2025年高中概率试题及答案

2025年高中概率试题及答案

一、单项选择题1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”答案：C2.某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是\(0.9^{3}×0.1\)；③他至少击中目标1次的概率是\(1-0.1^{4}\)。其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案：C3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）A.60%B.30%C.10%D.50%答案：D4.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B5.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对答案：B6.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率是（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：B7.已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.2\)。若\(B⊆A\)，则\(P(A\cupB)=\)（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.8答案：B8.从区间\([0,1]\)内任取两个数\(x\)，\(y\)，则\(x+y\leqslant1\)的概率为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.1答案：A9.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{2}{5}\)答案：A10.若随机事件\(A\)，\(B\)互斥，\(A\)，\(B\)发生的概率均不等于0，且\(P(A)=2-a\)，\(P(B)=4a-5\)，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((1,2)\)B.\((\frac{5}{4},\frac{3}{2})\)C.\((\frac{5}{4},\frac{4}{3})\)D.\((\frac{5}{4},\frac{4}{3}]\)答案：D二、多项选择题1.下列说法正确的是（）A.若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A)+P(B)=1\)B.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C.若\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)，则事件\(A\)与\(B\)互斥D.若\(P(A)=0\)，则事件\(A\)是不可能事件答案：BCD2.下列关于古典概型的说法正确的是（）A.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个B.每个事件出现的可能性相等C.每个基本事件出现的可能性相等D.基本事件的总数为\(n\)，随机事件\(A\)若包含\(k\)个基本事件，则\(P(A)=\frac{k}{n}\)答案：ACD3.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（）A.“恰有1个是偶数”和“恰有1个是奇数”B.“至少有1个是奇数”和“2个都是奇数”C.“至少有1个是奇数”和“2个都是偶数”D.“至少有1个是奇数”和“至少有1个是偶数”答案：AB4.已知\(A\)，\(B\)是两个随机事件，\(0\ltP(A)\lt1\)，\(0\ltP(B)\lt1\)，则下列说法正确的是（）A.若\(A\)，\(B\)相互独立，则\(P(A|B)=P(A)\)B.若\(A\)，\(B\)是对立事件，则\(P(A|B)=1\)C.若\(A\)，\(B\)是互斥事件，则\(P(A|B)=0\)D.若\(A\)，\(B\)相互独立，则\(P(A\capB)=P(A)P(B)\)答案：ACD5.下列概率模型是几何概型的为（）A.已知\(a\)，\(b\in\{1,2,3,4\}\)，求使方程\(x^{2}+2ax+b=0\)有实根的概率B.已知\(a\)，\(b\)满足\(|a|\leqslant2\)，\(|b|\leqslant3\)，求使方程\(x^{2}+2ax+b=0\)有实根的概率C.从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D.求张三和李四的生日在同一天的概率（一年按365天计算）答案：B6.设\(A\)，\(B\)为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若\(A\)，\(B\)是互斥事件，\(P(A)=\frac{1}{3}\)，\(P(B)=\frac{1}{4}\)，则\(P(A\cupB)=\frac{7}{12}\)B.若\(A\)，\(B\)是对立事件，则\(P(A\cupB)=1\)C.若\(A\)，\(B\)是独立事件，\(P(A)=\frac{1}{3}\)，\(P(B)=\frac{1}{4}\)，则\(P(A\overline{B})=\frac{1}{4}\)D.若\(P(\overline{A})=\frac{1}{3}\)，\(P(\overline{B})=\frac{1}{4}\)，且\(A\)，\(B\)是独立事件，则\(P(AB)=\frac{1}{2}\)答案：ABC7.下列事件中，是随机事件的是（）A.从集合\(\{1,2,3,4\}\)中任取两个不同元素，其和大于7B.明年1月1日，北京会下雪C.函数\(y=\log_{a}x(a\gt0\)且\(a\neq1)\)在定义域上是增函数D.某人购买福利彩票10注，均未中奖答案：ABCD8.