信息必刷卷04（广东专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷解析版

绝密★启用前2025年高考考前信息必刷卷04（广东专用）数学考情速递高考·新动向：广东卷考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中19题考查数列新定义，考查的动向有：新概念的理解与应用、新运算与新情景的迁移能力、综合推理与存在性问题、数列与数学文化的结合、复杂逻辑与计算能力，以解答题的方式进行考查。高考·新情境：2025年新高考I卷数学命题将注重融入新情境，以更贴近现实生活和社会发展的需求。这些新情境可能涵盖科技、经济、文化等多个领域，旨在考察学生在真实问题背景下的数学应用能力和问题解决能力。通过设计贴近学生生活实际和时代特征的数学情境，命题将引导学生将所学知识灵活运用到实际问题的解决中，培养学生的创新思维和实践能力。命题·大预测：对于2025年广东卷数学命题的预测，整体难度可能会有所调整，更注重考查学生的综合能力和创新思维。预计题型将更加灵活多变，融入更多贴近生活实际和科技发展的新情境，以考察学生的综合应用能力和创新思维。预计会延续对函数、数列、立体几何、概率统计等主干知识的考查，注重通性通法，淡化特殊技巧。解析几何保持稳定，重点考查曲线方程、定点定值问题等，可能减少计算量、增加思维深度，融合向量、方程等跨学科内容。同时，开放性、探究性问题比例或将增加，鼓励学生多角度思考，培养批判性思维能力。（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，，所以.故选：C2．已知，，且，其中i是虚数单位，则（

）A．10 B． C．2 D．【答案】D【解析】由得：，所以解得，所以.故选:D.3．已知向量满足，则（

）A．2 B．7 C． D．【答案】D【解析】因为，则，左右两边平方得，计算得，又因为，所以，所以.故选：D.4．已知实数，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】由题意得，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为6.故选：C.5．的展开式中的常数项为（

）A．8 B．2 C． D．【答案】C【解析】因为，二项式的展开式的通项公式为，，所以展开式的常数项为.故选:C.6．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为.在双曲线的渐近线上存在一点，使得，等价于以为直径的圆与渐近线有公共点，所以的中点到渐近线的距离，即，即，所以，即，所以，又，所以.故选：B.7．已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程，可得，所以，当时，，所以的可能取值为，因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是，故选：A8．设函数，当时，曲线与交点个数的情况有（

）种.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由函数，设，可得，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，令，可得，即，则解的个数，即为与的图象在上的交点个数，如图所示：当时，，此时与的图象在上没有公共点；当时，即时，与的图象在上有没有公共点；当时，即时，与的图象在上有1个公共点；当且时，即时，与的图象在上有2个公共点；当且时，即时，与的图象在上有没有公共点；当时，此时对应的抛物线开口向下，且，此时与的图象在上有没有公共点，综上可得，曲线与交点个数的情况有3种.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．C． D．数列为等比数列【答案】AB【解析】因为，所以，所以数列是以首项为，公比为2的等比数列，所以，故A正确；数列的前项和为，故B正确；因为，故C错误；令，所以数列为等差数列，故D错误.故选：AB.10．如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（

）A．，，，四点共面B．该几何体的体积为C．过四点，，，四点的外接球表面积为D．截面四边形的周长的最小值为【答案】AC【解析】对于A，取中点，取靠近的三等分点，易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，，则，所以，，，四点共面，故正确；对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B错误；对于C，过四点，，，构造正方体，所以，外接球直径为正方体的体对角线，所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确；对于D，由题意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，则周长，沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5，所以周长的最小值为，故D错误.故选：AC11．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线是双纽线，则下列结论正确的是（

）

A．曲线的图象关于原点对称B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A，把代入中，得到故，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确.对于B，令，得到，解得或，即曲线经过，，，由图可得，令，得到，解得，而，故，故，令，得到，解得，而，故，得到，而，故，得到，故，则曲线只能经过3个整点，故B错误，对于C，由题意得，，故，而，得到，故，即，设曲线上任意一点到坐标原点的距离为，由两点间距离公式得，而，解得，即，则曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3，故C正确，对于D，由题意得直线与曲线一定有公共点，联立方程组，得到，若直线与曲线只有一个交点，则方程除外无解，而，，则即可，解得，故D正确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若成等差数列，则直线过定点.【答案】【解析】由题，有，所以由，得，整理得，由，解得，所以直线过定点.故答案为：13．已知奇函数的定义域为，其导函数满足，则.【答案】3【解析】由于为奇函数，故，则，又，故，故，，，以及，故，则，因此为周期函数，且周期为4，故，故答案为：314．设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为.（用含的代数式表示）附参考公式：【答案】【解析】由题知，边长为的正方形有种情况，故故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足(1)求B；(2)若的面积为，，求中线BD的长．【解析】（1）因为，所以，又因为所以，，得，（3分）所以，由余弦定理得，又B为三角形内角，所以，（6分）（2）因为的面积为，，，所以，，所以，又，因为BD为的中线，所以，，（10分）所以，，所以（13分）16．（15分）已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）连接AC.∵底面为菱形，，是正三角形，是BC中点，，又，（3分），又平面，平面，，又平面，平面，又平面，∴平面平面.（6分）（2）由（1）知，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，（7分），，，，，，，而，（10分）且，设平面的法向量，，取时，，（12分）.设平面的法向量为，（13分）设二面角为，因为为锐角，所以，（14分）所以二面角的平面角的余弦值为.（15分）17．（15分）在平面直角坐标系中．椭圆C：的左、右焦点为，，过点作x轴的垂线．垂线与椭圆交干P，Q，且的面积为．(1)求椭圆C的离心率e；(2)已知，直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB中点为，若椭圆C上存在点M，满足，求椭圆C的方程．【解析】（1），故，可得，所以，即，解得或；椭圆离心率，所以或．（5分）（2）由得，所以，即，所以，椭圆C：，即；设，，，则，，①（6分）由N是AB中点得，代入得，所以，即，即；由M在椭圆上，则，即，（9分）整理得，②将①代入②得：，③若直线AB的斜率不存在，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，线段AB中点为，设直线AB：，由得，所以，由解得，所以，直线AB方程为所以，④（12分）将④代入③得：，满足，所以椭圆C的方程为．（15分）18．（17分）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)证明：在上恒成立；(3)讨论方程在上的根的个数.【解析】（1）由题意当时，则，令解得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．（3分）（2）先证明对任意，，令，，令解得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，即，（6分）故对任意成立，且当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，所以在上恒成立．（9分）（3）由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立，也即的根为的根，下讨论方程的根的个数，化简得，令，则，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，（13分）所以，又，且当时，，时，，故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根，综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根．（17分）19．（17分）现有公差为的项等差数列，若从中随机取出项后，对于剩余项始终有，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为的“间子列”．(1)写出数列，，，的所有间子列；(2)证明：存在数列的一个间子列，其也为数列的间子列；(3)从数列中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为的间子列的概率为，证明：．【解析】（1）数列，，，的所有间子列为（4分）（2）证明：考虑取出间子列后剩下的项，对于数列，考虑其剩下的项不含项的情况，则对于其剩下的项，必有，若在剩下的项添加项，则必有，对于剩下的项，有，符合条件，则剩余的项在数列的情况下同样满足，故此时取出的数列既是的间子列，也是数列的间子列，得证.（9分）（3）考虑取出间子列后剩下的数列，因为间子列和剩余数列互补成原数列，故它们一一对应，即有“抽取到间子列的概率”和“抽取到取完间子列后剩下数列”的概率相同，记剩余的项按原顺序排成的数列为“剩余列