高考数学一轮复习 专题21 空间点、直线、平面之间的位置关系（教师版）

专题21空间点、直线、平面之间的位置关系（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布空间点、直线、平面之间的位置关系近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第16题,5分已知三棱锥外接求半径，求线段长2023年全国乙（文科），第19题,12分1、证明线面平行；2、求三棱锥的体积；2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第8题,5分圆锥体积相关计算2023年全国乙（理科），第9题,5分证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线面角的正切值2023年全国乙（理科），第19题,12分1、证明线面平行；2、证明面面垂直；3、求二面角2023年全国甲（文科），第10题,5分证明线面垂直，求三棱锥的体积2023年全国甲（文科），第16题,5分正方体的外接球、棱切球问题2023年全国甲（文科），第18题,12分1、证明面面垂直；2、求四棱锥的高2023年全国甲（理科），第11题,5分四棱锥表面积有关计算余弦定理解三角形2023年全国甲（理科），第15题,5分正方体的棱切球问题2023年全国甲（理科），第18题,12分1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线线相等；2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题形式出现，偶尔会在解答题中考查证明共面问题；2.考查判断点、线、面的位置关系；3.考查基本事实的应用以及共面的条件；【备考策略】1.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面的位置关系及符号表示；2.能用基本事实和定理判断或证明位置关系；3.会求异面直线所成的角；【命题预测】1.考查判断点、线、面的位置关系；2.考查基本事实的应用以及共面的条件；知识讲解一、平面的基本事实三个基本事实的“图形语言”“文字语言”“符号语言”图形语言文字语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C不共线⇒A,B,C确定平面α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,P∈l三个推论:推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间中线、面之间的位置关系1.空间中两条直线的位

置关系共面2.空间中直线与平面的

位置关系直线在平面内:直线与平面有3.空间中两个平面的

位置关系平行平面:两个平面唯一性定理:(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.三、异面直线1.异面直线过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.异面直线所成的角过空间任一点分别作异面直线与的平行线与,那么直线与所成的锐角或直角叫作异面直线与所成的角,其范围是.

四、直线与直线平行基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.

等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.一、空间中位置关系的判断空间中点、线、面位置关系的判断,常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用,特别要注意“构造法”的运用,通过构造长方体等模型,化抽象为直观,快速判断.二、异面直线的判定方法(1)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.求异面直线所成角的步骤一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角形,求出所作的角.常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°,故若所作的角为钝角,则其补角为异面直线所成的角.确定截面的主要依据:(1)平面的四个公理及推论;(2)直线和平面平行的判定和性质;(3)两个平面平行的性质;(4)球的截面的性质.考点一、基本事实的应用1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（

）

A．M，N，P，Q四点共面 B．C． D．四边形MNPQ为梯形【答案】D【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断，由三角形的中位线即可判断D.【详解】对于A选项，由条件可得，,，所以，所以，，，四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得，故B正确；对于C选项，由等角定理，知，，所以，故C正确；对于D选项，由三角形中位线的性质知，，，，所以,，所以四边形为平行四边形，故D不正确．2．如图,已知空间四边形,,分别是,的中点,,分别是,上的点,且,.求证:(1),,,四点共面;(2)直线,,共点.【详解】(1)连接,,如图所示.∵,分别是,的中点,∴.又∵,,∴,∴,∴,,,四点共面.(2)易知与直线不平行,但共面,设,∴平面,平面.又∵平面平面,∴,∴直线,,共点.3．如图所示,已知在正方体中,,分别是,的中点.求证:(1),,,四点共面;(2),,三线共点.【详解】(1)如图,连接,,.∵,分别是,的中点,∴.又∵,∴,∴,,,四点共面.(2)∵,,∴与必相交,设交点为,由直线,平面,得平面.同理平面.又平面平面,∴直线,∴,,三线共点.1．（2023届吉林省适应性测试数学试题）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（