已知随机事件\(A\)，\(B\)，\(C\)中，\(A\)与\(B\)互斥，\(B\)与\(C\)对立，且\(P(A)=0.3\)，\(P(C)=0.6\)，则下列说法正确的是（）A.\(P(B)=0.4\)B.\(P(A\cupB)=0.7\)C.\(P(A\capC)=0\)D.\(P(A\cupC)=0.9\)答案：ABC9.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A10.下列关于概率的说法正确的是（）A.频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率B.若随机事件\(A\)在\(n\)次试验中发生了\(m\)次，则事件\(A\)发生的频率\(\frac{m}{n}\)就是事件\(A\)的概率C.概率反映了随机事件发生的可能性大小D.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0答案：ACD三、判断题1.互斥事件一定是对立事件。（×）2.若\(A\)，\(B\)是两个事件，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（×）3.古典概型中每个基本事件发生的概率都相等。（√）4.几何概型中每个基本事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。（√）5.若事件\(A\)，\(B\)相互独立，则\(P(A\capB)=P(A)P(B)\)。（√）6.必然事件与任何事件都是相互独立的。（√）7.若\(P(A)+P(B)=1\)，则事件\(A\)与\(B\)是对立事件。（×）8.从区间\([0,1]\)内任取一个数，取到\(0.5\)这个数的概率为0。（√）9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果10次都正面朝上，那么第11次抛掷出现正面朝上的概率大于\(\frac{1}{2}\)。（×）10.已知\(A\)，\(B\)是互斥事件，若\(P(A)=0.2\)，\(P(B)=0.3\)，则\(P(A\cupB)=0.5\)。（√）四、简答题1.简述互斥事件与对立事件的关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生；对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生。所以对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。例如，从红、黄、蓝三个球中任取一个球，“取到红球”与“取到黄球”是互斥事件，但不是对立事件，而“取到红球”与“取不到红球”是对立事件。2.古典概型的两个特征是什么？古典概型具有以下两个特征：一是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；二是每个基本事件出现的可能性相等。例如，抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数1、2、3、4、5、6就是有限个基本事件，且每个点数出现的概率都为\(\frac{1}{6}\)，满足古典概型的特征。3.如何判断一个概率模型是几何概型？判断一个概率模型是否为几何概型，主要看以下两个条件：一是试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；二是每个基本事件出现的可能性相等。例如，在一个边长为1的正方形区域内随机取一点，该点落在正方形内任意位置的可能性相等，且位置有无限多个，这就是几何概型。4.已知事件\(A\)，\(B\)相互独立，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，求\(P(A\cupB)\)。因为\(A\)，\(B\)相互独立，所以\(P(A\capB)=P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2\)。根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，将\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A\capB)=0.2\)代入可得：\(P(A\cupB)=0.4+0.5-0.2=0.7\)。五、讨论题1.在实际生活中，有哪些常见的概率应用场景？请举例说明并分析其概率模型。在抽奖活动中，比如抽奖箱里有100张奖券，其中5张有奖。从抽奖箱中随机抽取一张奖券，这是一个古典概型。因为所有可能的结果（100张奖券）是有限个，且每张奖券被抽到的可能性相等。再如，在交通流量问题中，某路段在某时间段内到达的车辆数是随机的，可看作是一个几何概型，因为车辆到达的时刻有无限多个，且在该时间段内任意时刻车辆到达的可能性相等。2.当事件\(A\)，\(B\)不相互独立时，如何计算\(P(A\capB)\)？请结合具体例子说明。当\(A\)，\(B\)不相互独立时，通常用条件概率公式\(P(A\capB)=P(A|B)P(B)\)或\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)\)来计算。例如，一个盒子里有5个红球和3个白球，先从盒子中取出一个球，不放回再取一个球。设事件\(A\)为“第一次取到红球”，\(P(A)=\frac{5}{8}\)；事件\(B\)为“第二次取到红球”。在第一次取到红球后，盒子里剩下4个红球和3个白球，此时\(P(B|A)=\frac{4}{7}\)，那么\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)=\frac{4}{7}×\frac{5}{8}=\frac{5}{14}\)。3.概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件一定是必然事件吗？请阐述理由并举例说明。概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件。例如，在区间\([0,1]\)上随机取一个数，取到\(\frac{1}{2}\)这个数的概率为0，但它是有可能