2025-2026学年湖北省咸宁市华师元一赤壁学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖北省咸宁市华师元一赤壁学校高二（上）9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的30%分位数是(

)A.2.5 B.3 C.3.5 D.42.若复数z=3+i−2i3，则|z|=(

)A.5 B.6 C.103.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是(

)A.众数=平均数=中位数

B.众数<中位数<平均数

C.众数<平均数<中位数

D.中位数<平均数<众数4.某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为100，100，50.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为(

)A.45 B.25 C.355.已知A(−2,3)、B(2,1)，若斜率存在的直线l经过点P(0,−1)，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为(

)A.[−2,1] B.[−1,2]

C.(−∞,−2]∪[1,+∞) D.(−∞,−1]∪[2,+∞)6.已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为(

)A.363 B.366 C.7.已知向量a，b满足|b|=5，a⋅(3b)=−30，则aA.−25b B.−65b8.如图，在扇形ABC中，半径AB=2，圆心角∠CAB=60°，P是扇形弧上的动点，过P作PQ⊥AB于Q，作PR⊥AC于R，记∠PAB=θ，RQ=f(θ)，则f(θ)(

)A.在(0,π6]上单调递增B.在(π6,π3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A，B，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则(

)A.事件A与事件B互为对立事件

B.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.8

C.若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0.2

D.若P(A−B−)=0.3510.已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2mAB+nAC，m，n∈RA.若m=n=12，则点P是边BC的中点

B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则m=n=13

C.若2m+n=12，则S△PBC=2S△ABC

D.若点11.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是平面A.B1D⊥PB

B.点P的轨迹是一个半径为2的圆

C.直线B1P与平面A1B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z2+4=0，则|z+2|的值为______．13.若直线l1：2x+m2y+m=0与直线l2：x+2y+1=0平行，则实数14.如图，设Ox、Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P，若向量OP=xe1+ye2，则记P(x,y)，d(OP)=|x|+|y|.已知平面内两点M(x1,y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a2+c2=b2+2ac．

(1)求16.(本小题15分)

已知△ABC的顶点A(1,3)，B(2,7)，C(−3,4)，F为BC的中点．

(1)求直线AF的斜率；

(2)判断△ABC的形状；

(3)设D，E分别为AB，AC的中点，求直线DE的斜率．17.(本小题15分)

某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数；

(2)在样本答卷成绩为[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在[70,80)中的市民应抽取多少人？

(3)若落在[50,60)的平均成绩是57，方差是2，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数z−和总方差s218.(本小题17分)

某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：

规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；

规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数，且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖．

(1)求两种规则下获得二等奖的概率；

(2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．19.(本小题17分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为2，M是棱CC1的中点，P是DM的中点，C1Q=3QB．

(1)证明：PQ//平面ABCD；

参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.C

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.BD

11.ACD

12.213.−2

14.43

15.解：(1)由题意，a2+c2=b2+2ac．

余弦定理：cosB=a2+c2−b22ac=2ac2ac=22．

∵0<B<π

∴B=π16.(1)由题意△ABC的顶点A(1,3)，B(2,7)，C(−3,4)，

因为F为BC的中点，结合已知坐标有F(−12,112)，则kAF=112−3−12−1=−53；

(2)由kAB=7−32−1=4，kAC=4−3−3−1=−14，kBC=7−42−(−3)=35，

由kAB⋅kAC=−117.(1)根据题意可得(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)×10=1，解得a=0.03；

所以样本成绩的平均数为：

45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74；

(2)因为[70,80)，[80,90)，[90,100]三组的频率之比为0.3：0.25：0.1=6：5：2，

所以样本的答卷成绩在[70,80)中的市民应抽取6人；

(3)因为[50,60)与[60,70)的频率之比为0.1：0.2=1：2，

又落在[50,60)的平均成绩是57，方差是2，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是5，

所以这两组成绩的总平均数为z−=57×13+69×18.(1)据题意，两次抽取小球的所有可能结果为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，

(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，

(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种情况，

记规则一获得二等奖为事件A2，记规则二获得二等奖为事件B2，

事件A2包含(3,3)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(5,5)，共5个样本点，

∴P(A2)=525=15，

事件B2包含(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)，共5个样本点，

∴P(B2)=525=15．

∴两种规则下获得二等奖的概率均为15．

(2)两种规则的获奖概率一样大．理由如下：

记规则一获得一、二、三等奖分别为事件A1，A2，A3．

由(1)可知事件A1包含(1,1)，(2,2)两个样本点，所以P(A1)=225．

事件A3包含(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，共12个样本点，

∴P(A3)=1225．

由(1)知P(A2)=15，

∴规则一的获奖概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=225+15+1225=1925．

规则二为：抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，

19.(1)证明：如图所示，取CD的中点E，在BC上取CF=3BF，

因为P是DM的中点，M是CC1的中点，

所以PE//CM，且PE=12CM=14CC1，

因为C1Q=3QB，CF=3BF，

所以QF//CM，且QF=14CC1，

所以PE//QF，PE=QF，

所以四边形PEFQ是平行四边形，则PQ//EF，

因为PQ⊄平面ABCD，EF⊂平面ABCD，

所以PQ//平面ABCD；

(2)如图，设A1C∩B1D=G，A1B∩B1A=H，取AD中点为R，BC的中点为S，

由正方体性质可知，点G为正方体的中心，

所以四棱锥A1−ABCD和四棱锥B1−ABCD重合的几何体为四棱锥G−CDRS和三棱柱ABH−RSG形