2023年概率统计练习题

一、填空题

1)已知P(A)=0.5,P⑻=0.6,P(AuB)=0.8,则P(AB尸0.3

2)己知尸(A)=0.4,P(8|A)=().5,则RA-8)=0.2

3)设对于事件A,B,C,有P(A)=P(B)=P(0=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则

A,B,C三个事件至少出现一种的概率为5/8

4)从0,123,,9十个数字中任取三个，则取出日勺三个数字中不含()和5的概率为

7/15

5)从3黄12白共15个乒乓球中任取1个出来，取到白球日勺概率为4/5

6)己知P(A)=0.5,P(B)R.3,且BuA,则“却A)=3/5

7)已知随机变量的分布律为，则常数为27/38

8)随机变量X的概率密度为，以Y表达X的三次独立反复观测中事件出现日勺

次数，则—9/64

9)已知随机变量服从二项分布，则X日勺数学期望为4

10)已知随机变量FI勺概率密度为，则5

11)设随机变量的方差为，则=81

12)设D(X)=25,D(Y)=36,pXY=0.4,则。(X+7)=85

13)设，，，则37o

14)已知服从二维正态分布，且与独立，则为0

15)设x〜N(O,I),y〜N(O,I),x与y相互独立，则X+Y服从N(OZ分布。

16)设Xi”2,…，Xg相互独立且都服从N(0,1),则X；+X；+…+X；服从_/(9)_分布。

二、选择题

1)某射手持续射击目日勺三次，事件表达第次射击时击中，则“至少

有一次击中”为()

(A)A4UA&UA2A(B)AU4uA(C)AU4UA(D)4HA

2)某人射击中靶的概率为，独立射击3次，则恰有2次中靶的概率为()0

(A)4)3(B)4)2i(C)4)2^(D)(I)3

444444

3)将个球随机放入个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等也许的，

则第

，个盒子有球的概率()

Mn1M-1

(A)(B)(o(1-—r；(D)i-(^—^)no

nMMM

4)已知持续型随机变量的概率密度为，则为()o

(B)1

(A)1(C)(D)-1

5)设服从参数为1的指数分布，则为()

(A)e-1-e1\(B)(C)e-e，(D)e-1-e

6)设随机变量的方差为,为常数，则=()。

(A)aD(X)(B)-aD(X)(C)D(X)(D)a2D(X)

7)随机变量口勺概率密度函数为，且E(X)二则为3/5为

6/5；D(X)为2/25o

8)已知随机变量n勺概率密度为，，则的数学期望与方差为()。

(A)3,2(B)3,6(C)—3,2(D)3,8

9)设服从参数为的指数分布，则为()

(A)-(B)5(0-5(D)--

55

10)设随机变量与Y日勺协方差为，则随机变量()

(A)互相独立(B)存在线性关系(C)不存在线性关系(D)选A.B.C都不对日勺

11)随机变量服从参数为的分布，则为()

(A)1/4；(B)2;(01；(D)l/2o

12)若，则服从()

