高考数学一轮复习 第二章　§2.8　对数运算与对数函数 讲义

§2.8对数运算与对数函数课标要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即，那么数b称为以为底的对数，记作.其中a叫作对数的数，N叫作数．以10为底的对数叫作常用对数，记作.以e为底的对数叫作自然对数，记作.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝，logaa＝，＝(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMb＝(b∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域R性质过定点，即x＝1时，y＝0当x>1时，；当0<x<1时，当x>1时，；当0<x<1时，函数函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．常用结论1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)．2.如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.()(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．()(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．()(4)函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称．()2．(2023·雅安模拟)已知xlog32＝1，则4x等于()A．9B．3C.eq\r(3)D.eq\f(1,3)3．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为()4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．题型一对数式的运算例1(1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，则实数m的值为________．(2)计算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.跟踪训练1(1)若a>0，＝eq\f(4,9)，则等于()A．2B．3C．4D．5(2)计算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____________________.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1(2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是()A．[2eq\r(2)，＋∞) B．(2eq\r(2)，＋∞)C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)跟踪训练2(1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是()(2)(2023·德州模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是()题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·西安模拟)若a＝lg0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是()A．c>b>a B．b>c>aC．c>a>b D．a>b>c命题点2解对数方程、不等式例4(2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增B．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减C．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增D．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0](2)若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋\f(5,2)a－1))有最大值，则a的取值范围为()A.eq\b\lc