专题01二次函数压轴题-线段周长面积最大值(专项训练)(原卷版+解析)

专题01线段周长面积最大值（专项训练）1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；2．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？3．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．4．（2022•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．①求sin∠PFD的值；②求线段PD的最大值．5．（2022•齐齐哈尔模拟）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；6．（2022•习水县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．求线段PD的最大值；7．（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．（1）求抛物线的表达式；（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；8．（2022•大同三模）综合与实践如图，二次函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求直线BC的函数解析式；（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DM∥y轴交BC于点M，9．（2022春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；10.（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．11．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；12．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；专题01线段周长面积最大值（专项训练）1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，当n＝时，PM最大＝，∴线段PM的最大值；2．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为．3．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；4．（2022•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．①求sin∠PFD的值；②求线段PD的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，令x＝0，则c＝2，∴C（0.2），设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），将点（0，2）代入得，2＝﹣4a，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）①∵PE⊥x轴，∴∠AFE＝∠ACO，又∵∠PFD＝∠AFE，∴∠PFD＝∠ACO，∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝，∵A（﹣4，0），C（0，2），∴AO＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝＝＝；②设过A（﹣4，0）C（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC解析式为y＝x+2，设P（m，﹣m2﹣m+2），则F（m，m+2），∴PF＝﹣﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+2）2+2，∴当m＝﹣2时，PF有最大值2，∵PD＝PF•sin∠PFD，∴PF取最大值时，PD取最大值，∴PD最大值为×2＝；5．（2022•齐齐哈尔模拟）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过P点作PH∥y轴交BC于点H，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+3t，∵C（0，3），B（3，0），∴BC＝3，∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，∴PG×3＝3（﹣t2+3t），∴PG＝﹣（t﹣）+，∵点P是直线BC上方抛物线上，∴0＜t＜3，∴当t＝时，PG有最大值；6．（2022•习水县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．求线段PD的最大值；【解答】解：（1）∵OA＝OB＝3，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵C（1，0），∴，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵PQ∥y轴，∴PH⊥OA，∴∠QHA＝90°，∴∠PQD＝∠AQH＝45°，∴△PQD是等腰直角三角形，∴PD＝PQ，∴当PQ取得最大值时，PD的值最大，设AB的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∵PQ∥y轴，∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴m＝﹣时，PQ最长为，∴线段PD的最大值为7．（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．（1）求抛物线的表达式；（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），∵A（0，﹣1），B（5，4），∴，解得：，∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，设直线AB交x轴于点M，当y＝0时，x＝1，∵OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵CP∥y轴，∴∠DCP＝∠OAB＝45°，∵PD⊥AB，∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，∴PC＝＝CD，即CD＝PD＝PC，∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]，∵﹣（+1）＜0，∴当x＝时，△PCD周长取得最大值，最大值为（+1），此时点P的坐标为（，﹣）；8．（2022•大同三模）综合与实践如图，二次函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求直线BC的函数解析式；（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DM∥y轴交BC于点M，作DN⊥BC于点N，当△DMN的周长最大时，求点D的坐标及△DMN周长的最大值；【解答】解：（1）由抛物线y＝x2﹣x﹣3，x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（4，0），C（0，﹣3）代入，，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）∵DM∥y轴，∴∠OCB＝∠CMD，∵B（4，0），C（0，﹣3），∴BC＝，∵sin∠OCB＝，cos∠OCB＝，DN⊥BC，∴sin∠DMN＝，cos∠DMN＝，∴DN＝，MN＝，设△DMN的周长为L，∴L＝DM+DN+MN＝，设D（x，x2﹣x﹣3），则M（x，），∴DM＝＝，∴L＝，即L＝﹣，∵开口向下，∴顶点（2，）最高，∴x＝2时，，∴，∴D（2，﹣），∴△DMN的周长最大时，D点的坐标（2，﹣），△DMN的周长最大值为；9．（2022春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B（﹣2，0）代入，∴9a+9＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，∴矩形MNHG的周长＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，∴当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；10.（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3（2）①﹣m2+m+3②【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，综上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；11．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动