2023年必修二立体几何知识点例题练习答案

立体几何知识点

一、空间几何体

1.多面体：由若干个多边形围成H勺几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体

的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱H勺公共点叫做多面体H勺顶点.

2.棱柱：有两个面互相平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行H勺面叫做底面,其他各面叫做侧面.

3.棱锥：有一种面是多边形，其他各面都是有一种公共顶点的三角形，由这些面所围成日勺多面

体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等日勺等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上H勺射影是底面正多

边形的中心。

4.棱台：用一种平行于底面H勺平面去截棱铢，底面与截面之间的部分叫做棱台。日正棱锥截得

的楼台叫做正棱台。

正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的

截面是相似的正多边形

5.旋转体：由一种平面图形绕一条定直线旋转所形成日勺封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做

旋转体的轴，

6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形R勺直角边、直角梯形垂直于底边的腰所

在日勺直线为旋转轴，其他各边旋转而形成的）曲面所围成口勺儿何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面日勺截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等日勺矩

形、等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台日勺侧面展开图问题时，常常用

到弧长公式I=aR

7.球：以半圆的直彳仝为旋转轴，旋转一周所成日勺曲面叫做球间.球面所围成的几何体叫做球体（简

称球）

8.简朴空间图形的三视图：一种投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内日勺图形

叫做俯视图。一种投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图

形叫做主视图（正视图）。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，一般把这

个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内日勺图形叫做左视图（侧视图）。三视图H勺主视

图、俯视图、左视图分别是从物体口勺正前方、正上方、正左方看到口勺物体轮廓线【向正投影围成

的平面图形。

（1）.三视图画法规则:

高平齐：主视图与左视图日勺高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图日勺长应对正

宽相等：俯视图与左视图日勺宽度应相等

（2）.空间几何体三视图：止视图（从前向后的止投影）;

侧视图（从左向右的正投影）；

俯视图（从上向下正投影）.

例题1.某叫棱，锥底面为直角梯形，

一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，

则其体积为.

例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，

其中棱尸4垂直于底面，它日勺三视图对日勺的是（）

（3）.空间几何体的直观图——斜二测画法特点:

①斜二测坐标系的），轴与x轴正方向成45。角；②原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不

变；③原来与），轴平行日勺线段仍然与y平行，长度为原来的二分之一.

常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为2日：1.

例.假如一种水平放置日勺平面图形的斜二测直观图是一种底仍为45。，腰和上底均为1的等腰

梯形，那么原平面图形的面积是（）.

A.2+V2B.上野C.D.1+V2

9.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，〃为高，力为斜高，/为母线）：

S直枝柱侧而积=chS网柱恻=27S正核推恻面积二万。/?’S网傩侧而积=尉

S正枝台恻面枳=5（。|+c2）"S回台侧面积=（r+R）7dS阴柱表=2疗（尸+/）S阮惟表=R（广+/）

品"表=+H+R/+R2）S球面二4乃改

10柱体、锥体、台体和球的体积公式：

唳=S〃=Sh=7rr2h%％惟=家.

匕.=1（S+VFs+S）h%］台=g（5'++S）〃=g4（产+水+R2）hV球二

例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一种底边长为8、高

为4H勺等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一种底边长为6、高为4H勺等腰三角形.

11）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S

⑵V=64........7分（3）5=40+2472.....12分

例4.已知各顶点都在一种球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是（）

3.某儿何体H勺三视图如图所示，其俯视图是由一种半圆与其直径/q他.）

构成欧I图形，则此几何体日勺体积是（）（

A20口人1016

A.—71DO7TCr—71Un.—7C

333

◊・nn——（第3题图）

4•一种几何体的三视图是三个边长为的正方形和对角线,

1正视图左视图

如图所示，则此几何体的体积为（）

15

--

A6C6

*D.

5.一种空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体

的体积为（）

A.4B.8C.12D.24

6.若一种底面为正三角形、测棱与底面垂直口勺棱柱口勺三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为

()

A.12百B.6C.2773D.366

7.训图是一种几何体的三视图,若它的体积是36，则a=（

A.&B.乎C.6D.

