专题11 圆-2017年中考数学试题分项版解析汇编（解析版）

专题11：圆一、选择题1.(2017福建第8题)如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.2.(2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C.D．【答案】C.【解析】试题分析：连接O、B，根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB为菱形，且∠OB=∠OB=60°，又因∠A=∠AB=120°，所以∠B=120°，因∠OB+∠B=120°+60°=180°，即可得O、、三点共线，又因=B，可得∠B=∠B，再由∠OB=∠B+∠B=60°，可得∠B=∠B=30°，所以△OB为Rt三角形，由锐角三角函数即可求得B=,所以，故选C.考点：扇形的面积计算.3.（2017广东广州第9题）如图5，在中，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，则下列说法中正确的是（）A．B．C.D．【答案】D考点：垂径定理的应用4.（2017广东广州第6题）如图3，是的内切圆，则点是的（）图3A．三条边的垂直平分线的交点B．三角形平分线的交点C.三条中线的交点D．三条高的交点【答案】B【解析】试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B。考点：内心的定义5.（2017山东临沂第10题）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是（）A．2B．C．1D．【答案】C考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形6.（2017山东青岛第6题）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（）A、100°B、110°C、115°D、120°【答案】B【解析】试题分析：如下图，连接AD，AD，根据同弧所对的圆周角相等，可知∠ABD=∠AED＝20°，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，从而由三角形的内角和求得∠BAD＝70°，因此可求得∠BCD=110°.故选：B考点：圆的性质与计算7.(2017四川泸州第6题)如图，是的直径，弦于点，若，则弦的长是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题分析：已知AB=8，AE=1，可得OA=4，OE=3,连结OC，在Rt△OCE中，根据勾股定理可得CE=，又因，根据垂径定理可得CD=2CE=2，故选B.8.(2017山东滨州第5题)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A． B．2 C． D．1【答案】A.【解析】如图，由题意得，OA=2，△AOM是等腰直角三角形，根据勾股定理可得OM=，故选A.9.(2017山东日照第9题)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（）A． B． C．5 D．【答案】A.试题分析：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD=AO=2.5，∴AD==，∴AC=2AD=5，故选A．考点：切线的性质．10.(2017辽宁沈阳第10题)正方形内接与，正六边形的周长是12，则的半径是（）A. B.2 C. D.【答案】B.【解析】试题分析：已知正六边形的周长是12，可得BC=2，连接OB、OC，可得∠BOC=，所以△BOC为等边三角形，所以OB=BC=2，即的半径是2，故选B.考点：正多边形和圆.11.(2017江苏宿迁第6题)若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是A．B．C.D．【答案】D.【解析】试题分析：这个圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，可得，解得r=6cm，故选D.12.(2017山东日照第15题)如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是．【答案】6π．试题分析：∵四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD，∵AB=BE=CD=6，∴AB=BE=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠B=60°，∴S扇形BAE=6π，考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质．13.（2017江苏苏州第9题）如图，在中，，．以为直径的交于点，是上一点，且，连接，过点作，交的延长线于点，则的度数为A．B．C.D．【答案】C.【解析】试题分析：，，故答案选C.考点：圆心角与圆周角的关系.14.(2017浙江金华第7题)如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为（）A．B．C.D．【答案】C.【解析】试题分析：作OC⊥AB交点为D，交圆于点C，OB=13cm，CD=8cm，OD=5cm；在RT△BOD中，根据勾股定理可求得BD=12cm，再由垂径定理可得AB=2BD=24cm，故选C.15.(2017湖南湘潭第7题)如图，在半径为4的中，是直径，是弦，且，垂足为点，，则阴影部分的面积是（）A.B．C.D.【答案】D.【解析】试题分析：已知，所以，即可得，故选D.二、填空题1.(2017北京第14题)如图，为的直径，为上的点，.若，则．【答案】25°.考点：圆周角定理2.（2017广东广州第15题）如图8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线．【答案】【解析】试题分析：：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：＝考点：圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.3.（2017湖南长沙第15题）如图，为⊙的直径，弦于点，已知，则⊙的半径为．【答案】5【解析】试题分析：设圆的半径为r，根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，然后勾股定理可知，解得r=5.故答案为：5.考点：1、垂径定理，2、勾股定理4.（2017山东青岛第12题）如图，直线AB与CD分别与⊙O相切于B、D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为___________________。【答案】2π-4【解析】试题分析：如下图连接OB，OD，根据切线的性质，由直线AB与CD分别与⊙O相切于B、D两点，可知AB⊥OB，PC⊥OD，再结合AB⊥CD，可得到四边形BOPD是正方形，从而求得，然后可求阴影部分的面积为考点:弓形面积5.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．【答案】32【解析】试题分析：如下图由∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.故答案为：32.考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质6.（2017江苏苏州第16题）如图，是的直径，是弦，，．若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．【答案】【解析】试题分析：.考点：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长.7.(2017山东菏泽第12题)一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径长为______.【答案】.【解析】试题分析：根据扇形的面积公式可得，解得.8.（2017浙江湖州第14题）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若，则的度数是度．【答案】140考点：圆周角定理9.（2017浙江湖州第15题）如图，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是．【答案】512（或29）【解析】试题分析：根据切线的性质，和30°角所对直角边等于斜边的一半，可知OO1=2，然后同样可知O1O2=2=21，OO3=2×2=22，……OOn=2n-1，因此可得第10个为210-1=29=512.故答案为：512.考点：1、圆的切线，2、30°角的直角三角形10.(2017湖南湘潭第13题)如图，在中，已知，则．【答案】60°【解析】试题分析：根据圆周角定理，同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可得60°.11.（2017浙江台州第13题）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为长为30厘米，则的长为厘米．（结果保留）【答案】20π【解析】试题分析：根据弧长公式可得：弧BC的长===20π.

