中学数学思维主意丛书逻辑与演绎

Word-可编辑

逻辑与演绎

吴大檄过伯祥编著

大家出版社

LUOJIYUYANYI

WUDALIANG

GUOBOXIANG

中，自江业大学图言馆藏51.2WDL

图书在版编目（CIP）数据

逻辑与演绎/吴大梁,过伯祥编著.-郑州：大象出版社，1999

（中学数学思维主意丛书/王梓坤，张乃达主编）

ISBN7-5347-2336-1

I.逻…II.过…III.数学课-中学-教学参考资料IV.G634.803

中国版本图书馆CIP数据核字（1999）第21770号

责任编辑侯耀宗责任校对王森

大象口吸社出版（郑州市农业路73号邮政编码450002）

新华书店经销河南省瑞光印务股份有限公司印刷

开本850X//681/32印张6.375字数141千字

第1页/共180页

千里之行，始于足下

1999年9月第1版1999年9月第1次印刷

印数1-2500册定价7.2（）元

若发现印、装质量问题，影响阅读，请与承印厂联系调换。印厂地址郑州市二环路35

号

邮政编码450053电话（0371）中学数学思维主意丛书

主编王梓坤张乃达

编委（以姓氏笔画为序）

王梓坤过伯祥杨世明

张乃达蒋声

本册作者吴大棒过伯祥

序

早在1995年8月，大象出版社（原河南教诲出版社）在扬州举办了一个座谈会,邀请十余

位教学水平很高的数学教师参加,商讨出版一套“中学数学思维主意丛书”。与会同仁认为，

这是一个宽裕创见的倡议，因而得到大家热烈赞许。提供一套既有较浓厚的埋论基础，又宽

裕文采和启发性、可读性的关于数学思维的参考书,对中学数学教学,无疑会是异常有益的；

而更主要的，广大的中学生们，将在形象思维、逻辑推理和严密计算等方面，学到无数的东西。

这对未来无论做什么工作，都会受益无穷。

回想我们青少年时期学习数学的情景，总会有几分乐趣几分惊奇。做出了几道难题是乐

趣,而惊奇则来自主意的长进。记得小学算鸡兔同笼，必须东拼西凑，多一只兔便比鸡多了两

条腿，好不容易才干做出一题。而学过代数，这类问题便变得极为容易。做几何题也一样，必

须详细问题详细解决，而学过解析几何后便有了普通的程序可循。至于算圆的面积，倘若不用

积分便会相当麻烦。由此可乩主意的长进对科学的发展是何等重要。以上是对学习现成的

东西而言。倘若要举行科研，从事创新、发现或发现，那就更应重视主意，异常是思维主意。

没有新思想,没有新主意,要超过前人是很艰难的。有鉴于此，一些优秀的数学家便谆谆告诫

学生们，要异常重视学习主意和研究主意。美国闻名数学家G.Polya写过好几种关于数学思

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想主意的书，如《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与预测》，后来都成为世界名著，很

受欢迎。

学习任何一门科学,都有控制知识和培养能力两方面。普通说来，前者比较容易。因为知

识已经成熟，而且大都已经过前人收拾,成为循序渐进的教材。但能力则不然，那是捉摸不定、

视之无形的东西,主要靠自己去思考,去探索,去总结,去刻苦锻炼。教师的培养固然重要，但

只能起辅导作用。只可意会，不可言传，.而偶尔其至连意会都做不到。正如游泳，只靠言传是

绝对学不会的。这是对受业人而说的。

至于教师，则应无保留地传授自己的经验和体味,尽量缩短学生学习的时光。中国有句

古诗:“鸳鸯绣出凭君看，不把金针度与人。”意思是说知识可以输出，但能力不可传授。前一

句话意思很好，后一句应改为“急把金针度与人”。这套丛书，正是专门传授金针的。

普通的科学研究主意,可分为演绎与归纳两大类。在数学中,演绎极为重要,而归纳则基

本上用不上，除了C.F.Gauss等人偶尔通过看见数列以提出一些数论中的预测而外。不过自

从计算机发现后,这种情况已大为改观。混沌学主要靠计算机而发展起来,数学模拟也主要

靠计算机。再者，以往数学中极少实验，还是因为计算机的广泛使用，现在不少数学系已有了

实验室,异常是统计实验室。可以期待,计算机对改变数学的面貌,对改善数学的思维主意，

都会起到越来越大的作用。

在此之前，我国已经出版了几本关于数学主意的书，它们都各有特色。如就规模之大，选

题之广，论述之精而言,这套丛书大概是盛况空前、蔚为大观的。我们希翼它在振兴我国的

科学事'业和培养数学人才中，将会起到令人鼓励的作用。

王辉坤

99.7.6.

引言

数学家们的理想是把数学建成一个严谨的演绎推理系统.古有希腊的大数学家欧几里得，

他首先把几何学建成了以一组公理为基础的演绎的大厦,建立了数学史上的不朽功勋.近有

德国的大数学家希尔伯特,他在完成了形式公理几何学的构建任务后,与他的合作者共同提

千里之行，始于足下

出了雄伟的“希尔伯特计划”,要把囱囹数学建成一个完备的形式系统.他的计划能胜利吗？大

数学家哥德尔一鸣惊人,作出了令世人震动的回答.

这本小册子，围绕着“逻辑与演绎”的话题,反思历史,讲述数学是怎样通过一批大数学家

的出色工作,从不郑重逐步走向郑重的；联系中学数学的各个分支,举行了详细而又比较严密

的逻辑分析.力图通过深入浅出的描绘,对各个系统结构的多角度剖析，以及数学逻辑问题的

有益探讨，为读者提供一幅多彩的出人意表的新画卷.

