2025年统计学期末考试：抽样调查方法与统计推断试题型

2025年统计学期末考试：抽样调查方法与统计推断试题型考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分）1.下列抽样方法中，属于概率抽样的是（）。A.方便抽样B.判断抽样C.简单随机抽样D.配额抽样2.在其他条件不变的情况下，要使估计总体均值时的置信区间宽度变窄，应采取的措施是（）。A.减小置信水平B.增大样本量C.增大总体标准差D.减小样本量3.设总体服从正态分布，且总体方差已知，欲构造总体均值μ的95%置信区间，应使用的分布是（）。A.t分布B.标准正态分布C.χ²分布D.F分布4.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则（）。A.α+β=1B.α和β可以同时减小C.通常在样本量固定时，减小α会增大βD.β表示未拒绝原假设时，原假设为真的概率5.对一批产品进行抽样调查，目的是推断整批产品的合格率。这种调查属于（）。A.参数估计B.假设检验C.相关分析D.方差分析二、填空题（每空2分，共10分）6.抽样调查中，由抽样引起的误差称为_________，而由登记、测量等非抽样原因引起的误差称为_________。7.在分层抽样中，为使总体方差在层内尽可能小、层间尽可能大，通常采用_________的原则进行分层。8.若要检验某新教学方法是否比传统方法更有效（μ₁>μ₂），通常需要构造一个关于μ₁-μ₂的_________区间或进行_________检验。9.标准正态分布的检验统计量通常记为Z，其分布服从_________分布。10.当样本量n足够大时（通常n≥30），样本均值的抽样分布近似服从_________分布。三、简答题（每题5分，共15分）11.简述简单随机抽样的定义及其主要特点。12.解释置信区间的含义，并说明影响置信区间宽度的因素有哪些。13.简述假设检验中，拒绝原假设所依据的基本思想。四、计算题（每题10分，共30分）14.某工厂生产一批零件，总量为10000件。为检验其重量是否符合标准，采用简单随机抽样方式抽取了200件进行检测，测得样本均值重量为50.5克，样本标准差为0.8克。假设零件重量服从正态分布。（1）求该批零件平均重量的95%置信区间。（2）若要求置信水平仍为95%，且估计的精度（绝对误差）不超过0.1克，至少需要抽取多少件样品？15.某研究者欲调查某市居民的智能手机使用时长是否超过每周20小时。随机抽取了100名居民，调查结果显示平均使用时长为21.5小时，样本标准差为5小时。假设居民使用时长服从正态分布。（1）在α=0.05的显著性水平下，检验该市居民智能手机平均使用时长是否超过每周20小时。（2）计算该假设检验的P值。16.某公司想比较新旧两种广告方案的效果。随机抽取了200名消费者，其中100人看到新广告，100人看到旧广告。调查结果显示，看到新广告的消费者中有65人表示会购买该产品，看到旧广告的有50人表示会购买。（1）在α=0.01的显著性水平下，检验新广告方案是否比旧广告方案更能促使消费者购买该产品。（2）计算该假设检验的P值。试卷答案一、选择题1.C2.B3.B4.C5.A二、填空题6.抽样误差，非抽样误差7.同质性，差异性8.置信，单边（或右尾）9.标准正态（或N(0,1)）10.正态（或近似正态）三、简答题11.简单随机抽样是指从总体N个单位中，完全随机地抽取n个单位作为样本，使得每个可能样本被抽中的概率都相等的一种抽样方法。其主要特点是：每个单位被抽中的概率相同；独立抽取，每次抽取一个单位后，总体单位数不变，且下一个单位被抽中的概率不受前面抽取结果的影响。12.置信区间是指在一定的置信水平（1-α）下，由样本统计量估计出的总体参数可能存在的区间范围。它表达了估计的精确度，置信水平表示区间估计的可靠程度。影响置信区间宽度的因素主要有：置信水平（置信水平越高，区间越宽）；样本量（样本量越大，区间越窄）；总体标准差（总体标准差越大，区间越宽）。13.假设检验的基本思想是小概率反证法。即首先假设原假设H₀为真，然后基于样本信息计算出一个小概率事件发生的概率（即P值）。如果这个概率非常小（小于预设的显著性水平α），则认为在H₀为真的情况下，观察到的样本结果不太可能发生，从而有理由怀疑H₀的真实性，并倾向于拒绝原假设H₀；反之，如果计算出的概率较大，则没有足够的理由拒绝H₀。四、计算题14.（1）总体量N=10000，样本量n=200，样本均值x̄=50.5，样本标准差s=0.8。由于n≥30且总体标准差已知，可用Z分布构建置信区间。置信水平1-α=95%，α=0.05，查标准正态分布表得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。总体均值μ的95%置信区间下限为：x̄-Z_(α/2)*(σ/√n)=50.5-1.96*(0.8/√200)=50.5-1.96*0.0566=50.5-0.111=50.389。总体均值μ的95%置信区间上限为：x̄+Z_(α/2)*(σ/√n)=50.5+1.96*(0.8/√200)=50.5+1.96*0.0566=50.5+0.111=50.611。故该批零件平均重量的95%置信区间为（50.389克，50.611克）。（2）要求精度（绝对误差）E=0.1克，置信水平仍为95%，α=0.05，Z_(α/2)=1.96。总体标准差σ=0.8。由于总体标准差已知，使用Z分布公式计算所需样本量：n=(Z_(α/2)*σ/E)²=(1.96*0.8/0.1)²=(15.68/0.1)²=156.8²≈24604.22。由于样本量必须为整数，且要保证精度，应向上取整，n=24605。至少需要抽取24605件样品。15.（1）检验假设H₀:μ≤20vsH₁:μ>20(单边检验)。样本量n=100，样本均值x̄=21.5，样本标准差s=5。总体方差未知但n≥30，可用Z检验。检验统计量Z=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(21.5-20)/(5/√100)=1.5/0.5=3。显著性水平α=0.05，单边检验临界值为Z_(α)=Z_0.05=1.645。由于计算得到的Z检验统计量Z=3>Z_(α)=1.645，落在拒绝域内。决策：拒绝原假设H₀。结论：在α=0.05的显著性水平下，有证据表明该市居民智能手机平均使用时长超过每周20小时。（2）P值是观察到的样本结果或更极端结果在原假设H₀为真时发生的概率。对于单边检验H₀:μ≤20vsH₁:μ>20，P值=P(Z>3)。查标准正态分布表或使用计算器，P(Z>3)≈0.00135。P值≈0.00135。16.（1）设p₁为新广告方案中消费者表示会购买的proportion，p₂为旧广告方案中消费者表示会购买的proportion。检验假设H₀:p₁≤p₂vsH₁:p₁>p₂(单边检验)。样本量n₁=100,n₂=100。新广告中有65人购买，旧广告中有50人购买。样本比例x̄₁=65/100=0.65,x̄₂=50/100=0.50。总体比例之差的标准误SE=√[(x̄₁(1-x̄₁)/n₁)+(x̄₂(1-x̄₂)/n₂)]=√[(0.65*0.35/100)+(0.50*0.50/100)]=√[0.2275/100+0.25/100]=√[0.002275+0.0025]=√0.004775≈0.0691。检验统计量Z=(x̄₁-x̄₂)/SE=(0.65-0.50)/0.0691=0.15/0.0691≈2.165。显著性水平α=0.01，单边检验临界值为Z_(α)=Z_0.