故答案为：20π.考点：弧长的计算12.（2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形，它的两个相对的顶点分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点在正六边形内部（包括边界），则正方形边长的取值范围是．【答案】（）【解析】试题分析：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.

①当A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，∵正六边形的边长为1，

∴AC=,

∴a2+a2=AC2=.

∴a==.

②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.

设A′（t,）时，正方形边长最大.

∵OB′⊥OA′.

∴B′（-，t）

设直线MN解析式为：y=kx+b,M（-1，0），N（-，-）（如下图）

∴.

∴.

∴直线MN的解析式为：y=（x+1）,

将B′（-，t）代入得：t=-.

此时正方形边长为A′B′取最大.

∴a==3-.

故答案为：.

考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器—三角函数，4、解直角三角形13.(2017浙江舟山第13题)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径的⊙，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．【答案】（32+48π）cm²【解析】试题分析：连接OA，OB，因为弧AB的度数是90°，所以圆心角∠AOB=90°，则S空白=S扇形AOB-S△AOB=（cm2）,S阴影=S圆-S空白=64π-（16π-32）=32+48π（cm2）.考点：扇形面积的计算.三、解答题1.(2017北京第24题)如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点.（1）求证：；（2）若，求的半径.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.本题解析：（1）证明：∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°,∵BD为切线，∴OB⊥BD,∴∠2+∠5=90°,∵OA=OB,∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中,∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE,∴EF=BE=3，在RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3,∴DF=∴sin∠DEF==,∵∠AOE=∠DEF,∴在RT△AOE中，sin∠AOE=,∵AE=6,∴AO=.考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2.(2017天津第21题)已知是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点，是上一点，延长交⊙于点.（1）如图①，求和的大小；（2）如图②，当时，求的大小.【答案】(1)∠T=40°，∠CDB=40°；（2）∠CDO=15°.【解析】试题分析：(1)如图，连接AC,根据切线的性质定理可得∠TAB=90°，即可求得∠T的度数；根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，即可求得∠CDO的度数.（2）如图，连接AD,在△BCE中，求得∠BCE=∠BEC=65°,根据圆周角定理的推论可得∠BAD=∠BCD=65°，因OA=OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠OAD=65°，即可得∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.试题解析：(1)如图，连接AC,∵是⊙的直径，是⊙的切线，∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.∵，∴∠T=90°-∠ABT=40°由是⊙的直径，得∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠ABC=40°∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接AD,在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65°∵∠ADC=∠ABC=50°∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.3.(2017福建第21题)如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．（Ⅰ）若，求弧的长；（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．【答案】（Ⅰ）的长=π；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得PD是⊙O的切线.试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴的长==π；（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD==45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.4.(2017河南第18题)如图，在中，，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.（1）求证：；（2）若，，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)根据已知条件已知CB平分∠DCF，再证得、，根据角平分线的性质定理即可证得结论；（2）已知=10，，可求得AD=6,在Rt△ABD中，根据勾股定理求得的值,在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求得BC的长.试题解析：(1)∵∴∠ABC=∠ACB∵∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB，即CB平分∠DCF∵为⊙直径∴∠ADB=90°，即∵BF为⊙的切线∴∵∴∴BD=BF考点：圆的综合题.5.（2017广东广州第25题）如图14，是的直径，，连接．（1）求证：；（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①②【解析】试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②试题解析：（1）证明：如图，连接BC.