2023年多元微积分知识点总结

一、多元函数的微分学

二元函数的I定义

设有两个独立的变量X与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的

值与其对应，那末变量z称为变量x与yl向二元函数。

记作：z=f(x,y).其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量,自变量x与y的变域D称为函数的定义域。

有关二元函数的定义域日勺问题

我们懂得一元函数的定义域一般来说是一种或几种区间.二元函数的定义域一般是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的

连通的J部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区

域称为闭域，不包括边界在内口勺区域称为开域。

假如一种区域1)(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M,则称D为有界区域；否贝J称I)为无界区域。常

见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示:

例题：求z的定义域.

解答：该函数欧I定义域为：x»后,y20.

二元函数的I几何表达

把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)U勺定义域D；再过D域中得任一

点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应H勺函数值z：

当M点在I)中变动时，对应的P点的轨迹就是函数Z=f(x,y)的几何图形.它一般是一张曲面，

其定义域D就是此曲面在xOy平面上11勺投影。

二元函数的极限及其持续性

在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数口勺极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变

量x与y趋向于有限值，与。时，函数/的变化状态。

在平面xOy上，(x,y)趋向("n)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的状况要比一元函数复杂得多。假如当点

6,丫)以任意方式趋向点(1,n)时，f(x,y)总是趋向于一种确定的J常数A,

那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)-(，n)时的极限。

这种极限一般称为二重极限。

下面我们用e-6语言给出二重极限的I严格定义：

二重极限的定义

假如定义于(，，只)的某一去心邻域的一种二元函数f(x,y)跟一种确定日勺常数A有如下关系：对于任意给定的正数

e,无论怎样小，对应的必有另一种正数3,但凡满足

0<(bj2+8-77)2方

的一切(x,y)都使不等式

—后成立,

那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)f(g,n)时的二重极限。

正像一元函数的极限同样，二重极限也有类似的运算法则：

二重极限的运算法则

假如当(x,y)—(g,n)时,f(x,y)-*A,g(x,y)-*B.

那末⑴：f(x,y)±g(x,y)-*A±B；

(2)：f(x,y)g(x,y)-AB；

(3)：f(x,y)/g(x,y)-*A/B；其中B#0

像一元函数同样，我们可以运用二重极限来给出二元函数持续的定义：

二元函数的持续性

假如当点(x,y)趋向点(x°,y。)时,函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x°,y°)处的函数值f(x0,y,),那末称函数

f(x,y)在点(x。,y。)处持续.假如f(x,y)在区域I)口勺每一点都持续，那末称它在区域D持续。

假如函数z=f(x,y)在(xo,y。)不满足持续的定义，那末我们就称(xo,义；是f(x,y)的一种间断点。

有关二元函数间断的问题

二元函数间断点的I产生与一元函数的情形类似，不过二元函数间断的状况要比一元函数复杂，它除了有间断点，尚有间

断线，

二元持续函数的和，差，积，商(分母不为零)和复合函数仍是持续函数.

1

z=sm—

例题：求下面函数H勺间断线V

1

z■sin一

解答：x=0与y=0都是函数号时间断线。

偏导数

在一元函数中，我们已经懂得导数就是函数日勺变化率。对于二元函数我们同样要研究它的r变化率〃。然而，由于自变

量多了一种，状况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y。)沿不一样方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时

不一样的，因此就需要研究f(x,y)在(xo,y°)点处沿不一样方向的变化率。

在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率.

偏导数的定义

设有二元函数z=f(x,y),点(Xo,y。)是其定义域D内一点.把y固定在yO而让x在xO有增量△*,对应地函数

z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)

△xZ=f(xo+Ax)-f(xo,y(i).

假如与之比当△x-O时口勺极限

11m空.11m"。士卜，凡匕-勉？0?

