1.2.4++圆与圆的位置关系+课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.4圆与圆的位置关系

学习目标1.了解圆与圆的位置关系（重点）2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法，体现逻辑推理能力（重点）3.理解并掌握圆与圆的综合应用问题，体现数学运算能力（难点）新课导入思考一下：平面内两个圆之间有几种关系？(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外离.(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称这两个圆外切.这个唯一的公共点叫作切点.新课学习(3)相交：两个圆有两个公共点，称这两个圆相交.思考一下：平面内两个圆之间有几种关系？(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内切.这个唯一的公共点叫作切点.两个圆外切和内切统称两个圆相切.新课学习(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，称这两个圆内含.思考一下：平面内两个圆之间有几种关系？当两个圆是等圆时，它们之间的关系只有外离、外切和相交的三种关系.新课学习总结一下：通过两圆的方程组成方程组的公共解的个数进行判断两圆的关系.方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数

个

个

个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含210这种判断方法称为代数法l新课学习连心线与圆心距的概念如果两个圆不是同心圆，经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的连心线.圆心之间的线段长，叫作圆心距.新课学习思考一下：若两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有何对应关系？(1)外离：d>r1+r2(2)外切：d=r1+r2(3)相交：|r1-r2|<d<r1+r2新课学习思考一下：若两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有何对应关系？(4)内切：d=|r1－r2|(5)内含：d<|r1－r2|这种判断方法称为几何法新课学习总结一下：两圆的位置关系与两圆圆心之间的关系位置关系外离外切相交内切内含图示

d与r1，r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1－r2|d<|r1－r2|新课学习例9:画图并判断圆C1：x2+y2+2x=0和圆C2：x2+y2–2y=1的位置关系.如图，由已知，得C1：(x+1)2+y2=1,圆心C1(-1,0),半径r1=1.C2：x2+(y+1)2=2,圆心C2(0,-1),半径r2=于是∴圆C1与圆C2相交.新课学习思考一下：根据上面的问题，总结一下几何法的步骤？1.写出两圆的圆心坐标和半径r；2.计算圆心距d；3.比较d和两圆半径的和与差的绝对值的大小，从而得到圆与圆的位置关系：d>r1+r2外离d=r1+r2外切|r1–r2|

<d<r1+r2相交d=|

r1–r2|内切0≤d<|r1-r2|内含新课学习例10:已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2+y2=1相外切，求圆C的方程.设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2.因为圆C与x轴和y轴都相切，所以|a|=|b|=r.因为圆C与圆O：x2+y2=1相外切，所以①②由方程①化简方程②，得所以新课学习例10:已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2+y2=1相外切，求圆C的方程.所以所以圆C的方程为或或或如图.新课学习思考一下：圆与圆的位置关系可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判断吗？可以.当有两组不同的实数解，则两圆相交，有两组相同的实数解，则两圆相切，可能是内切也可能外切，若无实数解,则两圆相离或者内含，所以当两圆仅有一个交点或者没有交点时，是不能准确推断出两圆的位置关系.代数法新课学习思考一下：可以用代数法来求解例9的问题吗？联立方程组①②①–②得:2x+2y+1=0③，即将其代入①得④方程④的根的判别式Δ=32

–4×2×=7>0，故方程有两不等实根.因此圆C1与圆C2有两个公共点，这两个圆相交.新课学习思考一下：根据上面的问题，总结一下代数法的步骤？1.联立圆与圆的方程组成方程组；2.消元，得到x(或y)一元二次方程；3.计算∆；4.利用∆符号判断圆与圆的位置关系：∆>0

相交∆=0相切（外切或内切）∆<0相离（外离或内含）新课学习练一练：已知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m与圆C2:x2+y2-2x+4y-4=0相交，求实数m的范围.C1:(x+2)2+(y-2)2=m的圆心为(-2,2),半径r=C2:x2+y2-2x+4y-4=0的圆心为(1,-2),半径r=3所以圆心距由两圆相交可得|

|<