是的直径，（2）=1\*GB3①如图所示，作于F由（1）可得，为等腰直角三角形.是的中点.为等腰直角三角形.又是的切线，四边形为矩形②当为钝角时，如图所示，同样，（3）当D在C左侧时，由（2）知,,在中，当D在C右侧时，过E作于由（2）得，在中，考点：圆的相关知识的综合运用6.（2017湖南长沙第23题）如图，与⊙相切于，分别交⊙于点，．（1）求证：；（2）已知，，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）试题解析：（1）连接OC，则OC⊥AB∵∴∠AOC=∠BOC在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC（ASA）∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=AB=∴在Rt△AOC中，OC=2∴∠AOC=∠BOC=60°∴∴考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7.（2017山东临沂第23题）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点.（1）求证：；（2）若，，求外接圆的半径.【答案】【解析】试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．试题解析：（1）平分，平分，，又，，,..（2）解：连接，，是圆的直径.，.，，，是等腰直角三角形.，.的外接圆的半径为.考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8.(2017四川泸州第24题)如图，⊙O与的直角边和斜边分别相切于点与边相交于点,与相交于点，连接并延长交边于点.（1）求证：//（2）若求的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）由弦切角定理和切线长定理证得CD垂直于AO，再证得∠DAO=∠BDF，即可证得结论；（2）过点作与，根据勾股定理求得BC=8，再求得BD=4，由切割线定理可求得再由勾股定理求得BC=4，利用射影定理求得OE=，利用相似三角形的性质即可求得的长.试题解析：（1）证明：与⊙O相切与点（弦切角定理）又与⊙O相切与点由切线长定理得：即：DF//AO：过点作与由切割线定理得：,解得：由射影定理得：9.(2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝DF·DA．【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．∴DE2＝DF·DA．10.(2017辽宁沈阳第22题)如图，在中，以为直径的交于点，过点做于点，延长交的延长线于点，且.（1）求证：是的切线；（2）若，的半径是3，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）.试题解析：(1)连接OE，则,∵∴∴∵∴∴∴又∵OE是的半径∴是的切线；（2）∵，∵∴∴BA=BC又的半径为3，∴OE=OB=OC∴BA=BC=2×3=6在Rt△OEG中，sin∠EGC=，即∴OG=5在Rt△FGB中，sin∠EGC=，即∴BF=∴AF=AB-BF=6-=.考点：圆的综合题.11.(2017江苏宿迁第22题)（本题满分6分）如图，与相切于点，为的弦，，与相交于点；（1）求证：；（2）若，，求线段的长．【答案】(1)详见解析；（2）BP=.【解析】试题分析：(1)根据已知条件易得∠ABP+∠OBC=90°，∠C+∠CPO=90°，因为∠APB=∠CPO，即可得∠C+∠APB=90°，再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB；（2）过点A作ADBP，垂足为D，所以∠ADP=90°，PD=BP，由勾股定理求得OA的长，再由勾股定理求得CP的长，由∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，证得△ADP∽△COP，根据相似三角形的性质求得PD的长，即可得BP的长.(2)过点A作ADBP，垂足为D，所以∠ADP=90°，PD=BP因为∠ABO=90°，，，所以,故OA=5因为AP=AB=3，所以OP=OA-AP=2因为∠COP=90°，所以,因为∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，所以△ADP∽△COP.所以,即PD=，所以BP=.12.（2017江苏苏州第27题）（本题满分10分）如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交边于点．（1）求证：∽；（2）求证：；（3）连接，设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：（1）利用两角对应相等，两三角形相似证明；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形求正弦值.试题解析：（1）是⊙的直径，.～.（2）～和是所对的圆周角，.（3），即，，，即.，，，即考点：圆、三角函数、相似三角形的综合运用.13.(2017山东菏泽第22题)如图，是⊙的直径，与⊙相切于点，连接交⊙于点.连接.（1）求证：；（2）求证：；（3）当时，求的值.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得；（2）先证△PB∽C△ABP，根据相似三角形的性质即可得结论；（3）利用，得，从而求=试题解析：【解】（1）∵是⊙的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵与⊙相切于点∴∠CBP+∠ABC=90°∴∵，∠P=∠P∴△PB∽C△ABP∴∴（3）∵∴AP=9∵∴∴=14.(2017浙江金华第22题)如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点是延长线上的一点，交于点，连接．(1)求证：平分．(2)若，．①求的度数．②若的半径为，求线段的长．【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②2-2.【解析】试题分析：（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证；（2）①根据（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG.试题解析：（1）解：∵直线与⊙O相切，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD,

∴AD//OC,

∴∠DAC=∠OCA;

又∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