2025-2026学年广东省中山市烟洲中学高三（上）9月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省中山市烟洲中学高三（上）9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1−x≥0},B={x|x−2x≤0}，则A∩B=A.[0,1] B.[−1,0) C.(1,2) D.(0,1]2.设f(x)是R上的可导函数，甲：“f(x)在区间D上存在极值”，乙：“∃x0∈D，使得f′(xA.甲是乙的充要条件 B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分又不必要条件3.若命题“∀x>0,x+4x≥m”是假命题，则m可能是A.2 B.3 C.4 D.54.已知函数f(x)=(a−3)x+5,x≤12ax,x>1是(−∞,+∞)上的减函数，那么aA.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，且f(x)在[−2,2]上单调递增.设a=f(74)b=f(72)A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a6.已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2−x)，则不等式f(2x−3)>f(x)的解集是(

)A.(−∞,53)∪(3,+∞)B.(53,3)7.设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则2a2a+1+X0abP11cA.1 B.2 C.4 D.8.已知函数f(x)=ln(e2x+eA.若x1>x2，则x1+x2−2>0 B.若x1>x2，则二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若关于x的不等式在x∈(0,1)上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有(

)A.2x2−x<0 B.x+1x>210.已知函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠A.a+b<0，ab=0 B.a+b<0，ab>0

C.a+b<0，ab<0 D.a+b>0，ab>011.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下列条件：(1)f(xy)=yf(x)−xf(y)；(2)当x>1时，f(x)>0，则A.f(1)=0 B.当0<x<1时，f(x)<0

C.f(x2)≥2f(x) D.f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是

13.已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，则f(x)的值域为______．14.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算过第n关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为______，若直接挑战第4关，则过关的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．

(1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α=0.001的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联．性别是否喜欢排球运动是否男生女生(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得P(X=k)取得最大值时的k值．P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：χ2=n(ad−bc)16.(本小题15分)

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ex−m(x+1)2，m∈R．

(1)若m=12，判断f(x)的单调性；

17.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，AD=2BC，E为PD的中点，如图所示．

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)若△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD=2，求二面角P−AC−E的余弦值．18.(本小题17分)

某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数(单位：千人)如下：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日第x天12345参观人数y2.22.63.15.26.9(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明(保留小数点后两位)；(若|r|>0.75，则认为y与x的线性相关性很强)，并求出y关于x的线性回归方程；

(2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为12，16，13，且出学校与进学校选择相同门的概率为23，选择与入校不同两门的概率各为16.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列，期望及方差．

附：参考数据：i=15xiyi=72,i=15x19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx+m2x2，ℎ(x)=ex．

(1)设g(x)=ℎ(x)−f(x)，若g(x)的导函数g′(x)在(1,4)上单调递减，求实数m的取值范围；

(2)若m=−1，证明：当x>1时，函数y=f(x)图象上任意一点处的切线总在y=f(x)的图象的上方；

(3)若不等式nℎ(2x)+(n+2)ℎ(x)+x+1<0对任意参考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BCD

10.ABC

11.AB

12.−4

13.[0,+∞)

14.712

3515.(1)由等高堆积条形图知，男生喜欢排球运动的有100×0.3=30(人)，不喜欢排球运动的有100×0.7=70(人)；

女生喜欢排球运动的有100×0.6=60(人)，不喜欢排球运动的有100×0.4=40(人)，所以2×2列联表为：性别是否喜欢排球运动合计是否男生3070100女生6040100合计90110200零假设为H0：性别与是否喜欢排球运动无关，

根据列联表中的数据，得χ2=200×(30×40−70×60)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x0.001，

依据α=0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联．

(2)由(1)知，喜欢排球运动的频率为90200=920，所以随机变量X～B(40,920)，

则16.(1)若m=12，则f(x)=ex−12(x+1)2，则f′(x)=ex−(x+1)，x∈(0,+∞)，

令ℎ(x)=f′(x)=ex−(x+1)，则ℎ′(x)=ex−1，

因为x>0，所以ℎ′(x)>0，即函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，

则ℎ(x)>ℎ(0)=0，即f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．

(2)令f(x)=0，可得m=ex(x+1)2，

所以y=m与y=ex(x+1)2恰有两个交点，

设ℎ(x)=ex(x+1)2，则ℎ′(x)=ex(x−1)(x+1)17.(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，

因为E是PD的中点，所以EF//AD，AD=2EF，

又AD//BC，AD=2BC，

所以EF//BC，EF=BC，

所以四边形BCEF是平行四边形，所以BF//CE，

又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE//平面PAB．

(2)解：取AB的中点O，连接OP，

因为△PAB为等边三角形，所以OP⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OP⊂平面PAB，

所以OP⊥平面ABCD，

以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，作Az//OP，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(1,0,3)，E(12,1,32)，

所以AP=(1,0,3)，AC=(2,1,0)，AE=(12,1,32)，

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=x+3z=0n⋅AC=2x+y=0，

取z=1，则x=−3，y=23，所以18.(1)由题意可知，x−=1+2+3+4+55=3，

则r=i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2i=15yi2−5x−2=72−5×3×455−5×3295.86−5×42=12158.6≈0.95，

因为r≈0.95>0.75时线性相关程度高，

所以y与x线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合，

所以b=i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=72−5×3×455−5×32=1.2，X01234P81272731所以E(X)=4×14=119.(1)g(x)=ℎ(x)−f(x)=ex−xlnx−m2x2，

所以g′(x)=ex−(1+lnx)−mx=ex−mx−lnx−1，

令k(x)=ex−mx−lnx−1，k′(x)=ex−m−1x，

因为g′(x)在(1,4)上单调递减，

所以k′(x)=ex−m−1x≤0对于x∈(1,4)恒成立，

可得m≥ex−1x对于x∈(1,4)恒成立，

令G(x)=ex−1x，则x∈(1,4)时，m>G(x)max，

易知G(x)在(1,4)上单调递增，所以G(x)max<G(4)=e4−14，

所以m≥e4−14，即实数m的取值范围为[e4−14,+∞)．

(2)证明：当m=−1时，f(x)