(A)F(n,l)分布(B)/(〃)分布©«〃)分布(D)F(1,n)分布

三、计算题

灯泡耐用时间在1000小时以上口勺概率为0.3,求三个灯泡在使用1000

小时后来最多有一种坏了H勺概率？

解记A={灯泡耐用时间在1000小时以上},随机变量

由已知，即

尸{X=A}=C；,A=0,1,2,3

因此P{X<1}=P{X=0}+P{X=1}=0.33+C^0.320.7=—

125

已知随机变量日勺分布函数为，求离散型随机变量的I分布律。

解随机变量X=1,2,3

99

P{X=1}=F(1)-F(r)=——0=—

1919

P{X=2}=F(2)-F(2-)=-

191919

154

P{X=3}=F(3)-F(3-)=1--=-

因此X的)分布律为

X123

964

p历历而

将3个球随机地放入编号分别为123,4的四个盒子中，以X表达其中至少有一种

球日勺盒子的I最小号码（如表达第1,2号盒空，第3号盒至少有一种球），求随机变量

X的分布律。

解X可取1,2,3,4

RX=1}=空苧出宁；P22)=空苧/L*

P{X=3}=3C=1P(X=4)=1

43443

因此随机变量X的)分布律

X1234

371971

P¥7不不

己知持续型随机变量的分布函数为，求常数和以及的概率密度。

解由题意，可知

‘尸(0-)=产(0)=F(0+)J鸳。=[鹭=brb=0

F(7r~)=F(TT)=F(7V^)lim(A^+Z?)=lim1=1[k7r+h=\

、XT*XTN、

因止匕4二)~/二0。

71

0,x<0

此时持续型随机变量XH勺分布函数为F(x)二，2,O«x<;r

71

l,X>7T

其概率密度f(x)=F\x]…

.0,其它

设随机变量X的概率密度为，求常数A以及概率。

解由题意，知I，即，有，

尸{0vX<0.5}=『2xdx=；

6.设随机变量与的分布相似，其概率密度为

己知事件与互相独立，且，求常数

解由题意，记，显然

________3

P(A|JB)=1-P(AUB)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-(1-P)2=-

4

因此，即

,有，

7、己知二维持续型随机变量的联合密度函数为，求。

解由于，因此，

-c=l

8

有c=8

此时二维持续型随机变量(x,y)的联合密度函数为

8e-(2t+4^,x>0,y>0

八内)=0,其它

-KO4-CO-KO-4y

故P（X<y）=jJ8e一=8je_2x.（Z^）：c次

ox（）4

-3

8、己知二维随机变量（x,y）的分布函数为

（1）确定常数AB,C；

（2）求有关X和YH勺边缘分布函数;

解（1）由分布函数的性质

F(+OO,-K)O)=limA(B+arctanx)(C+arctany)=A(B+9Y)=i

X-»+00

F(-co,y)=limA(B+arctanx)(C+arctany)=A(B-—)(C+arctany)=0

-2

71

F(x,-oo)=limA(B+arctanx)(C+arctany)=A(B+arctanx)(C——)=0

y-2

有A=*,5=C=3

此时二维随机变量（x,y）FI勺分布函数为

Fx(x)=F(x,4-co)=lim-^(—+arctanx)(—+arctan?)=—(—+arctanx)

、TV22为*2

L/、L/、1・1K、/)\171

K(v)=r(+oo.v)=lim—(—+arctanx)(—+arctanv)=­(—z+arctanv)

・jy/r227i2

9、已知随机变量（x,y）的概率密度为

求：（l）有关的边缘概率密度；（2）概率

解/x*)=J：f(x,y)dy=<JT

0,其它

f\dx=1+y,-1<y<0

J-y

人（〉'）=匚[ldLv=l-}\0<j<l

Jy

0,其它

p{x<i}=/^42以x，y^y=『公]。'=：

10、一袋子中有10个球，其中2个是红球，8个是白球。从这个袋子中任取

一种球，共取两次，定义随机变量X,Y如下:

v[0,若第一次取到的是白球；[0,若第二次取到的是白球;

[1,若第一次取到的是红球，[1,若第二次取到的是红球。

求在有放回抽样的状况下，X和Y的联合分布律及边缘分布律

8x2_4

解p{x=o,y=o}=------=—P{X=0r=l}=

10x1025,IOXIO_25

2x8_42x2_1

P{X=l,r=l}=

10xl0-2510xl0-25

X和YH勺联合分布律

01

016/254/25

14/251/25

进而X和Y边缘分布律分别是

X01

P4/51/5

Y01

P4/51/5

11.已知二维持续型随机变量的密度函数为，求。

同题7.

12.设和互相独立，月.都服从正态分布，求随机变量的密度函数。

类似P82例9.

13.设和互相独立，且都在区间上服从均匀分布.求的密度函数。

解：QX:U(O,1)

'加X)f/1,其0<他x<1,

同理可得，

加、)1。,其他

又和互相独立，

\/(Q=人⑴?加)，)■il,其0<他x<1,0<y<1,

规定的密度函数，可先求口勺分布函数，再求导可得的密度

函数

1.的分布函数

=蝌/(x,y)as)，(-?dv+?).

y?d

(1)当时，

(2)当时，

(3)当时，

当时，

综上，的分布函数为

io,d<0,

l-cr.0?d1,

Fz(")=『

1--(2-d)2,1?d2,

fl,2£d.