2ToAxAXTOAX存在,

那末此极限值称为函数z=f(x,y)在G,yo)处对x的偏导数。

-0)或副

记作:

有关对x的偏导数口勺问题

函数z=f(x,y)在(x。,y。)处对XH勺偏导数，实际上就是把y固定在力当作常数后，一元函数z=f(x,y°)在x<>处的导数

同样,把x固定在xo,让y有增量△、；,假如极限

inn-------------------------------

好TO4y存在，

那末此极限称为函数z=(x,y)在(x。,党处对y的偏导数.

驹

记作Fy(xo,yo)或方

偏导数的求法

当函数z=f(x,y)在(Xo,yo)的两个偏导数「'x(x(i,yo)与fy(xo,y°)都存在时,

我们称f(x,y)在(x。,yo)处可导。假如函数f(x,y)在域D日勺每一点均可导，

那末称函数f(x,y)在域D可导。

此时，对应于域D的每一点(x,y),必有一种对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一种新的二元函数,

称为f(x,y)对x(对y)U勺偏导函数。简称偏导数。

例题：求z=Ysiny的偏导数

一"2xsin/

解答：把y看作常量对X求导数，得以

dz2

—=xcosy

把x看作常量对y求导数，得如

注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。

例题：求V」z的偏导数。

解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。

X，

把y和Z当作常量对X求导，得所卜+-Z

duyx

—■--+―

把x和z当作常量对y求导，得力Z.

%=_三

把x和y当作常量对z求导，得技一了.

高阶偏导数

假如二元函数z=f(x,y)的偏导数fKx,y)与f\(x,y)仍然可导，

那末这两个偏导函数H勺偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数.

二元函数的二阶偏导数有四个:f〃xx,f"xy,f〃yx,f"yy.

注意：f"xy与f"yxH勺区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再

对x求偏导.当f"xy与f〃yx都持续时，求导的成果于求导的先后次序无关。

323

例题：求函数Z=I」一2女丁的二阶偏导数.

?-L=6xy-6y3-18x27-3x2-18x72

解答：aJ，如，dxdy

全微分

我们匕经学习了一元函数的微分的概念了，目前我们用类似的思想措施来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概

念推广到多元函数。

这里我们以二元函数为例。

全微分的定义

函数z=f(x,y)H勺两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)分别与自变量Fl勺增量Ax,Ay乘积之和

f'x(x,y)Ax+fv(x,y)Ay

若该体现式与函数的I全增量△，之差.

当P-0时，是P(0=4方+(助2)

H勺高阶无穷小，

那末该体现式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(有关4x,Ay)的I全微分。

记作：dz=fx(x,y)Ax+f*y(x,y)Ay

注意：X^Az=f*,(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+ap,(a是当P-0时H勺无穷小)

注意：在找函数对应的全增量时，为了使Az与偏导数发生关系，我们把由(XD,y0)变到(x°+Ax,w+4y)口勺过程分为两

部:先由点：xo,y。)变到点(xo,yo+Zky),再变到点(x0+4x,y0+4y).其过程如下图所示:

仔(叼+纱，％+Ay)

付为+Ay)，

«孙为)~

例题：求z=°sinCc+『)的全微分

解答：由于z；・c"sin(r+j)+e，cosa+,)，z；・e*cos(x+y)

因此6・z；dx+z；力-eX[sin(x+/)+co8a+y)]dx+excos(x+y)dy

有关全微分的问题

假如偏导数f\(x,y),f\(x,y)持续，那末z=f(x,y)一定可微。

多元复合函数的求导法

在一元函数中，我们已经懂得，更合函数曰勺求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。卜面

我们来学习多元函数日勺复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例:

多元复合函数的1求导公式

链导公式:

评•0区了)/■厂区J)均在(X,y)处可导，函数Z=F(U,V)在对应的(u,V)处有持续的|一阶偏导数,

那末，复合函数z•网。(＞，了)，厂区川］在(x,y)处可导,且有链导公式:

m

=-dv

吊

竺axm

=Fdv

all中

例题：求函数z-*("+(/+」)加-阶偏导数

解答：令〃,y-"+j,则z-ln(〃2+y)

由于

dz2udz1

22

mu+v"dvu+v

而

由链导公式可得:

dz2u1c2..

