上海市嘉定区上海交大附中附属嘉定德富中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷(含答案)

交大附中附属嘉定德富中学2025-2026学年初三上9月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共6小题）1．下列说法正确的个数有（）①所有正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长2，那么AC的长是（）A．2 B．3 C．6 D．8已知△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1，△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为3：1，那么△A3B3C3与△A2B2C2的相似比为（）A．1：6 B．2：3 C．3：2 D．6：14．如图，已知在△ABC中，G是△ABC的重心，GE∥BC，BC＝8，那么GE的长度为（A．43 B．2 C．83 5．下列说法中，正确的是（）A．AB→+BA→=0C．如果|AB→|=|CD→|，那么AB6．如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP：PF＝2：3；④cos∠DCQ=3其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④二．填空题（共12小题）7．已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝2，b＝3，c＝4，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．18．已知线段a＝12cm，b＝6cm，如果b是a、c的比例中项，那么线段c等于cm．9．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为65°和80°，那么另一个三角形中最小内角的度数为°．10．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则AB的长为.（结果保留根号）11．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是．（只写一个）12．已知△ABC∽△DEF，且ACDF=13，那么△ABC与△DEF的13．如果向量a→，b→，x→满足关系式2a14．如图，直线AB∥CD∥EF，若ACCE=23，BD=815．每逢传统佳节，小澎家总是喜欢用高脚杯喝红酒来庆祝节日．图（1）是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图（2）所示，此时AB＝cm．16．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．联结AC、BD相交于点O，那么△AOB的面积等于．17．如图，将一块含30°角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心G逆时针旋转180°．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为平方厘米．18．如图，在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B′E的位置，B′E与AB交于点P，那么APPB的值是三．解答题（共7小题）19．已知线段a、b、c，且a3=b4=c5．（1）求a+bb的值；（2）若线段a、b、c满足a+b+20．阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若已知①ac=bd；仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；（2）证明（1）中的分比性质等式成立.21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，且EC=13AB，AC与BE（1）若AB→=m→，（2）在原图中直接在图中作出AC→在m22．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A′、B′、C′（如图②），使直角边B′C′（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B′A′的延长线上，且测得此时边B′C′距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？23．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE⊥BC交BC的延长线于点E，BO•BD＝BC•BE．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）联结AE交DC于点F，如果AE⊥CD，求证：CFDE24．在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系，这个性质的逆．利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题：已知△ABC是“线垂”三角形，AB＜BC，∠ABC是△ABC的“分角”．如图1，BD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线，AE与BD相交于点F．求BF：FD的值；（2）在图2中画△ABC的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由；（3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG．（1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC；（2）如图2，如果∠ABC＝90°，ABBC=23，且△DGE与△（3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数．参考答案一．选择题题号123456答案ABBCDB填空题（共10小题）7．68．39．3510．3+11．∠ADE＝∠C（答案不唯一）12．113．2314．1215．316．317．1218．2三．解答题（共7小题）19．解：（1）a+bb（2）∵a+b+c＝60，∴3k+4k+5k＝60，∴k＝5，∴a＝15，b＝20，c＝25．20．解：（1）①若ac=bd，则a−cc=b−d（2）①若ac=bd，则a−cc=b−dd．理由：设ac=∴a−cc=kc−cc=k﹣1，b−dd21．解：（1）∵AB∥CD，EC=13AB，∴EC→=13m→，∵∵EC∥AB，∴CFAF=ECAB=13，∴AF（2）如图，过点C作CT∥AD交AB于点T，则AD→，AT22．解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB，∴△DFA∽△BCA，∴DFBC在Rt△ABC中，∵AB＝0.5m，BC＝0.3m，由勾股定理得AC=AB2−BC2=∴DF0.3=160.4，∴DF＝12（m），∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（（2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′，∴△D′FB′∽△A′C′B′，∴B′FB′C′=D′F∴B′F＝9（m），∴16﹣9＝7（m），答：小丽向前移动了7米．23．证明：（1）∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵BO•BD＝BC•BE，∴BOBE=BCBD，∵∠∴△BED∽△BOC，∴∠BED＝∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AD∥BC，∴∠ACH＝∠ACF∵AH⊥CB，AE⊥CD，∴∠AHC＝∠AFC＝90°，∵AC＝AC，∴△ACH≌△ACF（AAS），∴CF＝CH，∵AD∥BC，AH⊥CB，∴AH⊥AD，∵DE⊥BE，∴∠AHE＝∠DEH＝∠HAD＝90°，∴四边形AHED是矩形，∴AH＝DE，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠ACH，∴△BOC∽△AHC，∴OCCH=BO24.解：（1）过点E作EG∥BD，交AC于点G，由∠ABC是“线垂”三角形ABC的“分角”，AB＜BC，可知BC＝2AB，∵AE是△ABC的中线，∴BC＝2BE，∴AB＝BE，∵BD是△ABC的角平分线，∴AF＝EF，∵EG∥BD，∴DFEG=AFAE=12，EG（2）在边BC上取点M，使BM=12AB，联结AM，那么△ABM是“线垂三角形”，∠B可得BMBA=BABC=12∴AMCA=12，∴△（3）作∠B和∠CAM的平分线，交点为O，联结OC，延长AO，交边BC于点N，可得∠ANB＝∠ACB+∠NAC，又∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN，∠BAM＝∠ACB，∴∠ANB＝∠BAN，∴BA＝BN=12BC，∴BO⊥AN，ON＝OA＝a，BN＝延长AN至点G，使NG＝ON，联结CG，在△BON和△CGN中，ON=NG∠BNO=∠CNGBN=CN，∴△BON≌△CGN（∴CG＝OB＝b，∠CGN＝∠BON＝90°，在Rt△OGC中，由勾股定理得（2a）2+b2＝c2，即4a2+b2＝c2．25．（1）证明：∵PC＝2PO，PG∥CD，∴OGOD=OPOC=13，在平行四边形ABCD∴CPCA=CP2CO=13，又∵PE∥AD，∴CPCA（2）如图2，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．∴OC＝OD，∴∠GDE＝∠PCE＝∠CPF，又∵∠CFP＝∠ABC＝90°，且∠DEG＜90°，∴只能∠DGE＝90°，∠DEG＝∠PGE＝∠PCF．∴此时有：△DGE∽△