高考数学一轮复习 专题01 函数的性质（奇偶性、对称性、周期性）难点突破（教师版）

专题01函数的性质（奇偶性、对称性、周期性）难点突破知识讲解一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个,都有f(-x)=f(x),那么函数就叫作偶函数

关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个,都有f(-x)=-f(x),那么函数就叫作奇函数

关于原点对称函数奇偶性的几个重要结论(1)为奇函数⇔的图象关于原点对称;为偶函数⇔的图象关于轴对称.(2)如果函数是偶函数,那么.(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即,其中定义域是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.(6)设的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明与的关系,只有当各段上的都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.二、周期性1.周期函数:对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.

2.最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作的最小正周期.

三、对称性1.若函数满足,则函数的图象关于直线x=a+b2对称.特别地,当时,,则函数的图象关于y轴对称,此时函数是偶函数.

2.若函数满足f(x)=2b-f(2a-x),则函数的图象关于点对称.特别地,当时,,则函数的图象关于原点对称,此时函数是奇函数.

函数图象的对称性(1)若函数是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线对称.

(2)若对于上的任意都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则函数的图象关于直线对称.

(3)若函数是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数的图象关于点中心对称.

题型一、函数奇偶性的判断1.判断下列函数的奇偶性.(1);(2)【详解】(1)由得且,所以的定义域为,定义域关于原点对称,所以,所以,故是奇函数.(2)易知函数的定义域为,定义域关于原点对称,又当时,,则当时,,故;当时,,则当时,,故.故原函数是偶函数.2.（2021年全国乙卷数学试题）设函数,则下列函数中为奇函数的是().A. B.C. D.【答案】B【详解】由题意可得.对于A,不是奇函数;对于B,是奇函数;对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．判断函数奇偶性的方法:(1)根据定义判断,首先看函数的定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对称的条件下,再化简解析式,根据与的关系作出判断.(2)利用函数图象特征判断.(3)分段函数奇偶性的判断,要分别从或来判断等式或是否成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.题型二、根据奇偶性求值1.（2023年贵阳模拟数学试题）设函数的最大值为,最小值为,则的值是（）.A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【详解】令,由,得.,则函数是定义域为的奇函数,所以,所以.2.（2023年哈尔滨模拟数学试题）函数f(x)=x(ex+e-x)+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为,则的值为（）.A.-2 B.0 C.2 D.4【答案】C【详解】依题意,令,显然函数的定义域为,又,即函数是奇函数,因此,函数在区间上的最大值与最小值的和为0,而,则有,于是得,所以的值为2.3.（2021年新高考全国Ⅱ卷数学试题）设函数的定义域为R,且为偶函数,为奇函数,则（）.A.B.C. D.【答案】B【详解】因为为偶函数,所以.又因为为奇函数,所以,所以,可得,所以,故B正确.4．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数，，则．【答案】【分析】发现，计算可得结果.【详解】因为，，且，则.【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.6．（2023年湖南省联考数学试题）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是.【答案】/【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和，求出的值，即可得到，所以化简，即可得到答案【详解】已知，，则，故函数在定义域内为非奇非偶函数，令，则，则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为，则，∴，所以，∴当时，，∴关于中心对称，【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：若，则函数关于对称；若，则函数关于中心对称；若，则是的一个周期利用函数的奇偶性求函数值,有时需根据函数所给表达式抽离出部分具有奇偶性的解析式来求解,若所给的函数有位置偏移,则可利用奇偶函数的对称性结合图象来求解函数值.题型三、根据奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若函数为偶函数，则．【答案】1【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．4．（2023年北京模拟数学试题）若函数在定义域上为奇函数,则实数k=.

【答案】【详解】因为函数在定义域上为奇函数,所以,即,化简得,即,解得,经检验,当时,函数为奇函数.已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个:一是利用(奇函数)或(偶函数)在定义域内恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函数一般利用求解,偶函数一般利用求解.用两种方法求得参数后,一定要注意验证.题型四、根据奇偶性求解析式1．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,.