获F"E'F"+x)

|=J^,e^2/+^=；(4噌"+1)

方U+VU+FU+V

其中〃=/+),V=X2+7

上述公式可以推广到多元，在此不详述。

一种多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少

取决于与此刍变量有关的中间变量的个数。

全导数

由二元函数z=f(u,V)和两个一元函数"•r"叭X)复合起来H勺函数z--6(立材(切是xH勺一元函数.

dz

这时复合函数的导数就是一种一元函数的导数五，称为全导数.

此时的链导公式为：

dz力血力&

dxdudxdvdx

dz

例题：设z=u-'v,u=cosx,v=sinx,求dx

解答：由全导数的链导公式得：

—■2uv(-sinx)+u2cosx

dx

将u=cosx,v=sinx代入上式,得：

dz3..

­=cos'x-2sin2xcosx

dx

有关全导数欧J问题

全导数实际上是一元函数的导数，只是求导H勺过程是借助于偏导数来完毕而一。

多元函数的极值

在一元函数中我们看到，运用函数的导数可以求得函数H勺极值，从而可以处理某些最大、最小值的应用问题。多元函

数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。

二元函数极值的定义

假如在(x。,y°)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：

f(x,y)Wf(xo,y°)

成立，那末就称函数f(x,y)在点(x°,y。)处获得极大值f(x0,y。)；假如恒有等式：

f(x,y)>f(xo,y0)

成立,那末就称函数f(x,y)在点(x°,y。)处获得极小值f(xo,y0).

极大值与极小值统称极值.使函数获得极值日勺点(x。,y°)称为极值点.

二元M导函数在(x0,y。)获得极值的条件是：人&，为)・0/&，九)・°.

注意：此条件只是获得极值的必要条件。

但凡使力(工，，0)・0/8，,0)・°的点6,力称为函数£商丫)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是

极值点。

二元函数极值鉴定的措施

设z=f(x,y)在(X。,y°)的某一邻域内有持续的二阶偏导数.假如Jo)=°/a。Jo)=°,那末函数f(x,y)在(x°,y°)

获得极值的条件如下表所示：

△=B2-ACf（Xo,yo）

A<0时取极大值

△<0

A>0时取极小值

△>o非极值

△=0不定

其中力=，『0)，B=Jo)，C=益(工0，)0)

例题：求2=/+/-3吸勺极值。

解答：设加，加八/-3%则

2

/；(XJ)=3X-3J>tQM=3J2-3X

启(xj)=6凡外(兀/)=-3,&(元『)=6y

3/-37=0

解方程组(3丁'-3彳=0,得驻点(】，1),(0,0).

对于驻点(1,1)有卓9加T4(U)叫故

B2-AC=(-3)-66=-27<0,A=6>0

因此,/(兀了)=1+/-39在点(1.1)获得极小值f(l,D=-l.

对于驻点(0,0)有/二(㈣°)左(㈣"T刀(。,0)■。故

B-AC=(-3)-00=9>0

因此，/(x，7)=r3+73-39在点(O,0)不获得极值.

多元函数的I最大、最小值问题

我们已经懂得求一元函数极大值、极小值口勺环节，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的环节。下面

我们给出实际问题中多元函数日勺极大值、极小值求解环节。如下：

a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

b)：求出驻点；

C)：结合实际意义鉴定最大、最小值.

例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的I距离最短。

解答：a"先建立函数关系，确定定义域

求解与原点时距离最短H勺问题等价于求解与原点距离的平方

u=x2+/2+z2

最小的问题.不过P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关

系：

〃=/+/+(3x+4,-2尤_8Vx<+8,-8<yv+8

b)：求驻点

—=2x+6(3x+4/-26)=<5x+6/-39),

dx

du

——=27+8(3x+4/-26)-2(12x+177-104).

◎，

dudu.

—=0,­=0

解析方得唯一驻点x=3,y=4.由于点P在所给平面上，故可知

z=-l

c)：结合实际意义鉴定最大、最小值

由问题的实际意义可知，原点与平面距离H勺最小值是客观存在H勺，且这个最小值就是极小值.而

函数

仅有唯一的驻点.因此，平面上与原点距离最短日勺点为P(3,4,T).

