5.4.1+二项式定理的推导课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.4.1二项式定理的推导学习目标1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，体现逻辑推理能力（重点）2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式，体现逻辑推理能力（重点）3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，体现数学运算能力（难点）新课导入已知，思考一下：观察以上展开式，分析其运算过程，(a+b)n=?新课学习思考一下：根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a2+3a2b+3ab2+b3

，如果称等式的右边为左边的展开式，

那么如何求出(a+b)n的展开式?我们知道(a+b)n=(a+b)(a+b)⋯(a+b)，n个(a+b)相乘，下面2步来求展开式中的项：1.展开式每一项的特征.根据多项式的乘法法则，在每个因式(a+b)中任选其中一项作为因子，只有a和b两种选择，即不选a，就选b.新课学习1.展开式每一项的特征.先从第1个因式(a+b)中选一项作为因子，再从第2个因式(a+b)中选一项作为因子，依此类推，最后从第n个因式(a+b)中选一项作为因子.这n个因子的乘积构成一个单项式.由此可知：展开式的每一项由若干个"a"与若干个"b"的乘积构成，并且a和b的总个数为n，若b的个数为k，则a的个数为n-k，即an-kbk(k=0,1,2,⋯,n)新课学习思考一下：根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a2+3a2b+3ab2+b3

，如果称等式的右边为左边的展开式，

那么如何求出(a+b)n的展开式?2.an-kbk同类项的个数.从n个因式(a+b)中，若选出k个(a+b)，在这k个(a+b)中只取"b"不取"a"，

在余下的(n-k)个(a+b)中只取"a"不取"b"，这样得到的乘积都是an-kbk.因此，an-kbk的同类项个数为

，即an-kbk的同类项个数就是从n个(a+b)中选出k个(a+b)的组合数.新课学习求二项展开式中指定项的解题步骤：1.确定定理中的a,b,n

在题目中指的都是什么；2.写通项公式Tk+1，通过指数运算进行整理；3.若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于t（常数项的指数为0），计算出

k

；4.将k代入通项公式Tk+1，即为所求．新课学习二项式定理的概念(a+b)n的展开式中共有(n+1)种不同的同类项：an-kbk(k=0,1,2,⋯,n)，相应的个数为

(k=0,1,2,⋯,n).因此，根据分类加法计数原理，其展开式为①上式可简写成新课学习二项式定理的概念公式①称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，(a+b)n的二项展开式共有(n+1)项，其中各项系数

(k=0,1,2,⋯,n)称为二项式系数，式中的

用Tk+1表示，称为二项展开式中第(k+1)项，又称为二项式通项，记作Tk+1=

.新课学习二项式定理注意问题：1.展开式共有n+1项，比二项式的指数大1；2.各项的次数都等于二项式的次数n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列,次数由0递增到n．3.二项式系数一定为正值，而项的系数既可以是正值又可以为负值.新课学习例1：求(1+x)n的展开式.(1+x)n新课学习例2：求(x+2)5的展开式.(x+2)5=x5+10x4+40x3+80x2+80x+32.新课学习例3：求

的展开式.根据二项式定理，新课学习例4：求(x-2y)7展开式中x4y3的系数.因为x4y3中"x"的指数为4，所以由二项式通项，得因此，x4y3的系数是-28