8.某几何体日勺三视图如图所示（俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等等腰三角形）根据

图中标出日勺数据,可得这人几何体的表面积为（）

A.4।473B.41475C.8D.12

3

9.一种几何体的三视图如图所不，则该几何体的体积为（)

B/C.《

A..D.

T61218

10.已知某几何体H勺三视图如右，根据图中标出的尺寸：单位：c,〃2）,/△

可得这个几何体的体积是（）k>1l<—,>1

A.-C7723B.-C77?C.Icin'D.Acni

33

二、立体几何点线面的位置关系

机eHiH均1

ht：XMrZH

例1.如图，在正四棱柱A5co—A/IGR中，E、F分别是A80BC,

中点，则如下结论中不成立的是（）

A.七b与8片垂直B.E尸与BI弹直

C.七厂与CD异面D.石尸与A£异面

例2.已知〃z,"是两条不一样直线，a,民y是三个不一样平面，下列命题中对日勺代|是（）

A.若〃zIIa,nIIa、则〃zIInB.若a_Ly,01y,则aIIp

C.若mMa,mllB加aH。D.若〃?-La.nl.a、则，〃IIn

例3.已知平面a_L平面B,。0[3=/,点人£&,A",直线AB〃/,直线AC_LA直线m〃

a,m〃B,则下列四种位置关系中，不•一•定•成立的是()

A.AB〃加B.ACl/nC.AB〃BD.AC±&

练习：

1.设直线〃7与平面。相交但不垂直，则下列说法中对日勺的是()

A.在平面a内有旦只有一条直线与直线，〃垂直B.过直线〃?有旦只有一种平面与平面。垂直

C.与直线机垂直H勺直线不*可能与平面。平行D.与直线平行的平面不♦可能与平面。垂直

2.设a,人为两条直线,a,4为两个平面，下列四个命题中，对的的命题是()

A.若a,Z?与a所成的I角相等，则a〃Z?B.若a!/a，b〃0、a//P,则a〃Z?

C.若aua,bu/3,a//h,则二〃/?D.若。_10,b上。,a_L尸，则Q_LZ?

3.给出下列四个命题：

①垂直于同一直线日勺两条直线互相平行.

②垂直于同一平面H勺两个平面互相平行.

③若直线/"2与同一平面所成的角相等，则44互相平行.

④若直线44是异面直线，则与44都相交的两条直线是异面直线.

其中假*命题日勺个数是()

(A)l(B)2(C)3(D)4

4.设a、(3、y为平面，〃?、〃、/为直线，则，〃J■〃口勺一种充分条件是()

(A)a±p,aryP-Ijn±/(B)acy=m,oc工八/3Ly

(C)aLy,PLy,mLa(D)nLa.nLp.mLa

5.设〃i、〃是不一样的J直线，a、夕、y是不一样日勺平面，有如下四个命题:

①若。〃//,a〃y,贝②若a_L/,则〃z_L//

③若〃z_L。,〃2〃尸，则a_L/?④若/〃〃〃，〃ua,则团〃a

其中真命题的序号是（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

6.对于平面。和直线加,〃，下列命题中假•命•题•H勺个数是（）

①若m_LQ,m_1_〃，则〃〃a;②若机〃a,nila,则inIIn;③若〃〃/a,,则mIIn;

④若m〃〃，nila,则〃?//a

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.若/,小，〃是互不相似的空间直线，a,夕是不重叠的平面，则下列命题中为真命题的是（）

A.若a〃从/Ca,〃U£,则/〃〃B.若aJL£,/Ca,则

C.若/_!_〃，/%_!_〃，贝!]/〃，〃D.若/_La,I////,则a_L。

8.如〃、〃是两条不重叠的直线，。、小y是三个两两不重叠的J平面，给出下列四个命题：

①若a_La,〃_!_//,则a〃鹿港a_Ly,“_L＞，贝1Ja〃4

③若a〃6aUa,bU/f,贝hi〃。④若a〃夕，aOy=a,0Cy=b,则a〃Z?

