2024-2025学年湖北省荆州市高二上学期期末考试数学试题1（有解析）

/2024-2025学年湖北省荆州市高二上学期期末考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．2．已知数列，则“”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含4．如图，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F分别是，的中点，求直线与直线夹角的余弦值是（

）

A． B． C． D．5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C．2 D．16．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．161 B．171 C．181 D．1917．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A．数列是等差数列 B．C．的最大值为10 D．10．已知抛物线的焦点的坐标为，则（

）A．准线的方程为B．焦点到准线的距离为4C．过点只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点D．抛物线与圆交于两点，则11．伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的标准方程可以为B．若，则C．有且仅有一个点，使得D．的最小值为12．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（

）A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是三、填空题（本大题共4小题）13．已知向量，，若与共线，则.14．在数列中，，，则.15．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是．16．如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为.四、解答题（本大题共6小题）17．已知是等差数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.18．已知圆.(1)过点作圆的切线，求切线的方程；(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.19．已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)数列满足.求数列的通项公式.20．已知椭圆的右焦点与短轴端点间的距离为.(1)求的方程；(2)过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.21．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面为线段的中点，过三点的平面与线段交于点，且.(1)证明：；(2)若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22．已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得.【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：C.2．【正确答案】B【分析】利用等差数列基本量的运算，即可判断必要性；通过举反例即可判断充分性不满足.【详解】对数列，设，显然满足，但不是等差数列，故充分性不满足；若为等差数列，设其公差为，则，故必要性成立；综上所述，“”是“为等差数列”的必要不充分条件.故选：B.3．【正确答案】D【分析】求出圆心距，小于两半径之差，得到位置关系.【详解】的圆心为，半径为，变形为，圆心为，半径为，故圆心距，故圆与圆的位置关系为内含.故选：D4．【正确答案】A【分析】连接，根据题意可得直线与直线夹角为，再设求解即可.【详解】连接，因为E，F分别是，的中点，故且，故四边形为平行四边形，故.又O是底面的中心，故为中点，直线与直线夹角为.设，则，，，.故.

