5.1+基本计数原理课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.1基本计数原理学习目标1.理解基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，体现逻辑推理能力（重点）2.理解分类加法计数原理和分布乘法计数原理的区别和联系，体现逻辑推理能力（重点）3.能够准确运用计数原理解决一些简单实际问题，体现数学计算能力（难点）新课导入在日常生活中，我们常常会遇到一些需要计数的问题，例如：用8个数字：1,2,...,8,组成电话号码可以组成多少种不同的电话号码？本节将介绍两个计数原理——分类加法计数原理与分布乘法计数原理.思考下面的问题：问题1：从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车，那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？新课学习分析一下上面的问题：如图，要完成的一件事：从甲地到乙地共有多少种方法？所有方法可以分为：乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法；每类办法中分别又有：2，4，2，1种方法.于是，乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1=9种方法.新课学习解决以上问题的步骤为：（1）求完成一件事的所有方法数，这些方法数可以分成n类，且类与类之间两两不交；（2）求每一类中的方法数；（3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.新课学习分类加法计数原理完全一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法......在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种方法.（也称“加法原理”）注意：完成这件事的若干种方法可以分成n类，且类与类之间两两不交.新课学习问题2：春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.(1)她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析：我们先看裤子的选择数：有4条不同的裤子，则有4种选择方法；我们再看上衣的选择数：每一条裤子对应3件不同的上衣.裤子1上衣A上衣B上衣C裤子2上衣A上衣B上衣C裤子3上衣A上衣B上衣C裤子4上衣A上衣B上衣C如图，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3=12种搭配方法.新课学习(2)她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析：先选鞋子：有5双不同的鞋子，则有5种选择方法；再选上衣、裤子：每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种.鞋子甲裤子1裤子2裤子3裤子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C鞋子乙裤子1裤子2裤子3裤子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C新课学习鞋子丙裤子1裤子2裤子3裤子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C鞋子丁裤子1裤子2裤子3裤子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C鞋子戊裤子1裤子2裤子3裤子4上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C上衣A上衣B上衣C因此，根据分类加法计数原则，共有N=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5＝60种搭配方法.新课学习思考一下：如果再考虑围巾、帽子等因素，计数的思路应当如何呢？问题（1）是分两步完成，第1步确定裤子有4种选择方法，第2步确定每一条裤子对应3件上衣；问题（2）是在问题（1）的基础上确定每一双鞋子对应12种裤子和上衣的搭配方法，即需要分三步完成.新课学习思考一下：问题2有什么特点？1.完成一件事需要经过n个步骤；2.完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响；3.把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.新课学习分步乘法计数原理完全一件事，需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法······做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·...·mn种方法.（也称“乘法原理”）新课学习加法原理与乘法原理的联系与区别：分类加法计数原理分步乘法计数原理区别完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”．完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”．每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事．任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．联系都是求完成一件事情的方法种数．本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．新课学习例1：在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理，在1，2，3...，200中，能够被5整除的数共有N=20+20=40个.新课学习例2:某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从中选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？按照选择的女同学人数分为两类情况：第一类：2位都是女同学，只有1种选法；第二类：只有1位女同学，可以分为两步完成：第一步，先从2位女同学中选出1人，共2种选法；第二步，再从3位男同学中选出1人，共3种选法.根据分步乘法计数原理：共有2×3=6种方法.综上，根据分类加法计数原理：不同的选法共有1+6=7种.新课学习例3：有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(1)若只需1名参加，共有多少种选法？只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型，即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加：第一类，选教师，3种选法；第二类，选男生，8种选法；第三类，选女生，5种选法.据分类加法计数原理,共有N=3+8+5=16种选法.课堂巩固例3：有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？完成这件事，需要1名教师、1名男同学和1名女同学，可以先选教师，再选男同学，最后选女同学，因此要分3步相乘：第一步，选1名教师，有3种选法；第二步，选1名男生，有8种选法；第三步，选1名女生，有5种选法据分类加法计数原理,共有N=3×8×5=120种选法.新课学习拓展：利用两个计数原理解题时的三个注意点：（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.（2）分类时标准要明确