2024-2025学年福建省莆田十五中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田十五中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z在复平面内所对应点的坐标为(2,4)，则3+2z−=A.7−8i B.7+8i C.8+7i D.8−7i2.已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则AF⋅AE=A.1 B.2 C.3 D.43.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=(

)A.23BA+16BC

B.14.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，AB=2，AA.2823 B.282 5.在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosB+(2c−b)cosA=c，则三角形ABC的形状为(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为(

)A.3 B.22 C.1 7.已知三棱锥S−ABC的四个顶点都在球O的球面上，SA=SB=SC=10,△ABC是边长为3的正三角形，则球OA.64π9 B.100π9 C.16π 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，6(sinA−sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为A.6+26 B.4+15 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(

)A.若a//b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线

B.若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

C.若α//β，a⊂α，则a//β

D.若α∩β=b，a⊂α，则a，b一定相交10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2ABA.∠ADC=30°

B.该圆台轴截面ABCD面积为33cm2

C.该圆台的体积为73π3cm3

D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cmA.AD=13AB+23AC B.|AD|=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅(13.z∈C，若|z|−z−=1+2i，则z=______．14.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD=100米，∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠BDC=105°，∠ADC=60°，则AB的长为______米.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在梯形ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，CD=2AB=23，∠ADC=45°，梯形绕着直线AB旋转一周．

(1)求所形成的封闭几何体的表面积；

(2)求所形成的封闭几何体的体积．16.(本小题12分)

已知向量a=(1, 2)，b=(−3, k)．

(1)若a/​/b，求|b|的值；

(2)若a⊥(a+2b)，求实数k的值；17.(本小题12分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M、N分别是A1B1、B1C1的中点.求证：

(1)直线AM和18.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2cosB+abcosA=2c．

(1)求a；

(2)若A=2π3，且△ABC的周长为2+19.(本小题12分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点．

(1)求证：BC//平面PAD；

(2)M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：AP//HG．

参考答案1.A

2.B

3.A

4.A

5.D

6.B

7.B

8.A

9.AC

10.BCD

11.BCD

12.2

13.3214.5015.解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，

(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积=12π+32π+3π=(15+32)π．

(2)其体积V=圆柱体积16.解：(1)因为向量a=(1, 2)，b=(−3, k)，且a/​/b，

所以1×k−2×(−3)=0，解得k=−6，

所以|b|=(−3)2+(−6)2=35．

(2)因为a+2b=(−5, 2+2k)，且a⊥(a+2b)，

所以1×(−5)+2×(2+2k)=0，解得k=14，

(3)17.解：(1)如图，连结MN，A1C1，AC，

因为点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，

所以MN//A1C1，

由正方体的结构特征可知A1C1//AC，

所以MN//AC，

所以A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面；

(2)由(1)可知，MN//AC且MN≠AC，

所以AM与CN相交，设交点为P，

因为P∈AM，AM⊂平面ABB1A1，

所以P∈平面ABB1A1，

又因为P∈CN，CN⊂平面BCC1B118.解：(1)由题设有a(acosB+bcosA)=2c，

则a(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC，

所以asin(A+B)=2sinC，而A+B=π−C，

故asinC=2sinC，又sinC>0，

所以a=2．

(2)由(1)及已知，有cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−42bc=−12，

19.(1)证明：因为底面四边形ABCD是平行四边形，

所以BC//AD，

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC//平面PAD．

(2)证明：连接AC，交BD