成角的范围是（0°,90。］,所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件.

故答案为：①③，②④，⑤.

31.（2022春・全国•高一期末）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用4,C,。依次表示“开美I闭合'”开关H

闭合”“开关HI闭合"，则4=.（用从C,。间的运算关系式表示）

「—pF

I1—<r--

m

*卜0

【答案】（8C）U（80或BC（CU。）

【分析】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，由此可得.

（详解】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，

因此:A=6［（CD）.

故答案为：B「（CU。）.也可写成：（BC）U（B0.

32.（2021・高一课时练习）袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②

至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有