湖南省永州市文宇高级中学2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题有解析

/2025年下期永州市文宇高级中学高三开学考试数学选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A. B.C. D.2．y=3xA．x轴对称 B．直线y=C．原点对称 D．y轴对称3．下列函数fx与gA．fx=x2−1xC．fx=x+1和g4．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（）A.7 B.8 C.9 D.105．已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．6．已知cos5π12+αA．233 B．13 C．−7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（）A.B.C. D.8．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fxA．fx是非奇非偶函数 B．fC．fx是周期函数 D．fx10．已知函数f(x)=−2x+A．∀x∈−2,2，fB．∃x∈−2,2，fC．∃x∈0,3，g(D．∀x∈−2,211．在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，，则（）A.该正四棱台的高为3B.该正四棱台的侧面面积是C.球心到正四棱台底面的距离为D.动点的轨迹长度是三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12，已知，则的值为13.已知定义在上偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为______．（结果用含的表达式表示）14.在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______．解答题：本题共5个小题，共77分。15，设公比为正的等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=7a1,且a1,a3,20+a2成等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an,b1=1,求数列{bn}的前n项和Tn.16，，O是棱的中点，G是的重心，D是PA的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；17，在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=AB=1,PD=2,BC=2.(1)如图1,在侧面PDC内能否作一条线段,使其与AB平行?如果能,请写出作图过程并给出证明;如果不能,请说明理由;(2)如图2,若PD⊥平面ABCD,证明:CD⊥平面PBD;(3)在(2)的条件下,E为棱AP上的点,二面角A-BD-E的大小为45°,求异面直线BE与PC所成角的余弦值.18，甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求的分布列.19，设函，．（1）设，求函数的极值；（2）若，试研究函数的零点个数．答案一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】A，，.故选：A2．y=3xA．x轴对称 B．直线y=C．原点对称 D．y轴对称【正确答案】B函数y=3x与y故选：B.3．下列函数fx与gA．fx=x2−1xC．fx=x+1和g【正确答案】D对A，fx=xgx=x对B，fx=1gx=x对C，gx由fx对D，fx=xgx=ln故选：D4．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（）A.7 B.8 C.9 D.10【正确答案】A因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，，所以，二项式的通项公式为，令，所以常数项为，故选：A5．已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．【正确答案】A，与的夹角为，，，在方向上的投影为．故选：．6．已知cos5π12+αA．233 B．13 C．−【正确答案】D依题意cos5由于−π<α故cosπ故选：D.7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（）A.B.C. D.【正确答案】D如图：设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心,为的中点，因为正四面体棱长为8，易得平面，易得，平面，平面，则，由正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径，由得，解得，即,在正四面体中，易得，，所以，则该八面体的外接球半径,所以该球形容器表面积的最小值为，故选：D.8．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】A由题目条件可得.令，可得：，则，即，.令，则；.因为，所以，则函数在区间上单调递增，所以，即.所以方程有两个不同的实数解等价于方程有两个实数解，即函数与的图象有两个不同的交点.因为，令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.则.又因为当时，；当时，.所以，解得.又因为，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fxA．fx是非奇非偶函数 B．fC．fx是周期函数 D．fx【正确答案】BC画出分段函数的图象，如图所示.