高考数学一轮复习 专题29 椭圆及其性质（学生版）

专题29椭圆及其性质（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布圆锥曲线近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第11题,5分直线与圆的位置关系，参数方程2023年全国乙（文科），第13题,5分根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第5题,5分2023年全国乙（文科），第7题,5分根据标准方程确定圆的圆心和半径几何概型2023年全国乙（理科），第11题,5分2023年全国乙（文科），第12题,5分直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标2023年全国乙（理科），第12题,5分直线与圆的位置关系向量的数量积2023年全国乙（理科），第20题,12分2023年全国乙（文科），第21题,12分1、根据离心率求椭圆方程；2、椭圆中的定点问题；2023年全国甲（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题2023年全国甲（理科），第8题,5分2023年全国甲（文科），第9题,5分双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦2023年全国甲（理科），第12题,5分椭圆的定义、焦点三角形2023年全国甲（理科），第20题,12分2023年全国甲（文科），第20题,12分1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线方程；2、抛物线中的三角形面积问题2.命题规律及备考策略【命题规律】1.对椭圆定义的考查，多以选择题或填空题的形式出现，主要考查椭圆的标准方程以及简单几何性质的应用，也有可能与函数的性质综合起来命题.2.对椭圆几何性质的考查，常常会结合圆锥曲线统一定义，通过给定直线与椭圆的位置关系，求相关的距离、交点坐标等，还可能考查椭圆的离心率等.【备考策略】1.了解椭圆产生的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.3.理解并掌握椭圆的标准方程以及简单几何性质，包括定义、范围、对称性等；4.掌握圆锥曲线的统一定义，理解离心率等概念，并学会应用；5.掌握直线与椭圆的位置关系问题的解题的解题方法，理解并掌握常用的解题技巧；【命题预测】1.基础知识考查：这类题目主要考查学生对椭圆的基本性质和特征的掌握，如椭圆的定义、长轴和短轴、离心率等；2.解题方法考查：这类题目主要考查学生解决椭圆问题的解题方法和技巧，如椭圆与直线的位置关系、椭圆中的最值问题等；3.应用能力考查：这类题目主要考查学生运用椭圆的知识解决实际问题的能力，如利用椭圆解决工程问题、利用椭圆的性质解决物理中的力学问题；知识讲解一、椭圆的定义平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于||)的点的集合叫作,这两个定点叫作椭圆的,焦点间的距离叫作椭圆的.

(1)数学表达式为.(2)在椭圆的定义中,特别要注意条件,否则轨迹不是椭圆.当时,动点的轨迹是线段;当时,动点的轨迹是不存在的.二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标轴长轴的长为;

短轴的长为

焦距

离心率的关系

1.点和椭圆的位置关系的判断:(1)点在椭圆内;(2)点在椭圆上;(3)点在椭圆外.2.与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.在以椭圆上一点和焦点为顶点的中,若,则(1)(焦半径公式,为椭圆的离心率),;(2);(3),当,即为短轴端点时,取得最大值,最大值为;(4)焦点三角形的周长为.3.常用二级结论(1)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦,称为通径.(2)AB为椭圆的弦,,弦中点为.①斜率:.②弦的斜率与弦中点和椭圆中心的连线的斜率之积为定值.(3)在椭圆上一点处的切线方程为.椭圆的定义及应用(1)椭圆定义的应用主要有判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将椭圆的定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法:根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为,不必考虑焦点位置,用待定系数法求出的值即可.求椭圆离心率的关键是借助图形建立关于的关系式(等式或不等式),转化为关于的关系式,常用方法如下:(1)直接求出,利用离心率公式e=ca求解;(2)由与的关系求离心率,利用变形公式e=1−b2a2(3)构造的齐次式,离心率的求解中可以不求出的具体值,而是得出与的关系,从而求得.利用椭圆的几何性质求值或范围的思路(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.(3)最值问题:列出关于所求值的表达式,构造基本不等式或利用函数单调性求解.直线与椭圆位置关系的判定方法:将直线与椭圆方程联立,消去(或)后得到关于(或)的一元二次方程,设其根的判别式为,①直线与椭圆相交;②直线与椭圆相切;③直线与椭圆相离.解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路弦长的求解方法(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为的直线与椭圆相交于两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:①;②.考点一、椭圆的定义及应用1．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（

）A．10 B．15 C．20 D．252．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（

）A．48 B．40 C．28 D．243．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是.1．（2023届百校大联考数学试题（新高考））椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（

）A．8 B．7 C．6 D．52．已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（

）A． B． C． D．3．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．考点二、椭圆的标准方程1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（

）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．3．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（）A． B． C． D．2．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（

）A．B．C． D．3．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（）A．B．C． D．考点三、椭圆的几何性质1．若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（

）．A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等2．已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（

）A．2 B．4 C．6 D．123．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为.1．（2023年湖南省模拟数学试题）曲线与曲线（且）的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等2．（（全国1卷）2021届高三5月卫冕联考数学（文科）试题）已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A． B．4 C． D．83．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为．考点四、椭圆的离心率1．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）A． B． C． D．3．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．1．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（）A． B． C． D．3．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．考点五、与椭圆有关的最值问题1．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）A．14 B．16 C．18 D．202．已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（

）A．4 B．2 C． D．3．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．214．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．62．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．13．在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为（）A． B． C． D．5．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（

）A．1 B． C． D．考点六、直线与椭圆的位置关系1．（2023年山东省联考数学试题）已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为．2．（2022年北京市高考数学试题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.1．（2021年北京市高考数学试题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2．（2022年高考天津卷数学真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．3．（2021年天津高考数学试题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．考点七、椭圆的实际应用1．（2023届江苏省调研测试数学试题）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．2．（2023届河北省调研数学试题）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（

）A． B． C． D．3．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（

）A．3 B．6 C． D．4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（

） B． C． D．5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为．1．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）A． B． C． D．2．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．3．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点A的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在x轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（）cm.A．10 B．11 C．12 D．13【基础过关】1．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（

）A． B． C． D．2．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（

）A．9 B．3 C．4 D．83．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A． B． C． D．4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A．B．C． D．5．已知椭圆：的中心为，过焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．6．（2023届浙江省名校联盟联考数学试题）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是.9．（2023年浙江省名校协作体模拟考试数学试题）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（

）A． B． C． D．10．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．5 C． D．1311．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．12．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．13．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．14．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（

）A． B．C． D．15．已知椭圆过点，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.16．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.(1)求椭圆的焦点坐标；(2)求双曲线的标准方程．17．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．18．已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．【能力提升】1．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023届广东省二模数学试题）已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为．3．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为.4．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（

）A． B．C． D．7．设F1，F2是椭圆C：=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（

）A． B． C． D．8．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（

）①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．10．（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线、的斜率分别为、，且．①求证：直线经过定点．②设和的面积分别为、，求的最大值．11．（2019年北京市高考数学试题（文科））已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.12．已知椭圆的离心率为，短轴长为4