其中对的命题的序号有

1、线线平行的判断：

⑴平行于同一直线日勺两直线平行。

（2）假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线

和交线平行。

（3）假如两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（4）垂直于同一平面的两直线平行。

2、线面平行的判断:

（1）假如平面外日勺一条直线和平面内日勺一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）两个平面平行，其中一种平面内日勺直线必平行于另一种平面。

例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体中，E是AA的中点，求证：4。〃

平面8。七。

证明：连接AC交6。于0,连接石O,

•・・七为4A的中点，。为ACH勺中点

・・・E0为三角形AAC的中位线AE0//A.C

又E0在平面石内，AC在平面3DE外

，4。〃平面BDE.

例2、（证明是平行四边形）已知正方体ABCD-^C^,0是底48C。对角线的交点.求证：C\O

〃面；

证明：（1）连结AG，设AGC旦A=q,连结政

•・,A3co-44G。是正方体AACG是平行四边形

・・・AiG〃AC且AC,=AC

又。,。分别是4。4。的中点，・・・0。〃/10且。6=｛。

.•.A0G«是平行四边形

.••G°〃Aa，A。］u面A3Q,。100面4与。1・・・。|。〃面4与。］

3、面面平行的判断：

（1）一种平面内日勺两条相交直线分别平行于另一种平面，这两个平面平行。

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

例4、如图，在正方体A8CD-A/|C'a中，E.卜、G分别是

AB.AD.GR的中点.求证：平面Q|E/〃平面BDG.

证明：•・•£、F分别是A3、A。日勺中点，E8。

又斯2平面3OG,8。u平面BOG..〃平面80G

•・,D,G4EB四边形RGBE为平行四边形，DXE//GB

又REz平面BOG,GBu平面BQG「.〃平面BDGE/CREUE,.平面REF〃平面

BDG

4、线线垂直的判断：

若一宜线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中日勺一条垂直，也必垂直平行线中的I另一条。

例5、已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA_L平面ABCD,E、

（1）求证：EF〃平面PAD；（2）求证：EF1CD；

5、线面垂直的判断：

（1）假如直线和平面内口勺两相交直线垂直，这条直线就垂直丁•这个平面。

（2）假如两条平行线中口勺一条垂直于一种平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一种平面，它也垂直于另一种平面。

（4）假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

S

例6、（线线线面相互转化）已知AA区。中NAC〃=90,54_1_面ABC,ADA.SC,求

AB

C

证：AD_L面S8C.

证明：・・・ZAC3=9()°BC±AC

又54_1_面48。/.SAIBC.♦.BC_L面必。

:.BCLAD又SC,AD>SCcBC=C...从。j.面SBC

例7、（构造直角三角形）四面体A3CQ中，AC=E）,反尸分别为AOIC日勺中点，.且所=当AC,

NBOC=90,求证：8。_L平面4c力

证明：取CQR勺中点G,连结EG/G,・・・E,尸分别为ARBC的中点,

:.EGU-AC

2

FGU-BD,又AC=8D.・••/G='AC,

22

・••在AER7中，EG2-iFG2=-AC2=EF2

2

：・EG工FG,：.BDLAC,又NBDC=9。,即3£)_LC£>,

ACr>CD=CBO_L平面ACO

例8、如图2,在三棱锥/一比Z?中，BC=AC,AD=BD,作■BELCD,£为垂足，作他上BE于H.

求证：平面BCD.

证明：取4?附中点尸，连结5DF.

VAC=BC,：.CFLAB.

・；AD=BD,：.DFLAB.

又。尸口。尸二/，・・・AB_L平面a双

COu平面CDF,：.CDLAB.