作者

1999年4月

目录

引言

一、数学怎么会与逻辑结缘(1)

1.是非如何才干辨明(2)

2.数学凭什么使人信服(5)

3.数学与逻辑的结晶

欧氏《几何原本》(15)

4.从类比、归纳到演绎推理

一数学教学是怎样展开的(22)

二、中学数学的逻辑分析(一)(33)

1.逻辑思维的起码要求(33)

2.数学概念的逻辑分析(36)

3.数学命题的逻辑分析(49)

4.数学运算的结构分析(63)

三、中学数学的逻辑分析(二)

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—数学中的演绎推理（72）

1.数学中的三段论（74）

2.演绎推理的规矩（80）

3.数学证题法的逻辑根据（87）

4.数学推理的逻辑分析（104）

四、数学公理化主意（125）

1.由朴素的实质公理学到形式公理学

（126）

2.公理系统例释（135）

3.中小学数学与公理化主意

一一中小学数学的逻辑基础（144）

4.公理化主意导向的发展（150）

五、逻辑的与非逻辑的统（164）

1.欧拉的类比与归纳（165）

2.勒让德的联想（171）

3.牛顿的直觉（173）

4.哈密顿的灵感（176）

5.阿基米德的“合情借鉴”（180）

6.不拘泥于书本的高斯（183）

7.由“非逻辑的”到“逻辑的”过渡

（185）

结束语（190）

千里之行，始于足下

主要参考资料（192）

一、数学怎么会与逻辑结缘

科学是反映天然、社会、思维等的客观逻辑的分科的知识体系，是知识的持久发展的总

结.

每一门科学所必须的科学真理的联系,是客观现实的联系的反映,但这种联系往往不是

直截了当一望可知的.除了很少一部分科学原理被承认为公理而无须任何证实外，其余一切

原理都是借助于说理证实，即通过决定出这些原理同其他真理的必然联系而判明为真理的.

因而,证实是一切论断具有科学性的首要的不可或缺的条件.

“使思想具有无可辩驳的说服能力的，不是主观的自信,而是有根有据的、经过证实的信

心.

本章将比较地、历史地来展示一下，人类关于证实思想的发展,从中说明,作为形式化了

的思想材料的数学,怎样在这一方向上尽显优势而独领风骚的.

1.是非如何才干辨明

看看其他一些学科是怎么辨明道理的,对丁理解数学的逻辑结构，也是很有启发意义的.

例1达尔文论证他的天然挑选学说.

比如长颈鹿，并不是它常常伸长脖子导致它的后代脖子这么长，而是因为变异的缘故：

这些氏颈的鹿因能漫长的岁月过去了，那些脖子变

有些鹿生

吃到更多的树叶，二一长的变异因素在生存竞争中总是

来颈就长=>

所以更有存活优保持着优势，因而不断积累，终于

一些.

势.形成了我们今天看到的长颈鹿.

显然,这样的论证,是以大量的看见收集的材料为基础的，只是一种推测式的论断.这是

由生物学的特点,及当初的科学发展水平所决定了的.

事实上,达尔文早年从剑桥学到的一个科学家的工作主意便是,“所谓科学,就是综合事

实,从而按照事实得出普通的逻辑和结论

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后来,达尔文参加了“贝格尔号”的环球科学考察活动，他收集各种动植物标本、挖掘古

生物化石、记录地层情况，为研究工作积累了大量而丰盛的材料;而地质学家赖尔所倡导的

比较历史主意又给达尔文以深刻的启迪，地质渐变思想使达尔文产生了强烈的认同感，比较

联想后，使他产生了生物逐渐进化的思想；人口学家马尔萨斯关于人类为争夺食物所导致的

灾害性竞争的观点，又使达尔文天然想到在天然界中，生物一定也有类似的生存竞争,从而逐

渐形成了他的伟大的天然挑选学说.他后来又借人工挑选的实验来进一步证实生物通过天然

挑选而进化的思想.

这就是达尔文的主意论一一通过看见、实验、联想、借喻等，来论证理论.

例2伽利略批驳亚里士多德的运动理论.

亚里士多德认为,在落体运动中，重的物体先于轻的物体落到地面,而且速度与分量成正

比.

亚里士多德是古希腊的哲学家.当年，他大概是在经验中找到证据的：比如一根羽毛就比

一块石头后落到地面.

伽利略曾在比萨斜塔上做过落体实验,是一则闻名的历史传闻.但伽利略本人从未提起过

这件事.

确实有人（在斜塔上）做过落体实验：

1586年荷兰物理学家斯台文做过一个实验,用两个大小不同分量比为1比10的铅球,让

它们从高30英尺的高度下落,结果两者几乎同时落在地面上的木板上.

一位亚里士多德派的物理学家为了反驳伽利略,后来也于1612年在比萨斜塔上做了一个

实验,结果表明，相同材料但分量不同的物体，并不是在同一时刻到达地面.

对此结果，伽利略是这样辩护的:“分量1比10的两个物体下落到地面时只差很小的距

离,可是亚里士多德却说差10倍,为什么忽略亚里士多德如此重大的失误却盯住我小小的误

差不放呢?”

伽利略还设计过这样一个“思想实验”来批驳亚氏理论:假设亚里士多德的判断是对的.

现有物体□与□，设它们的分量分离为□、>□，贝］按亚氏理论口应比口先落地;再将

□、□两物体捆在一起构成物体□+口，其分量为□+□>□，那么□+口应比口先落地

千里之行，始于足下

（匚）.另一方面，因为物体□比口下落得慢，当口、口捆在一起时，口应减慢口的下落速度，因

此，匚+□应比□后落地（□'）.

这样,从亚氏的判断可得出两个互相反驳的结论口与由此可知亚氏的理论是错误的.

