无人机结构动力学2 单自由度系统

无人机结构动力学

（2）单自由度系统的振动

单自由度系统是指结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定的系统，它是最简单的动力系统，是以最简单的离散模型作为较复杂系统的初步近似，对单自由度系统的分析能揭示振动系统的很多基本特性。简单的单自由度系统是研究多自由度系统的基础，复杂系统的数学模型可通过模态分析技术转化为一组独立的二阶常微分方程，其中每一个方程都类似于单自由度系统运动方程。研究单自由度系统的振动特性是无人机结构动力学的基础。与自由振动相关的基本概念（1）自由振动是不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响应。（2）无阻尼自由振动开始后，系统是没有外界能量补充的，因而维持等幅振动。（3）有阻尼自由振动因机械能的耗散，不能维持等幅而趋于衰减。（4）固有频率的定义。系统无阻尼振动频率为系统固有的物理参数，称为固有频率。无阻尼自由振动运动方程选静平衡位置为坐标原点，建立铅垂方向的坐标x，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。设质量m向下运动到x，此时弹簧恢复力为K(x0+x)，显然大于重力mg，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生变速运动，按牛顿运动定律建立运动方程，取与x正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程：这是一个齐次二阶线性微分方程，是无阻尼单自由度振动微分方程的标准形式。无阻尼自由扭转振动扭转振动用角位移θ作为独立坐标。转动方程式

式中J为转动体对转轴的转动惯量；θ为角加速度；∑M为施加于转动体上的力矩的代数和。约定M与θ角移方向一致为正，反之为负。有阻尼自由振动运动方程以缓冲器符号表示阻尼，黏性阻尼系数以c表示，c的单位为N∙s/m。此时系统增加一阻尼力

，此力的方向与速度方向相反，故取负号，由牛顿运动定律，以静平衡位置为坐标原点可得方程式有阻尼自由振动运动方程求解有阻尼自由振动运动的特征方程

其特征根为

当时，通解为

当时，通解为

式中C1、C2均为待定常数，由初始条件决定。弱阻尼状态下的自由振动响应系统在弱阻尼状态下的振动式中

：

系统的振动已不再是等幅的

简谐振动，其振幅被限制在指数

衰减曲线±Ae-nt之内，且当t→∞，x→0时振动将最终停止，此振动称为衰减振动，n称为衰减系数。n越大，表示阻尼越大，振幅衰减得越快。强阻尼状态下的自由振动响应

强阻尼状态，ξ>1，根式

为实数，且<n，故原微分方程的通解为

其中的两个指数函数的指数均为负数，系统不再具有振动特性，为衰减的非往复运动。

当时，运动的响应曲线如图所示，强阻尼可以抑制

振动的发生。临界阻尼状态下的自由振动响应

系统在临界阻尼状态下的振动，系统也不具有振动特性，为衰减的非往复运动。在

的初始条件下，系统的响应为：

系统阻尼与临界阻尼之比值，称为相对阻尼系数：简谐激振力引起的强迫振动在一外力

激振下的单自由度系统的力学模型。瞬态振动：是一个衰减振动，只有在振动开始后一段时间内才存在，不久便消失，一般不予考虑。扭转振动微分方程稳态响应的振幅和相角差均取决于系统本身的物理性质（质量、弹簧刚度和阻尼）和激振力的性质（频率与幅值），而与初始条件无关。若为单自由度扭转系统，系统在简谐力矩

