函数商类型二阶偏导数习题及步骤详解B3

函数商类型二阶偏导数计算练习及步骤☂1：求y=eq\f(x-30,x+69)的二阶导数。☂2：函数y=eq\f(29,x2-20x+44)的二阶导数。☂3：求y=eq\f(10x,1+x2)的二阶导数。☂4：计算y=eq\f(sin3x,x+2)的二阶导数。☂5：求y=6x+eq\f(x,x2-24)的二阶导数。函数商类型二阶偏导数计算练习及步骤参考☂1：求y=eq\f(x-30,x+69)的二阶导数。解：法一：y=eq\f(x-30,x+69),y'=eq\f(x+69-x+30,(x+69)2)=eq\f(99,(x+69)2);y"=-eq\f(198,(x+69)3)。法二：方程变形为y(x+69)=x-30,两边求导有：y'(x+69)+y=1,再次求导：y"(x+69)+y'+y'=0,y"(x+69)=-2y'=-2*eq\f(1-y,x+69),y"=-2*eq\f(1-y,(x+69)2)=-eq\f(198,(x+69)3)。☂2：函数y=eq\f(29,x2-20x+44)的二阶导数。解：y=eq\f(29,x2-20x+44)，用商求导法则有：y'=-29*eq\f(2x-20,(x2-20x+44)2);y"=-29*eq\f(2(x2-20x+44)2-2(2x-20)2(x2-20x+44),(x2-20x+44)4),=-58*eq\f((x2-20x+44)-(2x-20)2,(x2-20x+44)3),=58*eq\f(3x2+60x+20,(x2-20x+44)3)。☂3：求y=eq\f(10x,1+x2)的二阶导数。解：法一：y=eq\f(10x,1+x2)，使用商求导法则：y'=eq\f(10(1+x2)-10x*2x,(1+x2)2)=eq\f(10(1-x2),(1+x2)2);y"=eq\f(10[(-2x)(1+x2)-2*(1-x2)*2x],(1+x2)³),=-20*eq\f(x(1+x2)+2(1-x2)x,(1+x2)3),=20*eq\f(x(x2-3*1),(1+x2)3)。法二：乘积法，此时y(1+x2)=10x,两边求导有：y'(1+x2)+2xy=10,再次求导有：y"(1+x2)+2xy'+2y+2xy'=0,y"=-eq\f(2(2xy'+y),(1+x2)),再将y和y'代入化简，y"=20*eq\f(x(x2-3*1),(1+x2)3)。☂4：计算y=eq\f(sin3x,x+2)的二阶导数。解：y=eq\f(sin3x,x+2)，y'=eq\f(3cos3x(x+2)-sin3x,(x+2)2)=eq\f(A,B);y"=eq\f(A'B-AB',B2),其中：A'=-32sin3x(x+2)+3cos3x-3cos3x=-32sin3x(x+2),B'=2(x+2),y"=eq\f(-32sin3x(x+2)(x+2)2-2[3cos3x(x+2)-sin3x](x+2),(x+2)4),=eq\f(-32sin3x(x+2)(x+2)-2[3cos3x(x+2)-sin3x],(x+2)3)☂5：求y=6x+eq\f(x,x2-24)的二阶导数。解：y=6x+eq\f(x,x2-24)，y'=6+eq\f(x2-24-2x2,(x2-24)2)=6-eq\f(24+x2,(x2-24