上述例子,大致说明了伽利略当年研究物理学的主要主意：以看见与实验为基础,辅以合

逻转的（不可避免的）推论手段.他们接受由此得来的每个事实.

例3考古学是通过讲故事而取得发展的.

往昔的伟大人物都已逝去了一一我们大概再也看不到他们的同类了一一但是一支由轻

微有些怪癖的、富于献身精神的专家和业余兴趣者组成的大军正在地球上勤奋地工作，试图

去理解往昔的意义.

那么，考古工作者是怎样工作的,他们是怎样证实他们的发现的呢？

投身到这一学科的人,都是不折不扣的好奇者,都有强烈的自己去回头看看的好奇心.

但是,“在考古学所研究的过去所发生的所有事物中有99.99%以上没有任何种类的证据

幸存超过一秒钟.在依然不可计数的留存下来的事例中，惟独百分之一的一百万分之一-这样

一个极小的比例有证据留存下来.其中，惟独无穷小的一部分被考古学发掘了出来，而其中更

小的一部分得到了准确的解释（R.贝德纳里克）

考古学是从对文物宝藏的追寻,到对古代的信息的探寻,一步步发展而来的.因为没人知

道在过去发生了什么，考古学（也）是通过讲故事而取得发展的.这些故事里,有多少是基于遗

骨与器物的？又有多少是基于文学的准则的？后来,新的遗迹或发现将改变已为人们广泛采纳

了的虚构故事.

随着时光的推移,考古发掘已经变得比本来缓慢得多，也更细致刻苦;不仅获得了数量有

着庞大增长的各种类型的材料,而且，现在可以从每件器物上获得比过去多得多的信息.然而，

对于考古学异常重大的决定日期这样一件事件（“倘若你不能获悉时光，只有兴趣乜无济于

事”）来说,固然技术与主意大大地扩展了,对于史前时期的文物，也只能排出一个孰先孰后的

相对日期而已.考古学只是在小部分遗物加上大量假设的基础上,拼构出关于古代的可能的

近似图景的学科.

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上述分析可以说明,一些学科在其某一发展阶段，它所使用的主意不那么严谨,所获得的

结果不那么完美,这既是学科内容的特点所决定了的，也是一个学科处在它的发展过程之中

所不可避免的事。

从哲学的原理上说来，这王反映了“辩证唯物主义把认识看做从不知到知,从对现实的个

别现象、个别方面的知识到更深刻、更完满的知识，以致发现更新的发展逻辑这样一种运动

的历史过程”,亦即从相对真理向绝对真理不断发展不断逼近的过程.I何在这样的发展过程之

中，实践则是检验真理的唯一标准.

2.数学凭什么使人信服

就是数学,它的逻辑结构的严谨也仅仅是近代的事.至于学生学习过程中的数学，多数情

况下强调的是与他们的年龄特征相适应的可采纳性，惟独极少数人才干见到数学大厦是怎么

从少量的基础公理上，真正严谨地一步步建构起来的.我们顺着历史的轨迹,从中撷取几个镜

头，借以说明“数学是怎样使人信服的”,人类又是怎样才逐渐地懂得“证实是什么”的.

（1）证实,在不同的时代有不同的含意

例4从勾股定理的证实主意，看人类证实思想的发展.

勾股定理是一个很古老很闻名的定理.有人曾经推荐过,将勾股定理的图形做成“光芒信

号”，传送给其他天体上的可能的居住者,作为首选的彼此联系的主意之一.亦可见此定理的

影响的深远.

勾股定理被发现到如今，至少已有五千多年的历史了.

公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用了勾股定理.他们还知道许多勾股数组.

古埃及人在建造雄伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理.

我国的商高（约公元前1120年）知道了勾三股四弦五,陈子（公元前7前6世纪）则已

得到直角三角形三边间的普遍关系.

只是在很长的一个时期内，人们只满意于发现直角三角形三边长的关系，并在实践中应

用它;还没意识到应该证实它,更不知道该怎么去证实.

千里之行，始于足下

2°史传，首先从理论上证实了勾股定理的，是约公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，

大概也是由此之故,西方国家一律称此定理为“毕达哥拉斯定理”.

据今天的史家研究,毕达哥拉斯发现的是形的勾股定理，即：”在直角三角形斜边上的正方

形等于直角边上的两个正方形人们预测，毕达哥拉斯的证法,很可能与如下的证法类似：

任给直角△口□口，如图1,各边为口，口口.以□+口为边完成的正方形，由4个全等

图1

的三角形和口边上的正方形HI拼成.

倘若将这些三角形按另一种方式来罗列，如图2,赶紧看出图1也可以由同样的4个三角

形与口、口上的两个正方形I、正方形n拼成.从而得到

正方形II=正方形I+T7方形II.

这一类证实,称为分解证法,据说国外有一本

图2

书，搜罗的这类证法有三百多种呢.

3°欧氏几何系统内的勾股定理.

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在欧儿里得的《几何原本》里，勾股定理是由各方面来解释的、居中枢地位的一个数学

事实;它不过是一长串定理连锁中的一环，一个大的数学真理体系中的一件而己.

“这种体系的性质是,每个新的节都是前面的连锁节的纯粹逻辑的结果.每个证实都以以

前的定理为按照而出发.的终极，惟独有限的几个原则.”这个体系根本是逻辑的,在这个体系

之中，勾股定理成为平面儿何中的基本定理之一.

从欧氏的伽1囹定理体系来看,勾股定理的证法是算得最容易的.如图3,添三条埔助线

□□、□□和□□是须要的:作□□_L□□，连结□□、EH.

由三角形全等判定定理知△□□口=△□□□.