【答案】【详解】当时,,设,则,∴.又为奇函数,∴,∴,∴.2．（2019年全国Ⅱ卷数学试题）设为奇函数,且当时,,则当时,().A． B．C． D．【答案】D【详解】∵当时,,∴当时,,.又∵为奇函数,∴当时,.3．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则．【答案】0【分析】根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.【详解】解：因为为偶函数，所以＝，即＝，所以函数关于对称，所以＝，又因为为奇函数，所以＝－，所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，即＝－，所以＝－，＝－＝，即＝，所以的周期为4，在＝－中令

，得，所以，即，又因为，所以，即，所以，所以当时，，所以，所以，，，，所以则0.已知函数的奇偶性求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出解析式,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.题型五、根据奇偶性判断图象特征1．下列四个选项中的函数,其图象可能是右图的是（）.A．B．C．D．【答案】C【详解】选项A,D为偶函数,故排除;又选项B的曲线不过原点,故排除.故选C.2．已知函数,若的图象如图所示,则的解析式可能是（）.A． B．C．D．【答案】C【详解】∵,,,∴是偶函数且.∵,,,∴是奇函数且.由图象知,函数是奇函数且.对于A,,,,函数不是奇函数,故A错误;对于B,,无意义,图象不过原点,故B错误;对于C,,,,函数是奇函数,故C正确;对于D,,无意义,图象不过原点,故D错误.故选C.3．（2022年高考最后一卷（押题卷一）数学试题）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（

）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．是奇函数D．的图象关于点对称【答案】C【分析】由周期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.【详解】由可得2是函数的周期，因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以，，所以是奇函数，4．已知函数，其中，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形【答案】C【分析】由解析式易得且定义域为且即可判断C；对求导，并讨论、研究在上的符号判断A、B；根据是否为定值判断D.【详解】由题设，，定义域为且，所以关于对称，C正确；又，当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；当时，在上，即在上递增，B错误；由，不可能为定值，故D错误.【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据、是否成立判断对称性(为常数).利用函数的奇偶性与其图象的对称性,结合图象直观求解相关问题.题型六、函数的周期性及应用1．（2023年山东一模数学试题）已知函数是定义在上的奇函数,对任意的实数,,当x∈(0,2)时,,则（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由,知的周期,又是定义在上的奇函数,∴.2．（2023年黑龙江二模数学试题）设是定义在上的周期为2的函数,当时,则.

【答案】1【解析】由题意得,.3．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））已知在R上是奇函数，且，当时，，则（）A．-2 B．2 C．-98 D．98【答案】A【分析】根据题意可知函数的周期为，即可利用周期性和奇偶性将转化为，即可求出．【详解】∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数，∴，而，即.【点睛】本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题．4．（2023年山东模拟数学试题）已知定义在上的奇函数满足,若,则（）.A．-4 B．-2 C．0 D．2【答案】B【详解】因为定义在上的奇函数满足,所以,所以,所以是周期函数,周期为4,所以.(1)函数周期性常用的结论对函数的定义域内任一自变量,①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(3)在解决具体问题时,要注意结论“若是函数的周期,则也是函数的周期”的应用.题型六、函数的对称性1．已知的定义域为,其函数图象关于直线对称,且,若当时,,则下列结论错误的是（）.A．为偶函数B．在上单调递减C．的图象关于直线对称D．【答案】B【解析】的图象关于直线对称,则.又,则的周期,∴,∴为偶函数,故A正确.当时,单调递增,∵,∴在上也单调递增,故B不正确.∵的图象关于直线对称且,∴的图象关于直线对称,故C正确.,故D正确.2．已知函数的定义域为,对任意都有,且,则下列结论正确的是

（）.A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的最小正周期为D．为偶函数【答案】D【解析】∵,∴的图象关于直线对称,故A、B错误;∵函数的图象关于直线对称,∴,又,∴,又为偶函数,∴为偶函数,故D正确;取时,满足题意,但是的周期为2,故C错误.3．已知函数的定义域为,且为奇函数,其图象关于直线x=2对称.当x∈[0,4]时,f(x)=x2-4x,则f(2022)=.