又CD上BE,BEcAB=B,

・・・C£)_L平面力做，CD工AH,•；AHLCD,AH工BE,CDcBE=E,：.47_1_平面以。

例9、（三垂线定理）证明：在止方体ABCD—AIBIGDI中，AiC_L平面BCiD

证明：连结AC

VBD±AC.・.AC为AiC在平面AC上的射影

RD1A}C

A。"1"平面BQ。

同理可证41CJL8G

6、面面垂直的判断:

一种平面通过另一种平面的I垂线，这两个平面互相垂直。

例10、如图，已知空间四边形A8CO中，BC=AC,AD=BD,E是44日勺中点。

求证：（1）A8J_平面CDE;（2）平面CDEJL平面A8C。

BC=AC

证明:(1)\=>CELAB

AE=BE

AD-BD

同理,■nDEJLAB

AE=BE

又•/CEcDE=E：.AB±^CDE

（2）由（1）有A8_L平面COE

又丁AB7平面ABCf.・・平面CDE1平面ABC

练习

1.如图：梯形ABC。和正△ZAB所在平面互相垂直，其中

ABHDC,AD=CD=-AB,且。为A3中点.（I）求证：

2

平面POD；（II）求证：AC.LPD.

2.如图，菱形ABCDWl边长为6,NB4O=60,ACnBO=O.将菱形A8C。沿对角线AC折起,

得到三棱锥8-ACQ,点M是棱3C/、J中点，DM=372.

3.如图，在四棱锥P-A8c。中，底面A3co为直角梯形，AD//BC,

ZADC=90°,BC=^AD,PA=PD,Q为中点.

(I)求证：ADJ_平面PBQ；(II)若点M在棱PC上,

PM=lMC,试确定/时值，使得以〃平面BMQ.

4.已知四棱锥P-A3CD口勺底面是菱形.

(I)求证：PC〃平面3OE；

(II)求证：平面尸AC_L平面

5.已知直三棱柱ABC-AMG的所有棱长都相等，且。,豆尸分别为BC,叫,A4的中点.

(I)求证：平面8/C〃平面£V)；(IT)求证：BQ，平面E4D

6.正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，

ZADE=90,AF//DE,。后=ZM=2A/=2.(I)求证：AC_L平

面BDE；(II)求证：AC//^BEF；(山)求四面体勺体积.

7.如图，在四棱锥?一446中，平面PAD_L平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°，E、F分别

是AP、AD的中点求证：(1)直线EF〃平面PCD；是)平面BEF_L平面PAD.

(第7题图)

8.如图，四边形ABC。为正方形，QAJ_平面48CO,PD//QA,QA=AB=-PD.(I)证明：PQA.

2

平面。CQ；(II)求棱锥Q—A3C0H勺的体积与棱锥「一OCQIT'J体积的比值.

P

A

Q

9.如图，在aABC中，ZABC=45°,ZBAC=90°,AD是BC上曰勺高，沿AD把aABD折起，使N

BDC=90°o(1)证明：平面ADB_L平面BDC；(2)设BD=1,求三棱锥D—ABC的表面

积。

10、如图，在正万体ABC。-中，石是AA的中点.44

(1)求证:AC〃平面8DE；(2)求证:平面AACJ.平面

BDE.

D

三、线线、线面和面面的成角问题

1、两异面直线及所成的角：不在同i种平面的两条直线，叫做异面直线,已知异面直线a,b,通过空

间任一点O作直线/〃加〃〃，我们把。'与〃'所成口勺锐角(或直角)叫做异面直线。与〃所成口勺

角(或夹角).假如两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.

2、直线和平面所成的角：一条直线PA和一种平面。相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫

做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外日勺一点向平面引垂线P0,

过垂足0和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影。

平面口勺一条斜线和它在平面内口勺摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成口勺角。一条直

线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它

们所成的角是0°.

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角。在二面角1一/一户口勺棱/

上任取一点O,以点。为垂足，在半平面。和8内分别作垂直于棱/的射线OA和OB,则射线

OA和OB构成的NAOB叫做二面角的I平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二而角的I平面角是多少度，就说这个二面角是多

少度。

常见角的取值范围：

①异面直线所成的角（0,5直线与平面所成的角0,^二面角的取值范围依次［0,TT］

②直线日勺倾斜角［0,不）、到4的I角［。，乃）、乙与时夹角日勺取值范围依次是bl

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是［0,〃］,（-2二）.