乂由与一三角形等高同底的平行四边形面积为三角形面积的两倍的定理知：

□正方形是的2倍，

—矩形AEFO是△允匚的2倍，匚正方形1二口矩形AEFO•同理□正方形II二」矩形BOFG•

图3

于是口正方形III=口矩形AEFO+口矩形BOFG=口正方形1+n正方形II-

欧几里得的历史功绩是把逻辑体系引进到几何学中.这是前无古人的；以后的基础数学

的公理化主意的发展,就是源出于此的.

40以后的发展表明：勾股定理可以有种种的推广：向边上图形的推广；向任意三角形的

推广;在三维空间的推广；在欧氏空间中的推广等,此处不再赘述.

千里之行，始于足下

值得一提的是,后来“发现”的所谓更简捷的证法,给人们关于证实思想所带来的深刻反

思.1979年我国高考的数学试卷中,有一题是“证实勾股定理”，一些考生是这样证实的：

△□□□中，□口=90°,口口=□,

图4

那么有

□□□□

sinn=□□,COS口=而・

sin2口+COS2Q=1,

・•.(―)+(—)=，.

即□□?+口口2=

这就引出了一系列话题:这样的证实对不对？为什么？毕竟什么是证实?

（2）证实,对不同的对象,在不同的文化中,也有不同的含意

例5人们对负数运算法则的认识.

1°负数概念及其运算法则起源于实践的需要.我国古代在天文观测和计算中，发明了用

“强”（正）“弱”（负）来表示与某数相近的过剩值和不足值；印度古代用“债款”来解释从较小

的数减去较大的数的运算的结果,并以“首位上带点的数”来表示它.中国古算经典著作《九

章算术》己提出了正负数的加减法则，朱世杰（元）的《算学启蒙》则总括了正负数的乘除法

则.都是按照负数的实际解释总结出来的文字记载，还没想到要去证实它.

2以有理数乘法法则为例，”为什么负负得正”？中学教材通常是这样讲解的：

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(-2)x3:被乘数-2看作表示向西运动2米，乘数3看作表示按原方向延续运动3次，结

果是向西运动6米：

(—2)x3=-6.

(-2)x(-3):被乘数-2看作表示向西运动2米，乘数-3看作表示按相反方向廷续运动3

次，结果是向东运动6米：

(-2)x(-3)=6.

这只是针对学生的一种解释,不能作为数学证实.但已比惟独法则记载前进了一大步了.

3°《范氏大代数》则是这样证实的：

令口、□表正数，则一口、一口为负数.

(1)□为正整数时:

(-□)•□=(-口)+(-□)+•••+(-□))

共□项

=-(□+□+…+□)=—

共□项

□为非正整数时:我们有口+(-□)=0,

两边乘以口[□+(-□)]□=0.

按照约定，加乘分配律依然有效：

UU+(-u)u=0.

由此，数(-□)□是□□的相反数，即(-□)□=一□匚.

(2)为使乘法交换律依然适用,必有：

口(_匚)=(-□).□=

千里之行，始于足下

(3)因为。+0+・・・+。=。，

□

□项

所以0•口=0.

因而口・0=口=0.

(4)由(-□)(-□+□)=。=0

为使乘法分配律依然适用，必有

(-□)(-□)+(-□)•□=

即(-□)(-□)一□□=0.

因为又有□□一口口=0,

所以我们规定(-□)(-□)=□□.

郑重说来,这样的证实也仅是相当于勾股定理的分解证法的一个证实.因为它还没有纳人

到一个残破的演绎系统之中.到了今天,数学家从皮亚诺公理出发，已建立了从天然数到复数

的囱囹数的系统的公理结构了.

(3)错证带给人们的启示

从一些典型的错证中,给了我们深刻的反面启示:证实应注重些什么？它们在人类对证实

的认识过程中，也起到了不可磨灭的作用.

第一，我们要问:直观可靠吗？

1°“证实"64=65.

有人用如口两图来证实64=65:把8x8的正方形，如图所示那样分割成三块,可拼成

5x/3的矩形.

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图5

直观上可以骗过一些人，逻辑上绝对是不对的，那么错在哪里？又说明了什么呢?

2°"证实''每一个三角形都是等腰三角形.

如图6,在△□□口中冼作口□的平分线口口，

图6

再作口口边的垂直平分线.

⑴倘若口□和口□重合,这时的△□□□固然是等腰三角形了.

（2）倘若n口和口口平行,这表明△口口口的顶角n的平分线垂直于底边，也就是nn也是

底边ni上的高.这时，△।mn也是等腰三角形，且nn和nn也要重合.

（3）倘若□□和□□相交于口，并且点□在△□□□的内部，如图6.由点口分离作

□□、□□的垂线□□、□□.

V角平分线上的点到角的两边等距，

□□□=△□□□.

千里之行，始于足下

图7

因而

又•・•线段的中垂线上的点到线段的两端等距，

□□=□□□=△□□□.

因而

从而有UU=UU+UU=□□+UU=UU即△UUU是等腰三角形.

图8

(4)倘若□□和□□正巧相交于口点.此时，□□既是□□的平分线又是底边口口上的中

线,故△口□口仍为一等腰三角形.

(5)倘若□□和□□相交于□，而□点在△口口口的外部.那么渗考图7与图8.用类似的

主意，仍可证实

即△口□□仍为等腰三角形.

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综上研究可以得出，一切三角形皆为等腰三角形！

因为结论是荒谬的，“证实”绝对是错的.那么错在什么地方呢？你看出来了没有？

倘若有人还一时看不出来的话,正巧说明了直观偶女不一定可靠呢！建议你自己仔细地

画一个图，使□□与□口的长度之差稍大一点，你一定会发现：本来是图形欺骗了你.