）A．三点共线 B．四点异不共面C．四点共面 D．四点共面【答案】C【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线,再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上,同理判断,即可判断各选项的正误.【详解】因为,则四点共面.因为,则平面,又平面,则点在平面与平面的交线上,同理,也在平面与平面的交线上,所以三点共线;从而四点共面,都在平面内，而点B不在平面内，所以四点不共面，故选项B正确；三点均在平面内，而点A不在平面内，所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，即四点不共面，故选项C错误；，且，所以为平行四边形，所以共面，所以四点共面.2．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】对于B，证明即可；而对于，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．3．（2023年湖北省阶段性测试数学试题）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在BC，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（

）

①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】推导出，，从而，由此能证明四点共面；，从而直线与直线必相交，设交点为，证明点在直线上．【详解】如图所示，

，分别为，的中点，∴，，分别在，上，且，∴，，∴，则，，，四点共面，说法①正确；∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误；若直线与直线交于点，则由，平面，得平面，同理平面，又平面平面，∴则，，三点共线，说法③正确；说法中正确的有2个.考点二、空间位置关系的判断1．（2023年河南名校联考模拟数学试题）已知空间三条直线,,.若与垂直,与垂直,则（）A．与异面 B．与相交C．与平行 D．以上均有可能【答案】D【详解】∵,,∴与既可以相交,也可以异面,还可以平行.2．如图,两个正方形,不在同一个平面内,点,分别为线段,的中点,则直线与的位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．不确定【答案】C【详解】如图,取的中点,连接,,,则,又,∴,则,,,四点确定平面.又平面,平面,,平面,∴直线与是异面直线.3．已知平面，直线、，若，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，且，则或，即“”“”；若，且，则或、异面，则“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．1．（2023年广东省模拟数学试题）已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（

）A．，B．，C．，且D．，，【答案】C【分析】根据直线与平面位置关系的判定与性质，结合充分条件，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，，则直线与平行、相交或异面，所以A不符合题意；对于B中，若，，则直线与平行或异面，所以B不符合题意；对于C中，若，，，根据线面平行的性质定理，可得，所以“，且”是“”的充分条件，所以C符合题意；对于D中，若，，，则直线与平行或异面，所以D不符合题意.2．若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列结论正确的是（）.A.与,都不相交B.与,都相交C.至多与,中的一条相交D.至少与,中的一条相交【答案】D【详解】(法一)由于与直线,分别共面,故直线与,要么都不相交,要么至少与,中的一条相交.若∥,∥,则∥,这与,是异面直线矛盾.故至少与,中的一条相交.(法二:模型法)如图(1),与是异面直线,与平行,与相交,故A,B不正确;如图(2),与是异面直线,,都与相交,故C不正确.图(1)图(2)3．若,是异面直线,,是异面直线,则（）A． B．是异面直线C．相交 D．平行或相交或异面【答案】D【详解】,,的位置关系有下面三种情况,如图,由图形分析可知应选D.4．（2023年内蒙古自治区模拟数学试题）已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若，，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命題是（）A．①③ B．①② C．①④ D．③④【答案】A【分析】根据线线、线面和面面位置关系的有关知识对各个命题进行分析,由此确定正确答案.【详解】对于①,若,则分别为一个法向量，由,所以①正确；对于②,若,则可能是异面直线，所以②错误；对于③，若,则,由于,所以,所以③正确；对于④，若，，且,此时无法判断是否与平面内的两条相交直线垂直；故④错误；考点三、异面直线所成的角1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（

