高三一轮复习练习试题（标准版）数学第八章8.3圆的方程

§8.3圆的方程分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2024·北京)圆x2+y22x+6y=0的圆心到直线xy+2=0的距离为()A.2 B.2 C.3 D.322.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为()A.x2+(y1)2=1B.(x2)2+y2=4C.(x2)2+(y4)2=4D.x2+(y4)2=43.(2024·西安模拟)若过点P(0，1)可作圆x2+y22x4y+a=0的两条切线，则a的取值范围是()A.(3，+∞) B.(1，3)C.(3，5) D.(5，+∞)4.已知A(1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：m(x3)+n(y1)=0的距离的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.45.(2024·南宁模拟)已知坐标原点O在直线mx2y=2m+8上的射影为点P(x0，y0)，则x0，y0必然满足的关系是()A.(x0+1B.(x0-1C.(x0+1D.(x0-16.已知m∈R，直线l1：mxym+3=0与直线l2：x+mym5=0相交于点P，则P到直线2x+y+7=0的距离的取值范围是()A.[5，35] B.(5，35]C.[25，45] D.(25，45]二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.设圆C：(xk)2+(yk)2=4(k∈R)，则下列命题正确的是()A.任意k∈R，圆的面积都是4πB.存在k∈R，使得圆C过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆C有且只有一个D.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上8.(2024·丹东模拟)已知曲线E：x2+y22|x|2|y|=0(x，y不同时为0)，则()A.曲线E围成图形的面积为8+4πB.曲线E的长度为42πC.曲线E上的点到原点的最小距离为2D.曲线E上任意两点间最大距离为42三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知P(m，n)是圆C：x2+y28x6y+23=0上一点，则(m-1)10.已知圆C以C(1，1)为圆心，且与直线mxy2m=0(m∈R)相切，则满足以上条件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为.四、解答题(共27分)11.(13分)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.(1)求圆C的方程；(6分)(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足PM=3QM，求点Q的轨迹方程.(7分)12.(14分)已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2xy1=0上.(1)求圆C1的方程；(6分)(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.(8分)13题6分，14题5分，共11分13.(多选)已知圆C：x2+(y2)2=2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则()A.2≤|AP|≤32 B.∠PAC的最大值为πC.△PAC面积的最大值为2 D.AC·AP的最大值为1214.(2024·佳木斯模拟)已知圆x2+y2=8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则|x1+y14|+|x2+y24|的最大值是()A.8 B.62 C.82 D.12答案精析1.D2.D3.C4.C[由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆(去除点A和点B)，圆心坐标为(0，0)，半径为1，又直线l：m(x3)+n(y1)=0，其过定点(3，1)，故距离的最大值为3+1+1=3.5.B[直线l：mx2y=2m+8，即m(x2)2(y+4)=0恒过定点A(2，4)，由原点O在直线l上的射影为点P，得OP⊥l，则点P在以OA为直径的圆上(去除点(2，0))，该圆圆心为(1，2)，半径为r=12+(-2所以x0，y0必然满足的关系是(x0-1)26.D[因为m·1+(1)·m=0，所以直线l1与l2始终垂直，又由条件可得直线l1恒过定点M(1，3)，直线l2恒过定点N(5，1)，所以两直线的交点P在以线段MN为直径的圆上，该圆的圆心坐标为(3，2)，半径为12|MN=12(5-1所以该圆的方程为(x3)2+(y2)2=5，圆上点(1，1)是过定点M(1，3)且斜率不存在的直线与过定点N(5，1)且斜率为0的直线的交点，故点P的轨迹不经过点(1，1).圆心(3，2)到直线2x+y+7=0的距离d=|2×3+2+7|所以圆上的点到直线2x+y+7=0的距离的最大值和最小值分别为45和25又点(1，1)到直线2x+y+7=0的距离为25，所以P到直线2x+y+7=0的距离的取值范围是(25，45].7.AD[由于对任意k∈R，圆的半径都是2，故面积都是4π，A正确；由于(3k)2+(0k)2=2k26k+9=2k-322+92≥92>4，故圆C必定不过点对k=22和k=2+2，均有(2k)2=2，故(2k)2+(2k)2=4，即圆C经过点(2，2)，C圆心C(k，k)始终在直线y=x上，D正确.]8.ABD[当x≥0，y≥0，且x，y不同时为0时，曲线E：(x1)2+(y1)2=2；当x≥0，y<0时，曲线E：(x1)2+(y+1)2=2；当x<0，y≥0时，曲线E：(x+1)2+(y1)2=2；当x<0，y<0时，曲线E：(x+1)2+(y+1)2=2.画出曲线E的图形，如图所示.对于A，曲线E围成的图形可分割为一个边长为22的正方形和四个半径为2的半圆，故面积为22×22+2π×(2)2=8+4π对于B，曲线E由四个半径为2的半圆组成，故周长为2×2π×2=42π，故B正确；对于C，曲线E上的点到原点的最小距离为2，故C错误；对于D，当曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为42，故D正确.9.22解析(m-1)2+n2表示圆上的点P(m，n)由x2+y28x6y+23=0可化为(x4)2+(y3)2=2，则圆心为(4，3)，半径为2，点(1，0)到圆心的距离为(1-4)所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为322=22即(m-1)210.(x1)2+(y1)2=2解析直线mxy2m=0可化为m(x2)y=0，所以x-2=0,-所以直线过定点A(2，0)，当CA与直线mxy2m=0垂直时，圆C的半径最大，半径为(2-1)2所以圆C的标准方程为(x1)2+(y1)2=2.11.解(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB=0，所以线段AB的垂直平分线方程为x=2，它与x轴的交点为圆心C(2，0)，又半径r=|AC|=10所以圆C的方程为(x2)2+y2=10.(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由PM=3QM得(8x0，y0)=3(8x，y)，所以x又点P在圆C上，故(x02)2+y02所以(3x18)2+(3y)2=10，化简得点Q的轨迹方程为(x6)2+y2=10912.解(1)由题意知线段AB的中点坐标为3kAB=4-32-1=1∴线段AB的垂直平分线方程为y72=即y=5x，联立y=5-x即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r=|AC1|=1，其方程为(x2)2+(y3)2=1.(2)注意到点C1(2，3)和点C2(3，4)在直线x+y=0的两侧，直线x+y=0与两圆分别相离，如图所示.∴|PM|+|PN|≥|PC1|1+|PC2|3≥|C1C2|4=744，当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线且M，N在C1，C2之间时等号成立，则|PM|+|PN|的最小值为744，此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点，过C1，C2的直线方程为7x5y+1=0，联立x解得x∴点P的坐标为-113.ACD[圆C的圆心为C(0，2)，半径r=2圆心C(0，2)到A(2，0)的距离d=22∴22r≤|AP|≤22+r，即2≤|AP|≤32，故A根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值，此时△APC为直角三角形，由于|AC|=2|CP|=22∴∠PAC=π故∠PAC的最大值为π6，故由于|AC|=2|CP|=22∴当AC⊥CP时，△PAC的面积最大，即△PAC面积的最大值为12×22×2=2如图，当AC与AP同向共线时，AC·AP|AC|=22，|AP|=3∴AC·AP=12，故D正确.]14.D[由圆x2+y2=8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，得|OA|=|OB|=22设弦AB的中点为E，则OE⊥AB，由∠AOB=120°，得∠ABO=∠BAO=30°，所以|OE|=12|OA|=所以点E的轨迹是以2为