高考数学一轮复习 专题22 直线、平面位置关系（平行、垂直）的判定与性质（学生版）

专题22直线、平面位置关系（平行、垂直）的判定与性质（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布直线、平面位置关系（平行、垂直）的判定与性质近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第16题,5分已知三棱锥外接求半径，求线段长2023年全国乙（文科），第19题,12分1、证明线面平行；2、求三棱锥的体积；2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第8题,5分圆锥体积相关计算2023年全国乙（理科），第9题,5分证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线面角的正切值2023年全国乙（理科），第19题,12分1、证明线面平行；2、证明面面垂直；3、求二面角2023年全国甲（文科），第10题,5分证明线面垂直，求三棱锥的体积2023年全国甲（文科），第16题,5分正方体的外接球、棱切球问题2023年全国甲（文科），第18题,12分1、证明面面垂直；2、求四棱锥的高2023年全国甲（理科），第11题,5分四棱锥表面积有关计算余弦定理解三角形2023年全国甲（理科），第15题,5分正方体的棱切球问题2023年全国甲（理科），第18题,12分1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线线相等；2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为高考必考知识点，常在解答题中第一问考查证明问题；2.考查线线平行、线面平行、面面平行；3.考查线线垂直、线面垂直、面面垂直；【备考策略】1.能对空间中的平行关系进行判断或证明.2.能利用平行关系的性质求解相关问题.3.能够判断并证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系.4.能利用垂直的性质解决空间基本图形位置关系的相关问题.【命题预测】1.考查线线平行、线面平行、面面平行；2.考查线线垂直、线面垂直、面面垂直；知识讲解一、直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

a⊄α,b⊂α,性质定理一条直线与一个平面,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行⇒线线平行)

a∥α,a⊂β二、平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)

a∥α,b∥α,性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面,那么两条平行(面面平行⇒线线平行)

α∥β,α⋂γ=a,平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若,,则.(3)两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.利用线线平行证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两条直线平行.在证明过程中,注意内、外、平行三个条件,缺一不可.应用线面平行的性质定理证明线线平行的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.要证线线平行,可把它们转化为线面平行.即在应用性质定理时,一般遵循从“高维”到“低维”的转化,即从“线面平行”到“线线平行”;而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反.证明平面与平面平行的常用方法(1)面面平行的判定定理(主要方法).(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用).(3)利用平面平行的传递性,如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行(客观题可用).(1)如果两个平面平行,那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面;(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行⇒线线平行”).在解决线面平行问题时,要恰当应用三种平行关系之间的转化:其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.三、直线与平面垂直的判定定理和性质定理1.定义:如果直线与平面内的直线都垂直,那么直线与平面垂直.

2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直

a,b⊂α,a⋂b=O垂直于同一个平面的两条直线

a⊥α,b⊥α⇒a四、平面与平面垂直的判定定理和性质定理1.定义:如果两个平面所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.

2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直

l⊥α,l⊂β⇒α两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

α⊥β,l⊂β,α⋂β=a1.垂直间的三种转化关系2.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.1.证明直线和平面垂直的常用方法:(1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);(3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);(4)面面垂直的性质.2.证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.1.垂直于同一平面的两条直线平行.2.如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线与平面内所有直线都垂直.3.垂直于同一直线的两个平面平行.线面角的几何法解题步骤:1.找直线上一点P作平面的垂线;2.连接垂足与斜足,得线面角;3.解直角三角形,得到线面角.1.点到平面的距离的常见解法(1)定义法:找到(或作出)表示距离的线段,根据线段(所求距离)所在三角形求解.(2)等积法:利用同一个三棱锥的体积相等求解.(3)转化法:将点面之间的距离转化为线面之间(或面面之间)的距离求解.2.线到平面的距离,平面与平面的距离问题都是转化为点到平面的距离求解.面面垂直常利用面面垂直的判定定理(线面垂直⇒面面垂直).证明时,先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.当两个平面垂直时,则需利用面面垂直的性质定理,分三步走:第一步,找到两个平面的交线;第二步,在其中一个面内找与交线垂直的直线;第三步,得线面垂直.找二面角常常采用垂线法:第一步,找到两个面的交线;第二步,从一个平面内找一点,向另一个平面作垂线;第三步,从垂足再向交线作垂线,连线构造,得二面角的平面角或是补角;第四步,解三角形,得二面角的大小.1.平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”.2.垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件,同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.

考点一、直线与平面平行1．（2023年河北省模拟数学试题）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．(1)求证：QN平面PAD；(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．1．如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点,点为上一点.求证：平面；2．（2020年北京市高考数学试题）如图，在正方体中，E为的中点．求证：平面；3．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．求证：∥平面．考点二、平面与平面平行1．（2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．（）求证：平面平面．（）求证：．2．（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.（1）证明:A1BD//平面CD1B1;（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.3．（2023届浙江省名校新高考研究联盟联考数学试题）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.证明：平面平面；1．（2023年陕西省模拟文科数学试题）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.2．（2023届广东省模拟数学试题）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.证明：平面平面；3．如图，已知正方体的棱长为分别是的中点.(1)求证：平面平面；(2)求证：平面；考点三、平行关系的综合应用1．（2022年全国高考甲卷数学（文科）试题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．2．（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．求证：平面；3．如图，正方体中，分别为的中点，求证：平面平面.1．（2023年天津市名校联考数学试题）如图：在正方体中，为的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)若为的中点，求证：平面平面.2．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：(1)平面PCD；(2)平面平面PBC．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上.(1)证明：；(2)若AB的中点为N，求证：平面APD.考点四、直线与平面的垂直关系1．（2022年全国高考甲卷数学（理科）试题）在四棱锥中，底面．证明：；2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

证明：；3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））如图，在三棱锥中，，，为的中点．证明：平面；1．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．

求证：平面PAB；2．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：平面PAC；(2)求证：3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题（海南卷））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．证明：平面PDC；考点五、平面与平面的垂直关系1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体中，，E为的中点．证明：平面平面；3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．4．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．证明：平面平面；1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.考点六、平行与垂直关系的综合应用1．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.2．如图，在四棱锥中，ABCD，，过点E的平面与棱PC，PD，AD分别交于点F､H､G，且平面PAB平面EFHG.(1)求证：EG平面PDC；(2)若平面，求三棱锥的体积.3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.1．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．2．在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.3．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面.【基础过关】1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面0不平行的是（

）A．B．C．D．2．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.证明：；5．（2023年浙江省联考数学试题）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.(1)求证：平面；(2)已知点在上满足平面，求的值.6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．证明：；7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．(1)求证：平面；(2)求证：F为的中点；(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2(1)证明：平面平面；9．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线10．（2023年河南省模拟数学试题）如图所示，在三棱柱中，分别是，，的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面．11．如图，已知，，，平面⊥平面，，，F为的中点．证明：平面；12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．(1)求证：QN平面PAD；(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．13．（2019年江苏省高考数学试题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．14．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．15．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，分别是的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面．【能力提升】1．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.求证：；2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.3．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．(1)求证：平面平面PAC；(2)求证：平面PAC；(3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．4．如图，四边形是菱形，且，P是平面外一点，为正三角形，平面平面.(1)若G为边的中点，求证：平面；(2)若E为边BC的中点，能否在边PC上找出一点F，使平面平面？5．（2023届江苏省二模数学试题）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，，为异于的一条母线．(1)若为的中点，证明：平面；6．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的正切值；(3)求直线与平面所成角的正弦值.9．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．证明：平面平面；10．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（

）.A．B．