2222

点到平面距离：求点到平而日勺距离就是求点到平面日勺垂线段的I长度，其关键在于确定点在平面

内日勺垂足，当然别忘了转化法与等体积法日勺应用.

例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱44、

的中点，G为棱上的一点，且4G=/l则点

G到平面。归尸日勺距离为（D）

BCD

A忑444

例2、已知ABC。是矩形，PA_L平面ABC。，AB=2,幺=4)=4,

七为8C的)中点.

(1)求证：。石，平面B4石；(2)求直线OP与平面B4E所成的角.

证明：在AAOE'中，AD2=AE2^DE2,/.AEA.DE

•IP4_L平面ABC。，DEu平面A3CD,PA±DE

又PAcAE=A,DEL平面PAE

(2)NDPE为OP与平面R正所成的角

在R/AP4。，PD=46,在RfAOCE中，DE=2五

在RfAD"中，PD=2DE,NDPE=30°

练习:

1、己知四边形A8CQ是空间四边形，£,£6“分别是边/1伐8。,。。,94日勺中点

(1)求证：EFGH是平行四边形

(2)若BD=26,AO2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成『、J角。

证明：在A/WD中，•・•£”分别是AB,A。日勺中点・•・

2

同理，FGHBDFG=-BD：,EH//FG,EH=FG：.四边形EFGH是平行四边形。

y2

(2；90°30°

2、如图，在四棱锥P-45C。中，平面QAD_L平面43CD,AB//DC,△24。是等边三角形,

已如BD=2AD=8,AB=2DC=4后.

(I)设例是尸C上的一点，证明：平面平面PA。；

(11)求四棱锥夕-ABC。日勺体积.

(I)证明：在△”£＞中，由于AD=4,30=8,AB=4出,

因此AD2+BD2=AB2.故A。_L加).

又平面BAO_L平面A3CD,平面PAOn平面A^CD=A。,

60u平面ABC。，

因此BD_L平面PAD,又匝)u平面MBD,

故平面平面.

(II)解：过P作尸O_LAO交AO于0,

山于平面平面ABCD,因此尸O_1_平面ABCD.

因此尸。为四棱锥ABCD日勺高，

又△PAO是边长为4的等边三角形.因此尸。=立x4=2g.

2

在底面四边形ABC。中，AB//DC,AB=2DC,

因此I四边形A8CO是梯形，在中，斜边A8边上的高为华二更,

4后5

此即为梯形A5c。日勺高,

因此四边形枷加面积为S=汽芷苓=24.

故^P-ABCD-1x24x273-1673.

3

3、如图，在四棱锥尸-A3CZ)中，底面A3CO是NDW=60°且边长为。的菱形，侧面PAO是等

边三角形，且平面小。垂直于底面ABCO.

(1)若G为A。的中点，求证：3G_L平面PAO；

(2)求证：ADIPR：

(3)求二面角A-8C-P的)大小.

证明：(1)AABD为等边三集形且G为4。的中点，BGJ_AD

又平面尸4。_L平面ABC。，..8G_L平面尸AO

(2)24。是等边三角形且G为AO的中点，AO_LPG

且AO_L8G,“GC〃G-G,...平面尸KG,

P8u平面PBG,/.ADVPB

(3)由AO_LPB,AD//BC.BC1PB

又8G_LAO,AD//BC,BGLBC

/P8G为二面角人-〃。一夕日勺平面角

在R/AP8G中，PG=BG,/.ZPBG=45°

4.如图，在四棱锥O-A3C。中，底面A3CO是边长为1的菱形，ZABC=-,Q41底面ABC。,

4

04=2,M为04的中点，N为8C的中点。

(I)证明：直线M/V〃平面OCT)：(II)求异面直线AB与MD所成角H勺大小：

(III)求点B到平面OCDH勺距离。

解：措施一(综合法)