从上例我们可以看出，上面函数关系也可当作是：求三元函数

U・N+了2+Z；

在约束条件

3x+4y-z=26

下的最小值.一种多元函数在一种或几种约束条件下口勺极值称为条件极值。

二、多元函数的积分学

二重积分的定义

设z=f（x,y）为有界闭区域（。）上的有界函数：

⑴把区域（。）任意划提成n个子域（△oJ（k=】，2,3,…,n），其面积记作△。k（k=l,2,3,…,n）；

（2）在每一种子域（△。J上任取一点（/，孔），作乘积"短，机2bM

（3）把所有这些乘积相加，即作出和数之1

⑷记于域的最大直径d.假如不管于域怎样划分以及⑸，九）怎样选用，上述和数当n-十8且d-0时的极限存

在,那末称此极限为函数f（x,y）在区域（。）上的二重积分.记作

即：（。）"TOJI

其中x与y称为积分变量，函数f（x,y）称为被积函数,f（x,y）d。称为被积体现式，（。）称为积分区域.

有关二重积分的问题

对于二重积分日勺定义,我们并没有f（x,y）20的I限.轻易看出，当f（x,y）20时,二重积分缶）在几何上就是以

z=f（x,y）为曲顶，以（。）为底且母线平行于z轴小J曲顶柱体的J体积。

上述就是二重积分的几何意义。

jj-b

假如被积函数f（x,y）在积分区域（。）上持续，那末二重积分必然存在。

二重积分的性质

（1）.被积函数中日勺常数因子可以提到：重积分符号外面去.

JJ做%J）db=f（x,y）da

（2）.有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分时代数和.

0[力区7）士力（"»。=。力（"）而士。力（"）而

（。）S）（a）

（3）.假如把积分区域（。）提成两个子域（。）与（。2）,即（。）=（。1）+（。2）,那末:

Jj7（x»）db=

⑺⑶）⑸）

（4）.假如在（o）上有f（x,y）Wg（x,y），那末:

j]7（x，＞XbJJg（x,『）db

⑸.设f（x,y）在闭域（。）上持续,则在（。）上至少存在一点（8,n）,使

其中。是区域（。）的面积.

二重积分的计算法

直角坐标系中的计算措施

这里我们采用U勺措施是累次积分法。也就是先把X当作常量，对y进行积分，然后在对X进行积分，或者是先把y当

作常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：

筮*（"冲力=♦懈（“）力

£落m＞力=C碉））（"独

或⑺

在这旦我们也许会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？

累次积分上下限确实定措施

我们先来对区域作些补充阐明：假如通过区域（。）内任意一点（即不是区域边界上日勺点）作平行于y轴（或X轴）日勺直

线,且此直线交（。）的边界不超过两点，那末称（。）为沿y轴（X轴）方向的正规区域.假如（。）即是沿y轴方向也是沿X轴

方向的正规区域，那末（。）就称为正规区域.下图所示的即为正规区域：

有关累次积分上下限的取法如下所述：

（1）.假如（。）为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y口勺积分下限是（。州勺

下部边界曲线所对应的函数y.（x）,积分.上限是上部边界曲线所对应的函数y2（x）.对x日勺枳分下限与上限分别是（。）的最左

与最右点口勺横坐标a与b.

（2）.假如（。）为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是（。）的左

部边界曲线所对应的函数xi（y）,积分上限是右部边界曲线所对应的函数X2（y）.对y的积分下限与上限分别是（。）的最低与

最高点打勺横坐标c与d.

（3）.假如（。）为正规区域，那末累次积分可以互换积分次序。

（4）.假如（。）既不是沿y轴方向的正规区域，也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化提成几块沿y轴方向的

正规区域或沿x轴方向H勺正规区域,然后根据枳分的性质即可求解积分.