【答案】4【解析】∵的图象关于直线对称,∴.又为奇函数,∴,故,∴.又,∴.4．（2023届湖南省一模数学试题）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解.【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，即函数关于点对称，所以有①，又②，所以函数关于直线对称，则由②得：，，所以，则又由①和②得：，得，所以，即，所以函数的周期为，则，所以，【点睛】结论点睛：函数的定义域为，对，（1）存在常数，使得，则函数图象关于点对称.（2）存在常数使得，则函数图象关于直线对称.5．（2023届联考全国卷文科数学试题）已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（

）．A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2C．函数关于点中心对称 D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.【详解】因为为偶函数，所以，所以，，所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误；因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故C错误，由与得，即，故，所以函数的周期为4，故B错误；，故D正确．轴对称的常用结论(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数为偶函数函数的图象关于直线对称.命题角度2函数的点对称6．已知函数满足,若函数与图象的交点为,则（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】由,得,所以函数的图象关于点对称,又函数的图象也关于点对称,所以每组对称点满足,所以.7．（2023年湖州模拟数学试题）已知函数为奇函数,,且与图象的交点分别为,则.

【答案】12【解析】∵函数为奇函数,∴函数的图象关于点对称,又,其图象也关于点对称,∴两函数图象的交点关于点对称,则.点对称的常用结论(1)函数的图象关于点对称.(2)函数为奇函数函数的图象关于点对称.题型七、具体函数的性质综合应用1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．2．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,则函数图象的对称中心的坐标为（）.A．(-1,2) B．(-1,-2)C．(1,2) D．(1,-2)【答案】A【解析】设点为图象的对称中心,则有为奇函数.设,所以,又,可得,所以解得所以函数图象的对称中心的坐标为.3．（2023年河南模拟数学试题）已知定义域为的函数的图象关于原点对称,且,当时,则（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意,定义域为的函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数,又,所以的图象关于点对称,所以,即函数是周期为8的周期函数,则,.因为当时,所以,则,则有.故.4．关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称

