高考数学一轮复习 4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）（学生版）

4.1导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）一．导数的概念1.如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))2.当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))二．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)（点斜式）三．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)＝nxn－1f(x)＝sinx＝cosxf(x)＝cosx－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)＝axlnaf(x)＝ex＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)＝eq\f(1,x)四．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝±(2)[f(x)·g(x)]′＝g(x)＋f(x)(3)(g(x)≠0)五．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．导数概念理解f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))，应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑导数运算连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：化为和、差形式，再求导复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元导数的几何意义在型与过型的切线方程1.在型2.过型3.求参（1）斜率：（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线五．公切线法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；法二：设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2).法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．六．切点或切线数量1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x0的方程f(x0)，判断方程解的个数：（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判别式判断（2）f(x0)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数图像一般需要知道单调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题考法一导数的概念及应用【例1-1】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．2 B．-1 C．1 D．【例1-2】（2023湖南）如图，直线是曲线在处的切线，则___________.【例1-3】（2023·云南）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【例1-4】（2022·湖北·武汉市第一中学）已知，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·河南）已知是函数的导函数，若，则（

）A． B．2 C． D．82．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（

）A． B． C． D．3．（2023春·江苏）如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．14.（2023·江西）若函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C． D．考法二导数的运算【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数(2)；(3)．(4)；(5)；【一隅三反】1．（2023春·四川）求下列函数的导数(1)；(2)(3)(4)(5)；(6)；(7)(8)；考法三导数的几何意义【例3-1】（2023吉林）曲线在处切线的斜率为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则______．【例3-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023湖南）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.【一隅三反】1．（2023四川）函数在处切线的倾斜角为_______.2．（2023重庆）若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线的斜率为4．（2023春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是考点四在型与过型的切线方程【例4-1】（1）（2023上海）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.（2）（2023春·河北）若，则曲线在处的切线方程为【例4-2】（1）（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（2）2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______．【例4-3】（1）（2023·江西·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则___________.（2）（2022·全国·模拟预测）已知函数在处的切线过原点，则a的值为（3）（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是【一隅三反】1.（2023吉林）函数在点处的切线的方程是__________.2．（2023·陕西咸阳）已知函数，那么在点处的切线方程为___________．3．（2023春·上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____.4．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______．5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（

）A．e B． C． D．6．（2023春·上海杨浦）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．考法五公切线【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______．【例5-2】（2023·山西·校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（

）A． B． C． D．【例5-3】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（

）A． B． C．0 D．1【一隅三反】1．（2023·云南）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为____.2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于3．（2023河北）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为考点六切线条数或切点个数【例6-1】（2023福建）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例6-2】（2023·四川眉山·统考二模）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例6-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．3【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·陕西西安·统考一模）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．考点七导数几何意义与其他知识综合【例7-1】（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【例7-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C． D．【例7-3】（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为A．2 B．1 C． D．【一隅三反】1．（2023·山东）函数的图象在