故选：A5．【正确答案】B【分析】根据抛物线定义求解即可.【详解】由题意得，，抛物线中，所以，所以所求距离为.故选：B6．【正确答案】B【分析】由题意可知是10的倍数，则，代入求值即可.【详解】由题意可知既是2的倍数，也是5倍数，即是10的倍数，则，故.故选：B.7．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A8．【正确答案】D【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案．【详解】已知双曲线的渐近线方程为，双曲线右焦点到渐近线的距离为，在中，，，所以，设，则，，因为，所以，所以，所以，在中，，所以，即，即，所以．故选：D方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．【正确答案】ABC【分析】根据已知条件利用求得，验证符合上式，得出，利用等差数列定义求出判断是等差数列；根据判断数列为递减数列，判断；利用求的最大值为10；根据计算出即可.【详解】因为，当时，,当时，，所以，所以，检验符合上式，所以，所以，，所以是首项为，公差的等差数列，所以A正确；因为，所以数列是递减数列，所以，B正确；因为，所以时有最大值，，所以的最大值为10，所以C正确；，，，所以D错误.故选：ABC10．【正确答案】BD【分析】根据已知条件求出，再根据抛物线的几何性质逐一判断A、B两个选项，数形结合判断C选项，联立抛物线与圆的方程，求出交点坐标，根据两点间距离公式即可求出判断D选项.【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，所以抛物线焦点在轴上，，准线的方程为，A错误；焦点到准线的距离为，B正确；如上图，过点的直线中有两条直线与抛物线相切，还有与抛物线相交于一点，所以过点有条直线与拋物线有且只有一个公共点，C错误；，得，解得（舍），，两交点为，故，D正确.故选：BD11．【正确答案】AD【分析】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为钝角，从而判断C；由基本不等式判断D．【详解】对于：由，解得，则椭圆的标准方程为，故A正确；对于B：由定义可知，由余弦定理可得，，解得，则，故B错误；对于C：当点为短轴的一个端点时，最大，此时为钝角，则椭圆上存在四个不同的点，使得，故C错误；对于D，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：AD．12．【正确答案】ACD【分析】对A：三角形的面积不变，点到平面的距离为，即可判断；对B：将所求角度转化为所成角，连接，取交点为，求得角度的最大值；考虑三角形中角度最小时的状态为点与重合，再求对应最小值即可；对C：分析点在不同平面下的轨迹，即可求得轨迹长度；对D：求得点的运动轨迹，再根据几何关系求的长度即可.【详解】对A：当在平面上运动时，三棱锥的底面为三角形，其面积为定值，又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值，故三棱锥的体积不变，A正确；对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示：因为面，故面，又面，故；当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角；当点与点重合时，因为，故可得所成角为；当点异于点时，设所成的角为，则，故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小，此时，三角形为等边三角形，故可得；综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误；对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为；当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角；又，又，故，，故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意；同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面的夹角也小于，不满足题意；当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，；当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为，；当点在平面上时，因为面//面，故与面所成角与与面所成角相等，因为面，连接，故；在三角形中，易知，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，故其轨迹长度为：；当点在面上，不满足题意；综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确；对D：取的中点分别为，连接，如下所示：因为//面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面与平面是同一个平面.则点的轨迹为线段；在三角形中，；；；则，故三角形是以为直角的直角三角形；故，故长度的取值范围是，故D正确.故选：ACD.关键点点睛：本题综合考察立体几何中线面位置关系，以及角度，轨迹长度的求解；特别的对选项C，分别考虑点在不同平面下轨迹的情况，是解决问题的核心，属综合困难题.13．【正确答案】【分析】结合空间向量共线的性质，即可求解.【详解】因为向量，且与共线，所以，解得：，所以.故14．【正确答案】【分析】先求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式.【详解】依题意，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故15．【正确答案】【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，利用数形结合，可求出符合条件直线的斜率取值范围．【详解】双曲线的渐近线方程，当过焦点的直线与两条渐近线平行时，直线与双曲线右支分别只有一个交点因为双曲线正在与渐近线无限接近中，由图可知，斜率不在的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线），斜率在的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线）．所以此直线的斜率的取值范围故答案为本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.16．【正确答案】；【分析】根据抛物线焦半径公式，由即可求得，从而得到抛物线方程；设出方程，根据直线过的定点，从而求得的关系，以及的关系，对分类讨论，即可求得的最大值.【详解】当垂直于轴时，，此时，可得，故的方程为：；对抛物线上的任意两点，若直线斜率存在，则，故直线方程为：，即也即，又，故方程为：；若直线斜率不存在，，，显然此时，直线方程亦可表示为：；综上所述，方程可表示为：；又直线过点，则；设两点坐标为，同理可得直线方程为：，直线方程为：，又直线过点，则；又直线过点，则；综上可得：，若直线斜率存在，设斜率为，则，显然，当时，不满足题意；当时，由，，则，当且仅当，也即时取得等号；当时，易知，故此时，；当时，，则.综上所述：的最大值为.故；.关键点点睛：解决第二空的关键是能够准确寻求到的关系，以及的关系，特别的，抛物线上任意两点构成直线的方程亦可表示为：，可提高计算效率.17．【正确答案】(1)(2)12【分析】（1）设出数列的公差，利用两个条件列出方程组，求出首项、公差，代入通项公式即得；（2）根据（1）求出的数列基本量易得，解不等式求得的范围即得.【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以，解得.所以．（2）由（1）可知：，所以.令，得，解得：舍去），因为，所以的最小值是12.18．【正确答案】(1)(2)或【分析】（1）通过两直线垂直斜率之间的关系求出切线斜率，即可得出切线的方程；（2）分类讨论直线斜率是否存在，通过点到直线距离公式结合勾股定理即可求出直线方程.【详解】（1）由题意即图知，切线斜率存在，在圆中，圆心，半径；点在圆上，设切线斜率为所以，解得，故切线方程为.（2）由题意，当直线斜率不存在时，直线与圆交于,弦长恰好为2，直线满足条件，当直线斜率存在时，设，即，则圆心到直线距离，所以在中，由勾股定理得，，解得：，所以直线方程为：，综上，直线的方程为或.19．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）通过对等式两边同时除以，结合等差数列的定义即可判断；（2）结合（1）问求出，再利用累加法计算即可.【详解】（1）根据题意，数列满足，等式两边除以，可得，即，故数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）结合（1）问可得，所以.由数列满足可得，可得，当时，可得，又因为，适合上式，所以数列的通项公式.20．【正确答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据题意，直接求得，则方程得解；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由韦达定理结合弦长公式，表达出三角形的面积，求得直线中的参数，即可求得结果.【详解】（1）由已知得，又因为右焦点与短轴端点间的距离为得，则的方程为.（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0，所以设直线的方程为，，联立消去得，因为直线过点，所以显然成立，且.因为即，解得或（舍去）则，所以直线的方程为或.21．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）由推出平面，利用线面平行的性质可推出，又则；（2）由面面垂直的性质证明平面，即可根据四棱锥的体积及勾股定理求