I=0（/+/）•21n

例题：求二重积分⑷，其中（。）曷由，=L，X=1J=U所闱成的j区域。

解答：由于是正规区域，因此我们可先对y后对x积分，也可先XTx后对y积分。这里我们采用前者

先对y后对x积分：

，■/。'+户）力否■点内+—小、:/如专"+#）卜.

极坐标系中的计算法

假如二重积分H勺被积函数和积分区域（。）的边界方程均由极坐标的形式给出，那末我们怎样计算呢?下面我们给出极坐

标系中二重积分的计算公式.

假如极点0在（。）的外部,区域（。）用不等式表达为R（0）WPWR2（e）,aweWB,则积分公式如下：

jfKP⑼MMe=ej^pp）y（P⑼跟8e

（。）

假如极点（）在（。）的内部，区域（。）为边界方程为P=R（。），OWoW2JI,则积分公式如下：

S73仇点Rs=8

（。）

假如极点（）在（。）的边界上，边界方程为P=R（O）,0WoW02,则积分公式如下：

劭〃3=0广）/（0MM淑8

（。）1

有了上面这些公式，某些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系

中的积分即可，反之仍然。

注：直角坐标与极坐标的转换公式为：

x=pcos3,y=qsinS

/,JJ（J"）db

例题：求（。）,其中（。）是圆环a2W/+y2Wb2

解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数H勺形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较以便。

把*・°co$8/・0$inS,do=pdPdO代入，即可转化为极坐标系日勺积分形式。如下：

/=jjp2pdpd6-jj03dmg

在对其进行累次积分十算：

J=JJQ♦四8=广（夕3汨W=_/）］；17&

⑻4

三重积分及其计算法

二重积分的被积函数是i种二元函数，它的积分域是一平面区域.假如考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的

积分，就可得到三重积分的概念。

三重积分的概念

设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划提成n个子域(△4),(△Vz),(△VJ,…，(△%),它们的体积分别记作

△Vk(k=l,2,…,n).在每一种子域上任取一点(费，取并作和数

力&如久)△限

A-1

假如穴管怎样划分，点(短，力4D怎样选用，当n-+8并且最大日勺子域直径6fo时，这个和数B勺极限都存

在，那末此极限就称为函数/(费用在域⑺上的三重积分，记作：

□/。，了㈤"

v

即：

■手九久)必

V

假如f(x,y,z)在域(V)上持续，那末此三重积分一定存在。

对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着多种不•样的物理意义。

直角坐标系中三重积分的计算措施

这里我们直接给出三重积分的计算公式，详细它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。

直角坐标系中三重积分的计算公式为：

Vo

此公式是把一种三重积分转化为一种定积分与一种二重积分日勺问题，根据我们前面所学的结论即可求出。

/=j]JxyzdV

例题：求⑺，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=l所围成/、J区域.

解答：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把(V)投影到x()y平面上，求出投影域(。)，它就是

平面x+y+z=l与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域.

我们为了确定出对z积分限，在(。)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z的直线,它与(V)上下边界的交

点的竖坐标：z=()与z=lr-y,这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：

/=JJ(d)xyzdzda

其中(。)为平面区域：x20,y20,x+yWl,如下图红色阴影部分所示：

再把(。)域上口勺二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：

!=

以7广>平必中办=烧写|:'力加

=力办

=[J-(17)4办=-^―

Jo24720

柱面坐标系中三重积分的计算法

我们先来学习一下空间中的点用极坐标口勺表达措施。

平面上点P可以用极坐标(。，。)来确定，因此空间中H勺点P可用数组(。，来表达.显然，空间的点P与数组

(P,0>z)之间的对应关系是一一对应关系，数组(P,。，z)称为空间点P的柱面坐标.它与直.角坐标的关系为：

x=pcos6ty=0sin8,z=z

构成柱面坐标系H勺三族坐标面分别为：

P二常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，

。二常数：通过z轴的半平面族，

z=常数：与z轴垂直的平面族.