第二，我们要注重:不要忘掉限制与约定.

7°“证实”□=一/.

我们来求函数

4_

口(口)=缶『

在口=4时的值.

我们有

=[(-匚)电=/,

当□=4时，则有

□(4)=A=1.

(1)

另一方面,□⑷=(片丁

/一口

=/+□

=-□

(2)

综合(1)与(2).即得一U=/.亦即□=一/

千里之行，始于足下

你只要想一想,实指数的运算法则,在复数的范围内仍可通行无阻吗？就一定会明了:这

个所谓“证实”的症结在哪里了.

20“证实”20=0.

任给□，我们有cos（2口+□）=cos口，

及sin（2D+□）=sinO,

:.cos（2口+□）+Dsin（2D+□）=cosD+DsinQ.

应用欧拉公式□口匚=cosH+CsinD，得

□□（20+口）=口吗

由此可得口（2口+□）=□□，即2口+□=□.

/.22=0.

问题同样出在:把实数中成立的一些事实,不经检验就随意移植到复数中来.

（4）通过以上例子,我们说明如下几点

证实是在科学中使用的用以建立科学体系的.亚里士多德认为,对于求得科学知识和建

立一门科学来说,必须研究证实.科学就要像几何学那样靠许许多多证实建立起来.证实就是

寻找事物的缘故,就是依循公认章法去核实答案是否准确的一种活动.但是

/°解释不是证实.解释只是适应学生的年龄特征，使之能相信采纳该项事实的一种做法；

2°直观不一定可靠,证实应努力避免图形“直观”带来的影响；

3°证实时应明确，我们这里的约定是什么，以前的定理的适用范围又如何.任何超越都是造

成逻辑错误的根源.

还有,要避免形成“循环论证”的状态.所谓循环论记,就是论据间接或直接地依赖于论题

本身的证实.比如例4的4°中,同角三角函数关系sir?匚+COS2Q=1本是根据勾股定理得来

的,若再用它来证实勾股定理,在这样的系统内，就造成“循环论证”的情况T.*

综上可见，比较其他学科,数学之所以更令人信服,是因为数学与逻辑结合得更多更好.

数学总是先提出几个公理作为出发点,经过推导、论证得出结论，一步一步都要郑重遵循.

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“在纯数学中，各种不同类型的真理都必须是互相联系和互相制约的.……值得我们嘲笑

的是，那些为数众多而乂令人神奇的结

1

论,均可从如此之少的前提中演绎出一

“在数学中,我们从显然的事实出发并从此推导出不够显然的事实,并再从此推导出更不

显然的事实，如此下去以至无穷.”

“数学的郑重性,……指的是试图证实所用到的每一件事情；数学的精细性……是指对许

多事情仔细地和清晰地给出数学陈述和证实

然而,数学的严谨性在历史上也是一步步走过来的:从没有证明到有证实;从一个个孤立

的论证到组合成较严谨的演绎系统.

“数学证实,本应是严密且言必有据,才叫人人信.但历史上的事例，却往往并非如此一有

人说:“严谨，乃迄当天的程度为止.

总之，我们应该比较地、历史地、辩证地看待数学科学的严谨性.至于数学教学则另有

异常缘故，不能从一而论了.

3.数学与逻辑的结晶一一欧氏《几何原本》

(1)萌芽时期的数学只是一堆法则

在数学的萌芽时期,数学和逻辑都没有形成理论体系,数学只是经验性数学法则的堆砌，

这些法则之间，只存在着比较容易的推理片断，也可以发现容易的归纳、演绎、分析、综合

的迹象而且，这种推理普通只是为了满意实用的需要.

1*判定某“证实”为“循环论证”,普通是相对于某逻辑系统说的.因为证实实质上是一个

命题的有限非空序列(参见第三章).

千里之行，始于足下

希腊人出场之前的数学舞台，在巴比伦和埃及文明中，“有整数和分数的算术,，…有初步

的代数，和几何上的一些经验公式.儿乎还没有成套的记号，几乎没有存心识的抽象思维,没有

搞出一般的主意论，没有证实甚或直观推理的主意,……他们没有想到需要任何理论科学”.

“埃及人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是大建造师这个比喻真是形象生动！

(2)数学证实始于公元前6世纪

据说公元前6世纪的希腊数学家、哲学家泰勒斯证实了几条几何定理.

泰勒斯是怎么会想到要证实数学命题的呢？为什么有人连旁人似乎一看自明的事情也要

去琢磨一番呢？

“数学证实的产生,是受到希腊哲学……辩证学派的推进.”当时的哲学家讨论时,双方的

论点均基于某些已为大家共同接纳的命题为出发点,这些基本命题称为“假说”；要是碰到右

些基本命题并非双方都愿意接纳的话,一方会哀求另一方先接纳这些假设，以后的论证均基

于这些假设(axioma,现转称作“公理”了),这就是数学公理化模式的一个可能源泉.

总之,是泰勒斯最早把演绎主意系统地引人数学,开创了命题的证实.“泰勒斯的慧眼不

在于说服旁人这些是准确的结果,而在于了解到这些是需要说服旁人的.

(3)《几何原本》的出生

泰勒斯以后，数学从问“怎么样”的科学变成了问“为什么”的科学.此后，数学证实的过程和

主意日益完美起来了.

古希腊的数学与哲学的发展是分不开的,无数哲学家同时也是数学家,柏拉图甚至认为学

习数学是养育哲学家的必须训练.所以，当初的数学与哲学,互相影响和促进是天然的事.于

是,完美了的数学证实本身,反过来乂促进了逻辑学的发展.最后,亚里士多德总结了前人的

成绩,建立起了第一个形式逻辑的理论体系.