由图可知：可知函数为非奇非偶函数，故A正确；函数在x≤函数在x≤0部分最小正周期为2π，但是f0函数的最小值为−1，函数没有最大值，x≤0部分值域为−1,1,x>∴错误的是BC，故选：BC.10．已知函数f(x)=−2x+A．∀x∈−2,2，fB．∃x∈−2,2，fC．∃x∈0,3，g(D．∀x∈−2,2【正确答案】AC在A中，因为fx=−2x+1x在B中，因为fx=−2x+1x在C中，g(x)=x2−2x=(x−1)在D中，∀x∈−2,2,∃t∈0,3,f(x故选：AC11．在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，，则（）A.该正四棱台的高为3B.该正四棱台的侧面面积是C.球心到正四棱台底面的距离为D.动点的轨迹长度是【正确答案】BCD对于A，取正方形的中心，正方形的中心，连接，，，则平面，过点作于点，则平面，，，，，，，故，，，，由勾股定理得，故A错误；对于B，过点作于点，则，故，正四棱台的侧面面积是，故B正确；对于C，正四棱台的外接球球心在直线上，连接，，则，如图所示．设，则，由勾股定理得，，，解得，故C正确；对于D，由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分，如图，其中，故，又，由勾股定理得，由于，，故，故动点的轨迹长度是，故D正确．故选：BCD三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12，已知，则的值为由得则，即，解得.13.已知定义在上偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为______．（结果用含的表达式表示）【正确答案】因为，所以，即，令，有，令，有，所以，，因为为偶函数，所以，由，令得，所以，令得，所以，因为为偶函数，所以，所以在点处的切线方程为，即.故14.在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______．【正确答案】由，，故A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，又，故最小时，需最小，当时，最小，由，故此时，由正弦定理可得，．故答案为.四，解答题：本题共5个小题，共77分。15，设公比为正的等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=7a1,且a1,a3,20+a2成等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an,b1=1,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),则S3=7a1=a1+a1q+a1q2,a1≠0,所以q2+q+1=7⇒(q-2)(q+3)=0,由q>0得q=2,因为a1,a3,20+a2成等差数列,所以2a3=20+a2+a1⇒8a1=20+2a1+a1⇒a1=4,所以an=4×2n-1=2n+1.(2)因为bn=bn+1+bnbn+1log2an,所以bn=bn+1+bnbn+1log22n+1,bn=bn+1+(n+1)bnbn+1,所以1bn+1故1bn−1bn−1=n由累加法得1bn−1b1=1bn−1=bn=2n则Tn=21−=21−116，，O是棱的中点，G是的重心，D是PA的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）证明：平面ABC，且平面ABC，，底面ABC是直角三角形且，，又平面PAB，平面PAB，，平面.(2)证明：连结并延长交于点，连结，,是的重心，为边上的中线，为边上的中点，又有为边上的中点，，平面PBC，平面PBC，同理可得平面PBC，又平面DOE，平面DOE，，平面DOE平面PBC，又有平面DOE，平面17，在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=AB=1,PD=2,BC=2.(1)如图1,在侧面PDC内能否作一条线段,使其与AB平行?如果能,请写出作图过程并给出证明;如果不能,请说明理由;(2)如图2,若PD⊥平面ABCD,证明:CD⊥平面PBD;(3)在(2)的条件下,E为棱AP上的点,二面角A-BD-E的大小为45°,求异面直线BE与PC所成角的余弦值.解析(1)不能.假设在侧面PDC内存在直线与AB平行,可得AB与侧面PDC平行.依据线面平行性质定理,可得AB与CD平行,这与已知条件矛盾.证明:在底面ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=AB=1,所以BD=2,又BC=2,∠DBC=45°,所以由余弦定理得CD=2,所以BC2=BD2+CD2,得CD⊥BD,因为PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥CD.又PD∩BD=D,PD,BD⊂平面PBD,所以CD⊥平面PBD.以A为原点,AB,AD的方向分别为x,y轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),P(0,1,2),由E为棱AP上的点,设AE=λAP=(0,λ,2λ)(则BE=BA+AE=(-1,λ设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z),则n1·BD=0,n1·BE=0,−x+y=0,−x+λy+2λz=0,令x=1,得y=1,z=1−λ2λ,则n1=1,1,1−λ2λ,因为PD⊥平面则BE=设直线BE与PC所成角为θ,则cosθ=|cos<BE,PC>所以异面直线BE与PC所成角的余弦值为33.18，甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求的分布列.【正确答案】（1）（2）见解析（1）记甲、乙两人击中