因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于运用了圆柱面，因此称为柱面坐标。

柱面坐标系下三重枳分的计算公式为：

胪“，Z)"=/篇就黑：£f"cos8,psg。⑶谈

三曲线积分与曲面积分

§3.1对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量:

设一曲线形构件所占的位置在入0），面内的一段曲线弧L上，已知曲线形构件在点（苍），）处

的线密度为以乐），）.求曲线形构件口勺质量.

把曲线提成n小段,加］,加2,…,也表达弧长）;

任取（备，gebsi,得笫，小段质量的近似值M。，中心*

整个物质曲线的I质量近似为M屯峭川氐i;

i=1

令Qmax{Asi,g,…,A%}一。,则整个物质曲线的质量为

M=lim*4（金%）加1.

A°i=】

这种和口勺极限在研究其他问题时也会碰到.

定义设乙为xOy面内的一条光滑曲线弧，出数段,y）在L上有界.在心上任意插入一点列

…,Mi把L分在〃个小段.设第i个小段的长度为△$,,又（备，小）为第i个小段上任意

取定的一点，作乘积假,榨舟,（/=1,2,-〃）,并作和假如当各小弧段欧长度

1=1

的最大值2-0,这和H勺极限总存在，则称此极限为函数“*y）在曲线弧L上对弧长日勺曲线枳

分或第一类曲线积分,记作力/。,）“5,即Jj（x,）"s=lim7）品.

Z=1

其中yu,y）叫做被积函数,L叫做积分弧段.

设函数yu,y）定义在可求长度H勺曲线L上,并且有界.

将L任意提成〃个弧殳„△工,并用加,•表达第i段的弧长;

在每一弧段As1•上任取一点(扁㈤,作和

i=l

令&max{As、bs?、…,A%},假如当2->0时，这和的I极限总存在，则称此极限为函数J(x,)，)

在曲线弧L上对弧长时

曲线积分或第一类曲线积分、记作力/(不,对以，即

JJ(x,y)d汜吧£f6,77)维.

其中叫做被积函数,L叫做积分弧段.

曲线积分日勺存在性：当」富,y)在光滑曲线弧L上持续时，对瓠长日勺曲线积分是

存在的.后来我们总假定Kv,y)在L上是持续的.

根据对弧长的曲线积分的I定义，曲线形构件H勺质量就是曲线积分(〃(&)，)dsH勺值，其中

如,)，)为线密度.

对弧长日勺曲线积分的推广：Jj(x,)，,z)右习为彳〃耳％4)幽•

假如〃或r)是分段光滑的，则规定函数在〃或「)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上

的曲线积分附和.例如设L可提成两段光滑曲线弧£,及L2,则规定

[+/—)ds=£f(x,y)ds+^f(x,y)ds.

闭曲线枳分：假如L是闭曲线，那么函数/U,)，)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

§J(x,y)ds.

对弧长口勺曲线积分『、J性质：

性质I设口、C2为常数，则

Jjc"(x,y)+c2g(x,y)]cJs=C|£/(x,Xk/s+cjg(x,y)ds;

性质2若积分弧段L可提成两段光滑曲线弧Li和L2,则

JJ(X,y)ds=/(x,y)d$；

性质3设在L上y)Kg(x,y),贝1J

[/(x,y)dsqg(x,y)ds.

尤其地，有

ijja一心H£l/Uy)\ds

二、对弧长H勺曲线积分的计算法

根据对弧氏U勺曲线积分的定义，假如曲线形构件L的线密度为/U,y),则曲线形构件£的

质量为

]/(尤)，)杰.

另首先，若曲线勺参数方程为

则质量元素为

j\x,y)ds=j\W3(/)h/e'2⑺+“2⑺山,

曲线的质量为

W(t»!律.

即yWs=「八夕⑺,”(。盛'2«)+。，2⑺力

定理设.心;)，)在曲线弧L上有定义且持续,L的参数方程为

其中的)、以，)在他必上具有一阶持续导数，且＞%)+，。)=0,则曲线积分Jj(x,)，)A存在,

且

Jj(x,y)ds=『八次),幽1)1房⑴+“2⑴出(av仪

证明(略)

应注意口勺问题：定积分的下限L定要不大于上限”

讨论：

(1)若曲线LFI勺方程为卢^x)(a<.\<b),则J/(x,y)ds=?