）A． B．AB与平面所成的角为C． D．与平面所成的角为【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件证明，得到或其补角为异面直线与所成的角.在中利用余弦定理计算可得结果.【详解】如图，连接.因为为中点，且，所以四边形为矩形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角.设圆的半径为1，则.因为，所以.在直角中，，得.所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.1．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.【详解】设正方体的棱长为，连接，，，因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，2．（2023年浙江省模拟数学试题）在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可得异面直线与所成角为（或的补角），在中利用余弦定理运算求解.【详解】取的中点，连接，因为，且，则为平行四边形，可得，又因为分别为的中点，则，所以，故异面直线与所成角为（或的补角），设正方体的棱长为2，则，在中，由余弦定理，所以异面直线与所成角的余弦值是.3．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，设正三棱柱的各棱长为,则，设直线与所成角为，在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．考点四、空间几何体的截面问题1．（2023年贵州模拟数学试题）在正三棱柱中,,,,分别在,上,且,则过,,三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（）A．4 B．26 C．6 D．210【答案】C【详解】如图,连接,易知,过,,三点的截面的面积,即等腰梯形的面积.因为正三棱柱中,,,所以,,,所以等腰梯形的面积为.2．已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（

）A．6 B．10 C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，延长交于，连接交于点，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.【详解】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则所以,则直线平面延长交于，连接交于点，连接,则为的中点.则平面截该正方体所得的截面图形为由条件可得,则,则,取的中点，连接，则，所以所以,则则所以截面图形周长为3．（2023年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷数学试题）如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可得过点，，的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，结合台体的体积公式分析运算.【详解】如图，连接，，∵，分别为棱，的中点，则，又∵，且，则为平行四边形，∴，可得，故则过点，，的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为．设正方体的棱长为2，则，可得正方体的体积，三棱台的体积，故分成的上、下两部分几何体的体积比为．1．如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用棱柱，棱台的体积公式结合条件即得.【详解】由题可知平面与棱柱上，下底面分别交于，，则∥，，显然是三棱台，设的面积为1，的面积为S，三棱柱的高为h，，解得，由，可得.2．在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.【详解】延长交于点，连接交于点，如图，在正方体中，面面，面面，面面，又四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.又，在等腰梯形中，过作，.3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

【基础过关】1．（2023年贵州省文化水平测试数学试题）下列说法正确的是（

）A．三个点可以确定一个平面 B．两条平行直线一定能确定一个平面C．两条直线没有公共点则一定平行 D．若直线不在平面内，则与无交点【答案】B【分析】根据空间点线面关系辨析即可；【详解】选项A:不共线的三个点可以确定一个平面，选项错误；选项B:两条平行直线一定能确定一个平面，选项正确；选项C:两条直线没有公共点可以平行或者异面，选项错误；选项D:若直线不在平面内，则与无交点或者有一个交点，选项错误；2．下列命题中正确的命题为.①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；③若直线异面，异面，则异面；④若，则.【答案】①②【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.【详解】对于①，设平面平面，因为，所以平面，所以，同理，，故三点共线，①正确；对于②，因为，所以可以确定一个平面，因为所以，所以，又，所以，因为，所以或，又，所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；对于③，直线异面，异面，但是平行，所以③错误，如下右图；对于④，，但，所以④错误，如下左图.3．（2023年湖南省模拟数学试题）下列命题正确的为（

）①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；④已知a，b，c为三条直线，若，，则.A．①③ B．②③ C．②④ D．①②【答案】D【分析】根据基本事实3可判断①的正误，利用基本事实及3个推论可判断②的正误，根据可能的反例可判断③④的正误.【详解】对于①，设平面平面，因为，平面，所以，同理，，故、、三点共线，①正确；对于②，因为，所以，可以确定一个平面，因为，，，，所以，所以，又，所以.同理，也可以确定一个平面，且，，因为，故重合，故这四条直线共面，所以②正确；对于③，直线、异面，、异面，则，可能平行、相交或异面，所以③错误；对于④，，，则，可能平行、相交或异面，所以④错误.4．已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.【详解】解：当直线，且，，则，或，与相交，故充分性不成立，当直线，且，时，，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分条件.5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.