在亚里士多德的影响下,欧几里得广泛地搜集了流传在埃及、希腊的几何学的一些个别

发现,应用逻辑学来收拾这些成绩，写成了不朽巨著《几何原本》.他从一些基本定义与公理

出发，以合乎逻辑的演绎手法推导出四百多条定理,从而奠定了数学证实的模式,成为后世宗

师.由此,建立起了第一个几何学的公理体系，数学真正变成了一门演绎科学.数学和逻辑正

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式结合起来了，自此以后总是密不可分地一起发展,从而数学就成为科学知识体系中逻辑性

最强的一门科学.可以这么说，欧氏《儿何原本》是科学与逻辑结合的典范.

(4)欧几里得的几何体系是以逻辑为基本骨架的

强调儿何证实的郑重性;相信逻辑证实甚于相信直观判断；把囱冏理论建立在构造性的

天然观的基础之上，即“一个科学理论体系内的各种论断不是各自自立的，这些论断可以归为

几个最基本的假设和公理,又可据此运用形式逻辑作出一系列判断,这些判断不能互相矛盾.

囱冏理论体系形成了整体有序的结构”.这种精神,对于后来的数学与科学带来了深刻的影响.

异常的是，“从伽利略开始,科学家把欧几里得几何中逻辑构造型模式普遍地用于建立科学理

论”中了.

科学史上第一个建立起来的满意近代科学技术结构规范的体系一一欧氏儿何体系,对于

后世的科学发展的庞大影响,简明地择要讲述如下:阿波罗尼斯的圆雉曲线论,实际上是欧儿

里得理论体系的直接延伸；

阿基米德的静力学理论彻低是以欧氏几何为示范来构造的；

托勒密在建立他的天文学体系时,在理论构造上也以欧氏体系为示范；

几何光学的发展,是欧氏几何体系的结构示范作用的又一个例子；

再看名家对欧氏几何体系的赞赏、推崇：

笛卡尔说:“迄今为止在所有探求真理的人中，惟独数学家成功地举行任何一种证实，即

举行明了无误的、决定无疑的推理“自从数学家从最容易的和最容易的东西开始研究后，惟

独他们才能找到确知的真理及相关的事实他甚至认为,科学的实质就是数学.

伽利略断言：在数学中，人类达到了所有可能的知识的顶峰.他的闻名的关于科学主意论

的两项深刻变革就是:确信我们要探寻的天然知识是可作定量描述的.天然科学家应去寻求

它们的数学描述;科学的任一分支都可用数学模型模仿出来.任一分支都应由公理或原理出

发举行推理,并从中尽可能多地推出结论，像欧氏几何那样来展开.

千里之行，始于足下

牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论,初期时在逻辑上并不严格，“逻辑在这个时期脱离了

本来曾经和它结合在一起的数学”.比如,无限小宛若“逝去的量的鬼魂”，讲不清晰它毕竟是

个决定量还是不决定量.这种情况,固然招致了持久来浸润在欧氏几何体系氛围中的数学家

和哲学家的批评和袭击.其结果,导致了19世纪的分析算术化,强调微积分基本概念的算术

意义,重建了分析的逻辑结构，以提高其逻辑郑重性.

欧氏几何体系对后世的科学发展的示范作用与逻辑在科学中的认识工具功能，于此可见

其影响与作用的庞大.

（5）倘若说,欧氏几何体系是近代科学结构的一块模板（模式）,那么，第5公设问题就是这

块模板上的一个大轮子

欧氏《几何原本》的基础结构是定义、公设和公理的系统.第一卷一开始提出了23个定

义,定义之后列出了5条公设（涉及几何内容的）与5条公理（涉及普通逻辑内容的）.

欧几里得以其过人的努力和沉思熟虑，对公理、公设做了特定的挑选，把前人的定理由

浅人深做了合于逻辑顺序的罗列，给出了清晰简明的证实.

欧氏用作证实根据的定义、公设、公理表中,异常引人注重的是第5公设，即：

“平面上两直线被向来线所截,若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于

截线的这一侧

因为它没有其他公理（公设）那样容易容易采纳；可能连欧几里得本人也曾试证过公设5,

因为原本的前28个命题都未利用过公设5，似乎他是努力推迟公设5的应用，直到迫切需要

无可奈何的时候.

历代的数学家几乎都试证过第5公设,企图用其余的公设、公理将第5公设当做定理证

出来，却未能如愿,这就叫做第5公设问题.这些试证固然都没有胜利，人类却从中受到了很

大的教益,真是吃一堑，长一智啊！

有好多好多次,有人以为自己胜利了，后来却被他人所发现,在证实过程中已不知不觉地

引用了一个实质上跟公设5等价的命题.

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凡不用公设5就能证实的命题称为绝对儿何命题，例如：三角形全等定理,三角形的外角

定理，等腰三角形两底角相等,……企图证实第5公设就是企图把它化为绝对几何命题.这里

我们扼要推荐勒让德的试证.

勒让德先准确地证实了如下的定理：

定理I:倘若每个三角形的内角和等于二直角，那么公设5成立.

定理II:三角形的内角和必小于或等于二直角.

定理III:只要有一个三角形的内角和等于二直角，那么每个三角形的内角和等于二直角.

至此，勒让德只要设法证实：

例6在绝对几何中，证实:有一个三角形存在,它的内角和等于二直角.

勒让德是这样证实的，请注重错在何处：

引进符号：设口□□为一三角形，则

□(□□□)=□+□+□称为这三角形的角和，

□(□□匚)=□-

图9

□(□□□)称为这三角形的角亏.

如图9,设有任一锐角□，取其一边上的一点□向另一边作垂线口□.由定理□□□

的内角和不会超过二直角，即□(□□□)>0.