(1)取0B中点E,连接ME,NE

・・・MEIIAB,ABIICDMEIICD

又「NEIIOC,「.平面MNEII平面OCO:.MNII平面OCO

(2)・.，CDBAB,・・・NMDC为异面直线A3与MQ所成日勺角(或其补角)

,D

P

BN

cos/MDP=—=£MDC=4MDP=-

MD23

因此回与山所成角的大小叼

(3)・・・八3〃平面••点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

AQLOP于点Q,VAP±CD,OA±CD,/.CD±AQ±CD

乂•・•AQ_LOP,・・・AQ_L平面OCD,线段AQ5勺长就是点A到平面OCD日勺距离

OP=yjOD2-DP2=y]OA2+AD2-DP2=真AP=DP吟

2及

2*72

・・・AQ二型"因此点B到平面OCD的距离为士

OP33

高考训练:

1,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD_L底而ABCD,PD=DC,E是PC日勺中点,

作EF_LPB交PB于点F.⑴证明PA〃平面EDB；(2)证明PB_L平面EFD；

2,(•潮州模拟)如图1,四边形ABCD为矩形，AE=EB=BC=2,F为CE上的点,

且BF_L平面ACE,ACGBD=G.(1)求证：AE_L平面BCE；(2)求证：AE〃平

面BFD；(3)求三棱锥C-BGF日勺体积.

3、(•广州质检)如图4,四边形ABCD是矩形,平面ABCD，平面BCE,BE1EC.

BF

(1)求证：平面AEC_L平面ABE；(2)点F在BE上.若DE〃平面ACF,求能时值.

DD

234、(•佛山质检)在直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB=1,如=近AB_LBC,CDJ_BD,如图6(1).把

△ABD沿BD翻折，使得平面A'BDJ_平面

BCD,如图(2).

⑴求证:CD_LA'B；

⑵求三棱锥A'—BDC的体积;

⑶在线段BC上与否存在点N,使得A'N_LBD?若存在，祈求出芯的值；若不存在，请阐明埋

由.

5、（深圳一模）如图甲，0OH勺直径45=2,圆上两点C、O在直径钻的两侧，使/。8二二，ADAB=~.沿

43

直径A4折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），尸为3c的中点，E为AO的中点.根据图乙解

答下列各题：（1）求三棱锥48II勺体积；（2）求证：CB人DE；

（3）在80上与否存在一点G,使得户6〃平面4C/）?若存在，试确定点G的位置：若不存在，请阐明理由.

（图甲）

立体几何知识点

一、空间几何体

1.多面体：由若干个多边形围成日勺几何体，叫做多面体。围成多面体日勺各个多边形叫做多面体

U勺面,相邻两个面I内公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

2.棱柱：有两个面互相平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，

由这些面所围成的I多面体叫做棱柱。两个互相平行日勺面叫做底面,其他各面叫做侧面.

3.棱锥：有一种面是多边形，其他各面都是有一种公共顶点的三角形，由这些面所围成H勺多面

体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多

边形的中心。

4.棱台：用一种平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。曰正棱锥截得

的楼台叫做正棱台。

正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的

截面是相似的正多边形

5.旋转体：由一种平面图形绕一条定直线旋转所形成日勺封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做

旋转体的轴，

6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形口勺直角边、直角梯形垂直于底边的腰所

在日勺直线为旋转轴，其他各边旋转而形成的I曲面所围成H勺几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等日勺矩

形、等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台日勺侧面展开图问题时，常常用

到弧长公式I=aR

7.球：以半圆的直彳仝为旋转轴，旋转一周所成日勺曲面叫做球间.球面所围成的几何体叫做球体（简

称球）

8.简朴空间图形的三视图：一种投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内日勺图形

叫做俯视图。一种投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图

形叫做主视图（正视图）。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，一般把这

个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内日勺图形叫做左视图（侧视图）。三视图H勺主视

图、俯视图、左视图分别是从物体口勺正前方、正上方、正左方看到口勺物体轮廓线【向正投影围成

的平面图形。

（1）.三视图画法规则:

高平齐：主视图与左视图日勺高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图日勺长应对正

宽相等：俯视图与左视图日勺宽度应相等

（2）.空间几何体三视图：止视图（从前向后的止投影）;

侧视图（从左向右的正投影）；

俯视图（从上向下正投影）.