【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．7．（2023年江苏省模拟数学试题）正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为.【答案】【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.【详解】连接并延长交延长线于，则过Q作，交于，交于，则，过K作，交于，连接，则六边形即为平面截正方体所得截面，又均为棱的中点，则截面的周长为.8．（2023届云南省教学质量监测数学试题）如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（

）A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.【详解】分别取的中点，连接，如图即为过点截正方体所得的截面图形，由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以,所以，同理，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形为菱形，9．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形，从而可求出截面的面积.【详解】取的中点，的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴故四边形为平行四边形，所以，又，∴，同理，且，所以过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为.10．正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，由且，得是平行四边形，则且，又且，得且，则共面，故平面截该正方体所得的截面为.又正方体的棱长为2，，，，，故的面积为.11．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线【答案】B【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．【能力提升】1．（2023年河北省模拟数学试题）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线；③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线.其中正确结论的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可.【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示：对②，因为分别为，，，的中点，所以，又，则，故四点共面，故直线与直线是共面直线，①错误；对②，在过四点的平面外，故直线与直线是异面直线，②正确；对③，N，Q重合，故直线与直线共面，③正确；对④，在过四点的平面外，故直线与直线是异面直线，④正确；综上有②③④正确.2．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（

）①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，则．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答.【详解】长方体中，平面为平面，直线为直线，如图，当直线为直线时，满足，，而，①不正确；当直线为直线时，满足，，而，②不正确；在平面内取两条相交直线，如图，因，则，而，则，又，是相交直线，所以，③正确；因，过直线作平面，如图，则有，又，，于是得，从而得，④正确，所以给定命题正确的是③④.3．如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（

）A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形C．当时，为六边形 D．当时，的面积为【答案】C【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.【详解】解：当时，如下图1，是四边形，故A正确；当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：当时，如下图3，是五边形，C错误；当时，与重合，取的中点，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为.4．在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得.【详解】延长交的延长线于，连接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直线即为直线，取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点，∴，∴，，∴，即.5．如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为.【答案】/【分析】连接、、，分析可知平面截正方体所得截面为梯形，计算出梯形的面积，即可得解.【详解】连接、、，如下图所示：在正方体中，且，故四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，则且，，因为平面平面，平面平面，设平面平面，则，因为为平面与平面的一个公共点，且，，故直线与直线重合，且，故梯形为截面截正方体所得截面，过点、在平面内作，，垂足点分别为、，因为，同理可得，则梯形为等腰梯形，因为，，，则，所以，，在平面内，，，，则，故四边形为矩形，所以，，则，，因此，截面面积为.6．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；7．如图，正方体的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P到平面的距离等于线段PM的长度，则线段长度的最小值为．【答案】【分析】根据抛物线的定义，可知点是以为焦点，以为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P到平面的距离等于线段的长度，可知点是以为焦点，以为准线的抛物线.以中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，设点的方程为：当时，长度最小为8．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（

）.A．B．C． D．【答案】B【分析】如图1，取的中点，的中点，连接，，，，则，，所以，故，在同一平面内，然后利用面面平行的判定定理可证得平面平面，所以平面截该正方体所得截面为平面，然后在图2中的图形计算即可.【详解】如图1，取的中点，的中点，连接，，，，则，，所以，故，在同一平面内，连接，因为，分别为，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理平面，因为，、平面，所以平面平面，，，，等腰梯形如图2，过，作的垂线，垂足分别为，，则四边形为矩形，所以，故所得截面的面积为.9．已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过作交延长线于，为中点，连接，利用长方体性质及线面平行的判定证面、面，即面为平面，再延长交于，连接，利用线线、线面的性质确定面为平面截长方体所得截面，最后延长分别交于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及求截面面积即可.【详解】过作交延长线于，则，若为中点，连接，而M为的中点，在长方体中，而且面，由面，则面，由面，则面，所以面即为平面，延长交于，易知：为中点，则且，又且，故为平行四边形，则且，故共面，连接，即面为平面截长方体所得截面，延长分别交于一点，而在中都为中位线，由，，则，故交于同一点，易知：△为等腰三角形且，，则，可得，又.【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面，再根据平面的基本性质找到平面截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.10．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【分析】由题意知，三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