我们要证实的是□(□□□)=。.用反证法，假设□(□□□)=□>0.

千里之行，始于足下

在边口口上取一点□/,使□□/=□□，连,并在□/作直线口□的垂线.此垂线与直

线□□的交点用□/表示.

容易证实引理:三角形的角亏，等于它的部分三角形的角亏之和.所以

=□(□□□)+□(□□□;)+□(□□/□/)

△□□□跟△匚/□口全等，因此□(□□□;)=□(□□□)=□,

从而□(□□/□/)>?□.

再在已知角的边口口上取点〜，使□/口2=,在口2引口口的垂线，用口2表示它与直

线口□的交点，仿上得

□(□口2口2)>4D.

继续如此，我们作出△口□□□口，满意

□(□□□□□)>2LD.

取充足大的□，使2□，就得出口(□□□□：)>□.这是不可能的，因三角形的角亏不

可能大于口.

这就反证了□(□□□)二。,即□(口口口)=匚.由上所说，第5公设也就证实了.

这个证实错在何处呢？错就错在，它没证实点□口的存在.要证实这些□口存在必须利用

命题：

“向来线的垂线和斜线总相交.，

这是与第5公设等价的一个命题.

这一个挫折的教训是庞大的：郑重的演绎系统的证实中，不能借助于直观性;不能在其中

偷偷地运用它的等价命题.

最后，我们来比较一下中国与希腊的古算.“倘若说古希腊的数学家以发现几何学定理为乐

事的话,那么中国古代的数学家则以构造精美的算法为己任.”普通说,他们总是从实际问题

出发,经过分析提高而概括出普通原理、原则和方法,是一种总算解决一大类问题的体系.其

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醒目的标志是:一类计算模型,一套机械化算法;常常运用作注的形式却未能将其逻辑结构充

足地展示.中国古代不是没有推理证实，而是没有欧儿里得《儿何原本》那样残破的演绎系

统,也没有第五公设问题.作为范本的《九章算术》，提供的学术规范、思维模型等，与己形

成为一个构造型的理论体系的欧氏《几何原本》相比，也还是有相当大的差距的.差距就在

对后世科学发展的良好影响与推进能力上.专家们把因为缺乏原始科学结构的示范作用，作

为中国近代科学落后的主要缘故，意即在此！至于《九章算术》的示范作用，“中国古代数学

中似乎未曾产生过足以摇撼其根基的挑战，固然也就不曾浮上数学观念和主意的强烈变革，

……《九章算术》的示范作用到了清代已成强弩之末，中国古代数学这一研究传统也就逐渐

完成了它的历史使命

正反两方面的对照，更使我们深切地理解到,数学与逻辑的结合的意义的伟大！

4•从类比、归纳到演绎推理一数学教学是怎样展开的

难道数学教学也是像《几何原本》那样，需要合逻辑地展开吗？

不,固然不是.数学教学必须考虑到它的对象,即学生的年龄特征,小学数学要使学习者

学得有兴趣,可以采纳,又有教益,然后才是一定的科学性,逻辑性.

逻辑推理可以分为直接推理和间接推理，间接推理主要包括类比推理、归纳推理与演绎

推理.

在一定意义上说,人的个体的思维发展是人类思维发展史上的一种雏形.我们在考察了

人类历史上逻辑思维形式发展的情况,调查了小学教材中主要思维形式浮上的先后次序之后，

得出了这样的一个结论：间接推理的学习，以从类比推理到归纳推理再到演绎推理为宜.

(1)相似性思量是持久对详细现象加以看见的必然结果

相似性思量首先发展起来的是类比形式;进一步发展起来的是类推形式.

类比是在两类不同的事物之间举行对照,找出若干相同或相似点之后,预测在其他方面

也可能存在相同或相似之处的一种思维方式(或说推理主意).□□□口属性E类比推理的模式

是：

千里之行，始于足下

□对象具有属性□、□、口、口

□对象具有属性□'、□'、口',分离与口、口、口相似

□对象可能具有与□相'以的属性□'

据考察,原始人很早就已经开始注重不同现象或事物之间的相似性,并将它们加以联系.

尽管从文明人的眼光看来,这许多相似性并非是真切的，它们之间也不存在某种必然的联系.

但原始人对此却十分仔细.

“有些贝专纳人身穿白轴皮，因为,通过白事由那顽强的生命力，将使得他们难以被杀死.另

一些人则为了同一目的，随身带着一只残而不死的昆虫;还有一些贝专纳入的士兵在他们自

己的头发里带上无角公牛的头毛,在斗篷里缝上一块青蛙皮，因为青蛙皮很滑腻且无角公牛

又很难被抓住，这位施行过这种法术的人便相信：他将如青蛙和无角公牛一样不易被敌人抓

住;……”

这是荒诞因素的因果型的类比思维.随后发展起来的便是具有比喻或说明性质的类比思

维，以及具有比较和推理性质的类比思维.比如《黄帝内经》中运用于体（生理）、疾（病理）

等方面的类比形式：

关于体的类比:“六经为）I,肠胃为海”，“心者,君主之官也”「肺者,相傅之官”「脾胃者,仓

席之官”「大肠者,传道之官”.

关于疾的类比:“弦绝者淇音嘶败”，“病深者,其音畛……可见，人类的类比思维的起源

是比较早的.

（2）小学数学一开始，唱主角的就是类比思维

小学数学我们都I•分熟习，请看：

“10以内数的认识和加减法”:每一个数,一幅又一幅的图画，从比较中学习数（shu）这一个

数;然后，结合实物与图画，学习数的组成;再学习数的加减法.先学习0〜5;再学习6~10,

内容的安顿与展开方式都是类似的.这种类似性给学习带来了很大的方便.