例题1.某叫棱，锥底面为直角梯形，

一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，

则其体积为.

例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，

其中棱尸4垂直于底面，它日勺三视图对日勺的是（B）

（3）.空间几何体的直观图——斜二测画法特点:

①斜二测坐标系的），轴与x轴正方向成45。角；②原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不

变；③原来与），轴平行日勺线段仍然与y平行，长度为原来的二分之一.

常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为2日：1.

例.假如一种水平放置日勺平面图形的斜二测直观图是一种底仍为45。，腰和上底均为1的等腰

梯形，那么原平面图形的面积是（A）.

A.2+V2B.上野C.D.1+V2

9.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，〃为高，力为斜高，/为母线）：

S直枝柱侧而积=chS网柱恻=27S正核推恻面积二万。/?’S网傩侧而积=尉

S正枝台恻面枳=5（。|+c2）"S回台侧面积=（r+R）7dS阴柱表=2疗（尸+/）S阮惟表=R（广+/）

品"表=+H+R/+R2）S球面二4乃改

10柱体、锥体、台体和球的体积公式：

唳=S〃=Sh=7rr2h%％惟=家.

匕.=1（S+VFs+S）h%］台=g（5'++S）〃=g4（产+水+R2）hV球二

例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一种底边长为8、高

为4H勺等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一种底边长为6、高为4H勺等腰三角形.

11）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S

⑵V=64........7分（3）5=40+2472.....12分

例4.已知各顶点都在一种球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是（C）

A.16万B.20〃C.247rD.32〃

/?

例5.半径为R口勺半圆卷成一种圆锥，则它口勺体积为——.

24

练习：

1.已知一种几何体H勺三视图及其大小如图1,这个几何体的体积V=（B）

A.\2兀B.16万C.18乃D.64乃

2.右图是一种几何体H勺三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

俯视图

(C)

A.32兀8.16万C.12)。.84

3.某几何体日勺三视图如图所示，其俯视图是由一种半圆与其直径

构成的图形，则此儿何体H勺体积是（C）

20

A.一71B67rC吗D-T

3*3

4•一种几何体的三视图是三个边长为1时止方形和对角线,

如图所示，则此儿何体的体积为（C）

正视图左视图

5.一种空间几何体的三视图如图所小,根据图标出口勺尺寸，可得这个几何体的体积为（A）

A.4B.8C.12D.24

-2T

左视图

6.若一种底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所

示，则这个棱柱的体积为

A.12&B.6C.276D.366/A

7.如图是一种几何体的三视图，若它的体积是36，则a=（C）

S观图

A.&B.4C.6D.J

8.某几何体日勺三视图如图所示（俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等等腰三角形）根据

图中标出日勺数据，可得这个几何体的表面积为（B）

A.4+4百B.4+475C.-D.12

3

9.一种几何体的二视图如图所示，则该几何体的体积为（A）

£

-TB.

10.已知某几何体的三视图如右,根据图中标出口勺尺寸（单位：s〃）

可得这个几何体的体积是（B）

3ft.hlARI

AQ

A.—cnrB.—cm3C.2dD.4cf?r

33

|<——>1

々VU日方附

二、立体几何点线面的位置关系Am»*»t

例2.如图，在正四棱柱A6CD—中，E、F分别是BC,W

中点，则如下结论中不成立的是（D）

A.EF与5"垂直B.E尸与8行直

C.E尸与CD异面D.石厂与A£异面

例2.己知〃21是两条不一样直线，圆〃〃是三个不一样平面，下列命题中对日勺的是（D）

A.若mIIa,nIIa,则〃？IInB.若a_Ly,J31y,则aIIP

C.IIa,m!/MaIIpD.若〃?_La.〃_La.则mIIn

例3.已知平面a_L平面B,。0[3=/,点人£&,A",直线AB〃/,直线AC_LA直线m〃

a,m〃B,则下列四种位置关系中，不•一•定•成立的是(D)