②在区间单调递减③的极大值为0

④有3个零点其中所有正确结论的编号为（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据给定函数，计算判断①；探讨在上单调性判断②；探讨在和上单调性判断③；求出的零点判断④作答.【详解】函数的定义域为，对于①，，则，，的图象关于直线对称，①正确；对于②，当时，，在单调递增，②不正确；对于③，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；对于④，由得：，即或，解得或，于是得有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.5．（2023届重庆市质量检测数学试题）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.【详解】，故函数关于对称，又在上严格递减；即当且仅当时取得.函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法(1)函数的奇偶性、周期性、对称性,一般是知二得一,特别是已知奇偶性和对称性,一般要先确定周期性.(2)若奇函数在处有意义,则一定有,偶函数一定有,要注意这两个结论在解题中的应用.(3)如果的图象关于点对称,且关于直线对称,那么函数的周期.(类比的图象)(4)如果的图象关于点对称,且关于点对称,那么函数的周期.(类比的图象)(5)若函数关于直线与直线对称,则函数的周期是.(类比的图象)题型八、抽象函数的性质综合应用1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】试题分析：是偶函数，则的图象关于直线对称，又是奇函数，则，且是周期函数，且周期为8，所以．故选D．考点：函数的奇偶性，周期性．【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；2．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．考点：函数的周期性和奇偶性．3．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，，则，则；故；【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．4．已知函数在上有意义,记为函数的导函数,又是奇函数,则下列判断错误的有（）.A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数【答案】A【解析】若,则为奇函数,而为非奇非偶函数,所以A错误;因为是奇函数,所以,对于函数,有,所以是奇函数,所以B正确;对于函数,有,所以函数是偶函数,所以C正确;对于D,奇函数的导数是偶函数,因为,所以为奇函数,所以是偶函数,所以D正确.5．已知是定义在上的函数,且满足为偶函数,为奇函数,则下列说法错误的是（）.A．函数的周期为2B．函数的周期为4C．函数的图象关于点中心对称D．【答案】A【解析】因为为偶函数,所以,所以,则,所以函数的图象关于直线对称,因为为奇函数,所以,所以,所以,所以函数的图象关于点中心对称,故C正确;由与得,即,故,所以函数的周期为4,故A不正确,B正确;,故D正确..6．已知是定义域为的偶函数，若是偶函数，则＝（）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【分析】根据得到关于对称，得到，结合和为偶函数即可得周期为4，故可求出，则即可求值﹒【详解】为偶函数，则关于对称，即，即，即，关于对称，又是定义域为的偶函数，∴，∴，即，周期为，∴，.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论(1)若函数是奇函数,且,则必有,的图象关于点对称.(2)若函数是奇函数,则函数的图象关于点对称.(3)若函数是偶函数,且,则必有,的图象关于直线对称.(4)若函数为奇函数(或偶函数),则函数的图象关于点对称(或关于直线对称).(5)若函数满足,则函数的图象关于直线对称;(6)若函数满足,则函数以为周期.题型九、利用函数的性质解抽象不等式1．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．【详解】令，则，因此函数在上是奇函数．①当时，，在时单调递增，故函数在上单调递增．，，．②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），，的解集为．③当时，，不符合要求不等式的解集是，，．4．（2023届湖北省联合调研测试数学试题）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得.【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，又时，，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，所以在单调递增，所以，所以关于直线对称，且在单调递增．所以，两边平方，化简得，解得．【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设函数,则使成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为，即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.7．已知定义域为R的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据，可得，再由即可求解.（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，从而可得对一切有，由即可求解.【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由，知，解得.经检验，当时，，满足题意.（2）由（1）知，由上式易知在R上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是R上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.8．已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；(2)证明函数f(x)在R上的单调性；(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；(2)函数为R上的减函数，证明见解析；(3)．【分析】（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；（2）根据单调性的定义即可判断并证明；（3）先利用赋值法可求出，从而原不等式可化为，再根据函数的单调性可得，然后通过分离参数求最值即可解出．（1）因为函数的定义域为R，令，所以，即，令，所以，即，所以函数为奇函数．（2）不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．（3）由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．题型十、利用函数的性质解比较大小1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则A． B．C． D．【答案】D【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为满足，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则.由是定义在上的奇函数，且满足，得.因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，所以在区间上是增函数，所以，即.【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．3．已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由为偶函数得,所以,,所以,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】由对任意，有，得在上单独递减，所以.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5．已知定义在上的函数满足:①;②为奇函数;③当时,恒成立,则的大小关系是().A． B．C． D．【答案】C【解析】由可知函数的周期为2,所以,又为奇函数,所以为奇函数,所以,,.因为当时,单调递增,所以奇函数在(-1,1)上单调递增.所以,即.6．若定义在上的奇函数满足,且在[0,1]上是减函数,则有().A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以,所以函数的周期为4.又,所以的图象关于直线x=1对称,作出的草图,如图所示,由图可知.7．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．已知函数，则使得不等式成立的t的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的图象的对称轴以及函数的单调性，由此列出相应的不等式，解得答案.【详解】函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，当时，函数函数单调递增，函数单调递增，故单调递减，当时，单调递增，故由不等式成立可得：，整理得：且，故且，【点睛】本题综合考查了函数的对称性以及单调性的应用，解答时不能直接代入求解不等式，而是要判断函数的对称性和单调性，由此将转化为关于的不等式求解.9．已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的图象与的图象关于对称，可求出的表达式，再根据为奇函数求出，从而可知的单调性，即可解出不等式．【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于直线的对称点为在的图象上，所以，其定义域为，且为奇函数，所以，即，即，令，求导当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当且仅当时，，所以，即，故，易知函数在上递减，所以，不等式的的解集为．题型十一、原函数与导函数奇偶性的关系的应用1．（2023届湖北省调研考试数学试题）已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（

）A．0 B．3 C．4 D．1【答案】D【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解.【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，所以关于对称，关于对称，且，又，即，则关于对称，综上，，，则，所以，而，故，又，则关于对称，即，所以，则，所以.2．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则正确的有①． ②． ③． ④．【答案】②③【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故③正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故②正确，④错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故①错误.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然①，④错误，选②③.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故③正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故②正确，④错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故①错误.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．题型十二、利用抽象函数性质求和1．（2023届四川省诊断性考试理科数学试题）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（

）①的一个周期为2

②③的一条对称轴为

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，对于①，，，则函数的周期，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，，则，，则，由，则，故④正确.2．（2022年全国高考乙卷数学（