2.运用性质:得的密度函数为

40?d1,

fz(d}=2-f/,1?d2,

0,其他

解:U,V的也许取值都为1,2.

P（（;=l,y=l）=P（X=i,y=i）=p（x=i）p（y=1）=4/9;

P(iy=2,V=l)=p(X=2,r=l)+P(X=1,r=2)=P(X=2)P(K=1)+P(X=l)P(r=2)=4/9;

P(U=\,V=2)=0;

注意到：P(U=1)=4/9,P(V=1)=8/9,显然P(U=1,V=1)P(U=1)P(V=1),因此U,V不互

相独立。

15.若随机变量X的概率密度函数，求E(X)。

解：E(X)=jj/(x)dx=JOx-xdx+Jx(2-x)dx=l.

16.设随机变量(X,Y)日勺概率密度函数为

2-x-y,0<x<1,0<y<l

/(羽丁)=«

0,其他

求E(X)、E(Y),并判断X与Y与否互相独立。

£(2-x-y)*=|-x,0<x<l

解人(幻=「'/。，')办=，

0,其它

力()')=11/(乂)')公=

显然X与Y不互相独立

七(X)=匚xfx(x)dx=J：

(2)6

dxdy=

成丫)二〕二yfY^=£){|~y)^

17、设平面区域G由曲线及，，所围成，二维随机变量的区域G上

服从均匀分布，试求

解，从而随机变量的概率密度

—=一,(尤,y)GG

/8y)=SG2

o,其它

E(X)=JJxf(x,y)dxdy=JJ^xdxdy=^(e2-1)

(x.y)eR2(x.y)QG

1…1z,1

E(y)=jjyf(x,y)dxdy=jj-ydxdy=-(\---)

24e~

(x.y)eR1(x.y)^G

E(XY)=jjxyf(x,y)dxdy="}-xy'dxdy=}-

(x.y)eR2(x,y)eG'"

11(/-I)?

cov（x,y）=E（xy）-E（x）E（y）=l-l（^-i）.l（i-l）=

28/

18、持续型随机向量（X,Y）的密度函数为,求

解：由于，因此，从而k=8.

E(xy)=J：J：(羽y)公力=J；d8x2y2dy=^

&X)=匚匚M(X,y}dxdy=£dx^Sx2ydy=^~

成丫)=匚匚W。，y)dxdy=£*dx£，8xy2dy=^

4

所以,cov（x,y）二E（xy）—E（x）E（y）=——

225

19、设随机变量与日勺有关系数为，，求与日勺有关系数。

解:

cov(y,Z)_cov(y,X-0.4)=covQr,X)

=PYX=・

P\'7.0,9

JD(Y、JD(Z)=gylgx-o.l-Jw7)J。历

设随机变量服从上的均匀分布，求（1）的概率密度与两个边缘概率

10、

密度（2）概率以及两个随机变量的有关系数。

解由随机变量服从上日勺均匀分布,

此时，从而随机变量的概率密度

—=2,（x,v）eG

/（x,y）={SG

0,其它

f*）=/a）汹=」2dy=2(D,()(x<l

(1)x

0,其它

fvMv=2y,0<y<l

人（）'）=匚汕=Jo

0,其它

P[X<0.5}=f：fx(x)dv=J：2(l-x)dr=1

E(X)=匚xfx(x)ck=J：2x(1-=g

22

4X2)=j■二xfx(A)CLV=J：2x(l-A)ch=1

E(XK)=ffx)/(x,yXhdy=£<hf2A}dy=

(x.y-e/?3

D(X)=E(X2)-F2(X)=1-1i

故

O318

同理E⑴=2/3,D(y)=—

IO

1121

cov(x,y)=£(xy)_E(x)E(y)=1_g，3=B

covtx^y)

因此

Q*，y=Jb(xjJb(y)一

21.某企业生产的|机器无端障工作时间X有密度函数，（单位：万小时），企业

每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之间出故障，则应

予以更换，这时每台亏损1200元;若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修,

由企业负责维修，由企业承担维修费400元；在2万小时后来出故障，则顾客自

己负责。求该企业售出每台机器的平均利润？

解记丫=｛售出一台机器的利润)

-1200,0<X<1.2

由已知y=g(X)=(1600-4(X)=120(),1.2<X<2