A.AB〃加B.ACl/nC.AB〃BD.AC±&

练习：

1.设直线〃7与平面a相交但不垂直，则下列说法中对日勺的是(B)

A.在平面a内有旦只有一条直线与直线，〃垂直B.过直线〃?有旦只有一种平面与平面。垂直

C.与直线机垂直H勺直线不*可能与平面。平行D.与直线平行的平面不♦可能与平面。垂直

2.设a,人为两条直线,a,4为两个平面，下列四个命题中，对的的命题是(D)

A.若a,Z?与a所成的I角相等，则a〃Z?B.若a!/a，b〃0、a//P,则a〃Z?

C.若aua,bu/3,a//h,则二〃/?D.若。_10,b上。,a_L尸，则Q_LZ?

3.给出下列四个命题：

①垂直于同一直线日勺两条直线互相平行.

②垂直于同一平面H勺两个平面互相平行.

③若直线/"2与同一平面所成的角相等，则44互相平行.

④若直线44是异面直线，则与44都相交的两条直线是异面直线.

其中假*命题日勺个数是(D)

(A)l(B)2(C)3(D)4

4.设a、(3、/为平面，〃?、〃、/为直线，则，〃J■〃口勺一种充分条件是(D)

(A)a±p,aryP-Ijn±/(B)acy=m,oc工八/3Ly

(C)aLy,PLy,mLa(D)nLa.nLp.mLa

5.设〃i、〃是不一样的J直线，a、夕、y是不一样日勺平面，有如下四个命题:

①若。〃//,a〃y,贝②若a_L/,则〃z_L//

③若〃z_L。,〃2〃尸，则a_L/?④若/〃〃〃，〃ua,则团〃a

其中真命题的序号是（D）

A.①④B.②③C.②④D.①③

6.对于平面。和直线成“，下列命题中假•命•题•H勺个数是（D）

①若mLaym1n,则nila;②若mHa,nila,则〃2〃n;

③若机〃a,〃ua,则"2，〃；④若〃1//〃，〃4a,则〃a

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.若/,小，〃是互不相似的空间直线，a,夕是不重叠的平面，则下列命题中为真命题的是（D）

A.若a〃从/Ca,〃U£,则/〃〃B.若aJL£,/Ca,则

C.若/_!_〃，/%_!_〃，贝!］/〃，〃D.若/_La,I////,则a_L。

8.如〃、〃是两条不重叠的直线，。、小y是三个两两不重叠的J平面，给出下列四个命题：

①若a_La,〃_!_//,则a〃鹿港a_Ly,^±7,贝ija〃4

③若a〃6aUa,bU/f,贝hi〃。④若a〃夕，aOy=a,0Cy=b,则a〃Z?

其中对的命题的序号有.［答案］①④

1、线线平行的判断：

⑴平行于同一直线日勺两直线平行。

（2）假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线

和交线平行。

（3）假如两个平行平面同步和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（4）垂直于同一平面的两直线平行。

2、线面平行的判断:

（1）假如平面外日勺一条直线和平面内日勺一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）两个平面平行，其中一种平面内日勺直线必平行于另一种平面。

例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体中，E是AA的中点，求证：4。〃

平面8。七。

证明：连接AC交6。于0,连接石O,

•・・七为4A的中点，。为ACH勺中点

・・・E0为三角形AAC的中位线AE0//A.C

又E0在平面石内，AC在平面3DE外

，4。〃平面BDE.

例2、（证明是平行四边形）已知正方体ABCD-^C^,0是底48C。对角线的交点.求证：C\O

〃面；

证明：（1）连结AG，设AGC旦A=q,连结政

•・,A3co-44G。是正方体AACG是平行四边形

・・・AiG〃AC且A