作用下产生强迫扭转振动，可得扭转振动微分方程式中θ为角坐标；Ke扭转刚度；Ce

扭转黏性阻尼系系数；J为圆盘转动惯量。扭转强迫振动与直线强迫振动有完全相同的规律与特点。幅频响应曲线

系统稳态振动的振幅随频率的变化规律可通过幅频响应曲线来表示。将振幅B改写为

式中

相当于激振力的幅值静止地作用在弹簧上产生的弹簧静变形。强迫

振动幅值B与成正比，即

改变激振力的幅值可改变

强迫振动的幅值。相频响应曲线强迫振动响应的频率与激振力频率虽然相同，但存在相角差，以频率比r为横坐标、相位差φ为纵坐标，根据系统不同的阻尼系数值绘出一组相频响应曲线。当r=l，即共振时，相位差φ恒为π/2，与系统的阻尼大小无关，这是共振的一个重要特征。据此特征在试验时根据相位差为π/2来确定共振频率。旋转机械偏心质量引起的强迫振动如果旋转机械设备激振力是因转子的不平衡而产生的，则与简谐激振力直接怍用于质量块上的情况就不完全一样。转子旋转时产生不平衡离心力，引起动不平衡，机器因此强迫振动。一电机安装于两根槽钢组成的简支梁上。当转子有偏心距为e的偏心质量m时，振动微分方程：幅频响应曲线一个实际系统阻尼系数是不容易计算的，可用试验方法测定阻尼系数。首先测定共振r=l时振幅，算得阻尼系数，再测定r≫l时的振幅，即便可求出阻尼系数。支承运动引起的强迫振动单自由度系统支承点作简谐运动时，系统相当于作用了两个激振力，由弹簧传递的弹性力

和由阻尼传递的阻尼力

。两者不同相，后者超前π/2相角，运动微分方程幅频响应曲线和相频响应曲线系统振动的幅值与支承运动的幅值之比放大因子β，同样，若以r为横坐标，𝛽为纵坐标，可得出幅频响应曲线。周期性激励引起的强迫振动如果激振力是一个周期函数，可以按傅里叶级数分解为一系列频率成整数倍关系的简谐函数。对于线性振动系统，其响应便可以按叠加原理将每一单独的简谐函数作用的响应求出后，再全部叠加起来，便可得总的响应。

若为周期性支承运动同样可算出响应：任意激励引起的强迫振动

在已知任意激励时求系统响应主要有三种方法：（1）杜哈梅积分法（2）傅氏积分法（3）拉氏变换法杜哈梅积分又叫做卷积积分或叠加积分，其基本思想是将激振力分解为一系列脉冲的连续作用，各脉冲的大小和作用时间由f(τ)决定。先求出每个脉冲单独作用下系统的响应，然后按线性系统的叠加原理将其叠加起来，即得出系统对激振的响应。

右图为任意激振力示意图转轴的运动微分方程工程上大量采用转轴来传递运动、传递功率。转子上的旋转件若有偏心质量必然会产生离心惯性力而使轴呈弓状变形，这种现象称为弓形回转。当转轴的转速达到某一值时，轴的动挠度将很大甚至导致轴被破坏，此时的转速称为临界转速。运动微分方程式与偏心质量引起的强迫振动方程式一样。转轴旋转过程的特点（1）（1）两端简支旋转轴。临界转速（2）两端固支旋转轴。①低阶临界转速

②高阶临界转速(n=2,3⋯)

转轴旋转过程的特点（2）（3）悬臂旋转轴①低阶临界转速②高阶临界转速(n=2,3⋯)

转子平衡的概念旋转机械转动部分运转时，由于偏心质量会产生离心力，从而引起强烈振动。为此必须尽量减小转子的偏心质量，消除其离心力作用，从而控制振动的振幅在允许的范围内，这就是平衡。转子静平衡校正方法转子的质心不在回转轴线上，当其转动时，偏心质量就会产生通过轴心的离心惯性力，从而在运动过程中引起附加动压力，转子无合力偶，属于静平衡。静平衡校正方法：对于径长比D/l≥5的转子（如旋翼），可近似地认为其不平衡质量分布在同一回转平面内，需要通过以下步骤完成静平衡：

（1）根据转子结构定出偏心质量的大小和方位。（2）计算出为平衡偏心质量需添加的平衡质量的大小及方位。（3）在转子设计图上加上该平衡质量，以便使设计出来的转子在理论上达到平衡。转子动平衡校正方法动不平衡是由静不平衡和偶不平衡叠加而成。偶不平衡是只有在转子运动的情况