接着是“1120各数的认识”,只是循着已有的数序,继续一个一个地数下去,新增了位值

制记数法而已.这一节内容，顺序地数（shu）数，与以前又是类似的，只是多数了一些数.

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“20以内的加减法”，增强了进位加法与退位减法,它们也只是由数数加（减）得到的结果，

用恰当的记数法表示出来.其余的某些内容,乂是为以后的借助于类似性的迁移作决定的，比

如直式加减,加法交换律等.以后的多位数加减法,就利用与20以内的加减法的类似性,天然

地得出了.至于容易应用题,最早浮上的，除了“一共”“还乘U”型及其变式外,接着浮上的就是

“比多”、“比少”型了，这是应用问题里的第一个难点.

总之，小学低年级数学里,用得最多的思维形式就是：比较（对应,一一对应）,类比，类推等.

（3）儿童时期就己经浮上了类比推理

布朗等心理学家举行了这样一项研究：

主试首先给3〜5岁的儿童讲了一个故事，故事中的主要情节是:主人公需要将许多珠宝

很快地装入一个口子很小的瓶子里.主人公最后想到的一个主意是,将纸卷成筒状,把纸筒的

口与瓶口相接,再将那些珠宝从纸筒口倒人瓶中.这样,他就顺利地解决了这个问题.

在听完这个故事后,让儿童来解决一个类似的问题.结果发现,部分5岁儿童能够通过类

比推理而找到解决问题的主意.而且，凡是能够解决问题的儿童,都能够回忆出故事的主要情

节;而那些尚不能解决问题的儿童，则搞不清故事的主要情节是什么.

类比推理的关键,是搞清所对照的两个事物之间的联系点，从而能利用存在于这前、后

两种情景中的某些相同之处，进而去解决新的问题.教学实践与实验均证实，儿童已初步具有

理解比喻、进行比较与类推的能力，并随着年龄的增长，教诲条件的改善，对于比较,能从认

识表面上的某些一致性，向理解事物间较深层结构上的某些一致性发展,从而提高了类比推

理的有效性.

（4）认识事物总是由异常过渡到普通

归纳就是从异常的详细认识推进到普通的抽象认识的一种思维方式（或推理主意）.

枚举归纳推理的模式是：

口/具有口属性，

2具有口属性,

千里之行，始于足下

□3具有□属性,

口八口2、口……是□类的典型

一切口可能具有□属性

古代中国的科技、农业、医学等活动中，包含着大量的归纳方法.比如《考工记》中的

大部分知识总结，都是通过归纳所取得的.

中国古算名著《九章算术》，它的表述体系是由个别到普通的推导方式组成的，是一种展

开的归纳体系.

例如：由个别问题引出普通算法一一《九章算术》的表述体系.

“商功章''上有这样的三道题(译成现代汉语)：

其一:有一些谷子,堆积在平地上(成圆雉形),它的底圆周长是12丈,高2丈，问它的体

积和谷子数各是多少.

其二:有一些豆子,靠墙堆积,它的底圆半周长为3丈，高7尺，问它的体积和豆子数各多

少.

其三:有米若干,堆积在墙内角，它的底圆周长的；是8尺，高5尺，问它的体积及米数各是

4

多少.

其堆积形状，分离如图10之(1)、(2)、(3)所示.

(1)(2)(3)

图10

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《九章算术》处理问题确实是由个别到普通的.由上述那样的个别问题，《九章算术》

归纳出了普通算法,我们附现代公式以为说明.

普通算法（原文）写成公式

⑴卜凋自乘，三十六而一以高乘之，□=5□汩（□/:圆周，□:高）

（圆雉）

（2）其依垣者十八而一（圆雉的一半）□=/□}□（口2:半圆周）

IO

其依垣内角者，九而一（圆雉的四分之一）□=（□：口（口3［圆周）

其结果与现代的公式比较,是有些出人的.如令图10中（1）的下底圆的半径为口，则□/=

2口口代人化简，得

□=j（nn2）-D.

我们熟知的公式是□=*口口2）口.

《九章算术》遵循的就是归纳主意：

举出某一社会生活丝某一类问题的一•般解把各类算法综合起

领域中的一个或几》来，得到解决该领域

法——算法（术）

个个别问题中的问题的方法

（5）对多个对象的研究才是归纳推理

比较、类比通常在两个（类）对象□与□间就可举行，而归纳要能发现共同的属性口，至

少要看见、分析多（普通不少于三）个（类）对象才行,从这一点上看,运用归纳主意的难度要

比类比喻法大一些.况且，归纳出的共同属性□应该是明确的，而类似性偶尔则是有一点含糊

的.

归纳推理和演绎推理在团冏推理思维中往往是互相联系着的.但是,低水平的归纳推理,

在小学生的运算中早就开始浮上了.

例如，各级水平的归纳推理:

千里之行，始于足下

水平I:算术运算中的直接归纳推理.

6+0=6\

oIn-oI归纳出

1(\="任何数加零等于本来的数

19+0=19|

又如

3+5=5+3)归纳出

/8+76=76+/8="数口加上数□，等于数口加上数口

水平II:容易文字运算中的直接归纳推理.如□=□，则

□+□=□+□,)

□+□=□+aj

□+□=□+□/

”等式两边加上一个相同的数，依然相等

水平in：算术运算中的间接归纳推理.

如儿童认识到“异分母分数可以加减”的性质，是通过多次步骤的分数运算才得来的.而

其中的每一次,又都是一个直接归纳推理：

(1)认识分数的基本性质；

(2)学会通分；

(3)学习同分母分数的加减法.

水平IV:代数运算中的间接归纳推理.

如通过多次步骤的对函数

□=4+产(2丁)(0<□</)