高考数学一轮复习 第一章　§1.4　基本不等式 讲义（学生版）

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当____________时，等号成立．(3)其中______________叫做正数a，b的算术平均数，____________叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值__________．(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值__________．注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.()(4)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.()2．(必修第一册P48习题T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．43．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D．14．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A．b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)思维升华基本不等式的常见变形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟踪训练1(1)已知p：a>b>0，q：eq\f(a2＋b2,2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2) D．ab≤eq\f(a2＋b2,2)题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A．x－eq\f(1,x) B．2x＋2－xC．x2＋eq\f(1,x2) D.eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则aeq\r(1＋b2)的最大值为()A.eq\r(7)B.eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2(2)已知x>1，则eq\f(x2＋3,x－1)的最小值为()A．6B．8C．10D．12与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)．(1)当eq\r(k)∈[a，b]时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)≥2eq\r(k)，f(x)min＝f(eq\r(k))＝eq\r(k)＋eq\f(k,\r(k))＝2eq\r(k)；(2)当eq\r(k)＜a时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋eq\f(k,a)；(3)当eq\r(k)＞b时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋eq\f(k,b).因此，只有当eq\r(k)∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当eq\r(k)∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f(x)＝x2＋eq\f(3,x2＋2)的最小值是______．命题点3代换法例4(1)已知正数a，b满足eq\f(8,b)＋eq\f(4,a)＝1，则8a＋b的最小值为()A．54B．56C．72D．81延伸探究已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)的最小值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C．2D．3命题点4消元法例5已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－eq\f(a,4)的最小值为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)命题点5构造不等式法例6若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为()A．9B．6C．3D．12跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,2)))B．y＝