JL

提醒：LH勺参数方程为A-A,y=i/A,x)(a<x<b),

\Lf(^y)ds=^f[x,叭x)]，l+/2(x)dx.

(2)若曲线L口勺方程为x=(p(y)(c<y<d),则(f(x,y)ds=?

提醒：LH勺参数方程为4妖))

力y)ds=j：f[(p(y\外Jd?(y)+idy.

⑶若曲「的方程为x=^l),产M/),Z=W)(底底例

则[/(儿)/族9=?

提醒：f(x,y,z)ds=j/[*),“⑺,“⑺]J0'2«)+“2⑺+42q)df.

例1计算力其中L是抛物线)上点。(0,0)与点之间的一段弧.

解曲线的方程为卢『(0幺§),因此

£yfyds=4x^yl\+(x2)，2dx=1/1+4/"入=.(5岔一1).

例2计算半径为R、中心角为2〃向圆弧L对于它的对称轴的转动惯量/(设线密度为产1).

2

解取坐标系如图所示，则I=\{yds.

曲线LH勺参数方程为

x=RcosO,y=Rsin。(-公庆a).

于是/=')%=「R2sin28yl(—Rsin夕产+(Rcos，):

=R'rsin23d8=/?3(a-sincrcosa).

J-a

例3计算曲线积分，。2+、2+22)小，其中「为螺旋线44COSI、尸/sin/、Z=A/上对应于，

从0抵达2点勺一段弧.

2222

解在曲线「上有A+r+r=(«cosf)2+(asin炉+ar)=<7Mr,并且

ds=yl(-as\nt)2+(acosl)2+k2dt=ylcr+k^dt,

于是j(x2+y2+z2)ds(a2+k2t2)yla2+k2dt

=^7Tyla1+k2(3cr+47T2k2).

J

小结：用曲线枳分处理问题H勺环节：

(1)建立曲线积分；

(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)，确定参数时变化范围；

(3)将曲线积分化为定积分；

(4)计算定积分.

§3.2对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功：

设一种质点在面内在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,切的作用下从点A沿光滑曲线弧L移

动到点4,试求变力P（X,y）所作日勺功.

用曲线L上日勺点4=A0,Ai,八2,…,4fA^B把L提成n个小弧段,

设4=（公,"）,有向线段4A+1的长度为加卜它与x轴的夹用为则

->

-+]={cos7，sin7}A^（^=0,1,2,•••,〃-1）.

显然，变力尸沿有向小弧段44+1所作的功可以近似为

尸（々，”）4儿+1=仍®，XJcos7+。（々,以）sinzJA”；

于是,变力尸■），）所作的功

n-l—n-\

W=ZP（XQ*44+I=Z[P（4，”）cosq+4%%）sinq]乐，

&=1Jt=l

从而

W=£[P（x,y）cosT+Q（x,），）sinv]ds.

这里r=z（.r,y）,{COST,sinr}是曲线L在点（x,y）处时与曲线方向一致的单位切向量.

把L提成〃个小弧段:£i,£2,…」”；

变力在心上所作的I功近似为：

F（扁喻小kP（&,*Axi+Q（备,瑜kyt；

变力在心上所作的功近似为：

之〔P&，小心i+Q&，2）A»1；

i=\

变力在心上所作的功的精确值：

W=liin之[P&,如W+。（品/）△%]，

2>0>«

<=1

其中尤是各小弧段长度的最大俏.

提醒:

用腐产｛,,△y｝表达从。的J起点到其终点H勺的向量.用国■表达加朋模.

对坐标的曲线积分的定义:

定义设函数/U,），）在有向光滑曲线L上有界.把L提成〃个有向小弧段心，心,•…，*；4

弧段〃的起点为（M-I,M-i）,终点为8,y）,^Xi=Xi-Xi-\,Ay产（费加为L,上任意一点，4为

各小弧段长度H勺最大值.

假如